1、 江苏省南通市2021届高三月考模拟测试 数学试题 2020.9 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 103x是12x成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 21 2i12i 1i1i （ ） A1 Bi C1 Di 3设D为ABC的边BC的延长线上一点，3BCCD，则（ ） A 14 33 ADABAC B 41 33 ADABAC C 14 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 4 已知直线 1 l：360 xy与圆心为0,1M，半径为5的圆相交于A
2、，B两点，另一 直线 2 l：22330kxyk与圆M交于C，D两点， 则四边形ACBD面积的最大值为 （ ） A10 2 B5 2 C 521 D 521 5 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶 点都在半径为1的球面上， 球心在三棱锥的底面所在平面上， 则该正三棱锥的体积是 （ ） A 3 3 4 B 3 3 C 3 4 D 3 12 6当动点P在正方体 1111 ABCDA B C D的棱DC上运动时，异面直线 1 D P与 1 BC所成角的取 值范围（ ） A , 6 4 B , 6 3 C , 4 3 D , 3 2 7已知椭圆 22 22
3、:10 xy Eab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F作 垂直x轴的直线交椭圆E于A，B两点，点A在x轴上方若3AB ， 2 ABF的内切圆的 面积为 9 16 ，则直线 2 AF的方程是（ ） A3230 xy B2320 xy C4340 xy D3430 xy 8 已知 3 ln 44 x f xx x ， 2 24g xxax ，若对 1 0,2x ， 2 1,2x，使得 12 f xg x成立，则a的取值范围是（ ） A 1 , 8 B 258ln2 , 16 C 1 5 , 8 4 D 5 , 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
4、。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9函数( )f x的定义域为R，且 (1)f x 与(2)f x都为奇函数，则（） A.( )f x为奇函数 B.( )f x为周期函数 C.(3)f x为奇函数 D.(4)f x为偶函数 10设 )( * Nnan是等差数列，d是其公差， n S是其前n项和.若, 87665 SSSSS 则下列结论正确的是 0.dA0. 7 aB 59 .SSC的最大值均为与 n SSSD 76 . 11已知双曲线C过点(3, 2)且渐近线为 3 3 yx ，则下列结论正确的是（） A.C的方程为
5、 2 2 1 3 x y B.C的离心率为3 C.曲线 2 1 x ye 经过C的一个焦点 D.直线210 xy 与C有两个公共点 12 声音是由物体震动产生的波， 期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sinyAt， 我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx，则下列结论正确的是（） A.2是( )f x的一个周期 B( )f x在0,2上有 3 个零点 C.( )f x的最大值为 3 3 4 D( )f x在0, 2 上是增函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应
6、 位置上 。 13若 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有种(用数字填空) 14在 5 1 2x x 的展开式中， 2 x的系数为_ 15ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 222 7 , , .= 2 a b cabcbc且， ABC的面积为 S, 36coscosaSBC，则的最大值为_. 16已知，若方程有 2 个不同的实根，则 实数 m 的取值范围是_.(结果用区间表示) ln ,02 4,24 xxe f x fexexe 0f xmx 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
7、 17(本小题满分 10 分) 在ABC中，3sin2sinAB，tan35C （1）求cos2C； （2）若1ACBC，求ABC的周长 18(本小题满分 12 分) 已知正项等比数列 n a满足 31 12SS， 21 2314aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 221221 1 loglog n an b aa ，求数列 n b的前n项和 n T. 19(本小题满分 12 分) 某机器生产商， 对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 1500元； 方案二
8、： 交纳延保金7740元， 在延保的两年内可免费维修 4 次， 超过 4 次每次收取维修费a 元 某工厂准备一次性购买两台这种机器， 现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案， 为此搜 集并整理了 100 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表： 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 10 40 30 以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率， 记X表示这两台机器超 过质保期后延保两年内共需维修的次数 （1）求X的分布列； （2） 以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据， 该工厂选择哪种延保方案更合算？ 20(本小题满分 12 分) 如图所示，在四面
9、体ABCD中，ADAB，平面ABD 平面ABC， 2 2 ABBCAC， 且4ADBC （1）证明：BC 平面ABD； （2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角CBDE的 余弦值 21(本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :10 xy Oab ab 的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若 PAB面积的最大值为2 3，椭圆O的离心率为 1 2 （1）求椭圆O的标准方程； （2） 过B点作圆E：2 22 2xyr，02r的两条切线， 分别与椭圆O交于两点C， D (异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是， 请说
10、明理由 22(本小题满分 12 分) 已知函数 2 113 ln 244 f xxa xx ， lng xx （1）求证： 2 1 1 1 4 f xa x ； （2）用max, p q表示pq，中的最大值，记 max,h xf xg x，讨论函数 h x零点 的个数 江苏省南通市2021届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. A 2. A 3. C 4.B 5.C 6. C 7. D 8. A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选
11、项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.ABC 10. ABD 11.AC12.ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 。 1372 1480 156 16 1 (, ) e 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17 （1）tan35C ， 1 cos 6 C ， 2 117 cos221 618 C （2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 3sin2sinAB，32ab， 1
12、ACBCba，2a ，3b 由余弦定理可得 222 2cos13211cababC， 则11c ，ABC的周长为511 18 （1）设数列 n a的公比为q 由已知0q ，由题意得 2 11 11 +12 3214 a q a q aa q ， 所以 2 75180qq，解得2q ， 1 2a . 因此数列 n a的通项公式为2n n a . （2）由（1）知， 221221 11111 () loglog(21)(21)2 2121 n an b aannnn ， 11111111 (1)(1) 2335212122121 n n T nnnn . 19 （1）X所有可能的取值为 0，1，2
13、，3，4，5，6， 111 0 5525 P X ， 111 12 10525 P X ， 111217 22 101055100 P X ， 12131 322 1055105 P X ， 223111 42 55101050 P X ， 236 52 51025 P X ， 339 6 1010100 P X ， X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 25 1 25 17 100 1 5 11 50 6 25 9 100 （2）选择延保方案一，所需费用 1 Y元的分布列为： 1 111169 60007500900010500120008580 455025100 E Y
14、(元) 选择延保方案二，所需费用 2 Y元的分布列为： 2 Y 7740 7740a 77402a P 67 100 6 25 9 100 2 676921 77407740774027740 1002510050 a E Yaa (元) 12 21 840 50 a E YE Y， 当 12 21 8400 50 a E YE Y，即02000a时，选择方案二， 当 12 21 8400 50 a E YE Y，即2000a 时，选择方案一，方案二均可， 当 12 21 8400 50 a E YE Y，即2000a 时，选择方案一 20.（1）证明：因为ADAB，平面ABD 平面ABC，
15、平面ABD平面ABCAB，AD 平面ABD，所以AD 平面ABC， 因为BC 平面ABC，所以ADBC 因为 2 2 ABBCAC，所以 222 ABBCAC，所以ABBC， 因为ADABA，所以BC 平面ABD （2）解：设04ADxx，则4ABBCx， 四面体ABCD的体积 2 32 111 4816 326 Vf xxxxxx04x 2 11 31616434 66 fxxxxx， 当 4 0 3 x时， 0fx， Vf x单调递增； 当 4 4 3 x时， 0fx， Vf x单调递减 故当 4 3 ADx时，四面体ABCD的体积取得最大值 以B为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz，
16、则0,0,0B， 8 0,0 3 A ， 8 ,0,0 3 C ， 8 4 0, 3 3 D ， 4 4 ,0 3 3 E 设平面BCD的法向量为, ,x y zn，则 0 0 BC BD n n ，即 8 0 3 84 0 33 x yz ， 令2z ，得0,1, 2n， 同理可得平面BDE的一个法向量为1, 1,2m， 则 530 656 由图可知，二面角CBDE为锐角，故二面角CBDE的余弦值为 30 6 21. （1）由题可知当点P在椭圆O的上顶点时， PAB S最大， 此时 1 22 3 2 PAB Sabab ， 222 2 3 1 2 2 ab c a a abc ，3b ，1c
17、 ， 椭圆O的标准方程为 22 1 43 xy （2）设过点2,0B与圆E相切的直线方程为2yk x，即20kxyk， 直线与圆E：2 22 2xyr相切， 2 22 1 k dr k ， 即得 222 4840rkkr 设两切线的斜率分别为 1 k， 212 kkk，则 1 2 1k k ， 设 11 ,C x y， 22 ,D xy，由 1 2222 22 111 2 341616120 1 43 ykx kxk xk xy ， 2 1 1 2 1 1612 2 34 k x k ，即 2 1 1 2 1 86 34 k x k ， 1 1 2 1 12 34 k y k ； 同理： 22
18、 21 2 22 21 8686 3443 kk x kk ， 21 2 22 21 1212 3443 kk y kk ； 11 22 21111 22 2 2111 1 22 11 1212 4334 868641 4334 CD kk yykkk K xxkk k kk ， 直线CD的方程为 2 111 22 2 11 1 1286 343441 kkk yx kkk 整理得 111 222 111 7 14 412141 kkk yxx kkk ， 直线CD恒过定点14,0 22 （1）证明：设 2 1 11 1ln1 4 xf xax xx ，定义域为0,， 则 22 111x x
19、xxx 当01x时， 0 x；当1x 时， 0 x， 故 x在0,1内是减函数，在1,内是增函数， 所以1x 是 x的极小值点，也是 x的最小值点， 所以 min 10 xx，所以 2 1 1 1 4 f xa x （2）解：函数 f x的定义域为0,， 2 3233 21111121 2222 xxxx fx xxxxx ， 当01x时， 0fx；当1x 时， 0fx， 所以 f x在0,1内是减函数，在1,内是增函数， 所以1x 是 f x的极小值点，也是 f x的最小值点， 即 min 1f xfa， 若0a ，则 22 1 31113 2444 xx f xg x xxx ， 当01x
20、时， f xg x；当1x 时， f xg x； 当1x 时， f xg x 所以 ,01 ,1 f xx h x g xx ，于是 h x只有一个零点1x 当0a ，则当01x时， f xg x，此时 0h xf xa， 当1x 时， 0f xa， 0g x ，此时 0h x ， 所以 h x没有零点 当0a ，则当01x时，根据（1）可知， 2 1 1 1 4 f xa x ， 而 1 01 21a ，所以 2 11 21 10 421 faa a ， 又因为 min 10f xfa，所以 f x在0,1上有一个零点 0 x， 从而一定存在 01 , cx，使得 f cg c， 即 2 113 0 244 a cc ，所以 2 311 424 a cc 当xc时， 222 1131111 20 24224444 cx cx g xf xa xxccxcxxxc ， 所以 g xf x，从而 ,0 , f xxc h x g xxc ， 于是 h x有两个零点 0 x和 1 故当0a 时， h x有两个零点 综上，当0a 时， h x有一个零点，当0a 时， h x没有零点，当0a 时， h x有两 个零点
