直线和圆的方程（解答题）.docx

1、 1 直线和圆的方程（解答题） 一、解答题一、解答题 1 （黑龙江省肇东市第四中学校 2020-2021 学年高二上学期第一次月考数学（理） ）已知圆 22 2xy，直 线yxb，当b为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点 【答案】 （1）22b； （2）2b； （3）2b或2b 【分析】求得圆的标准方程，求出圆心到直线的距离 d，分别求得 d=r、dr、dr 时，b 的值，可得直线 与圆相切、相交、相离时，b 的范围 【解析】方法一：圆心0 0O，到直线yxb的距离为 2 b d ，圆的半径 2r （1）当dr，即22b时，直线与圆

2、相交，有两个公共点； （2）当dr，即2b时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当dr，即2b或2b时，直线与圆相离，无公共点 方法二：联立直线与圆的方程，得方程组 22 2xy yxb ， 消去y得 22 2220 xbxb，则 2 164b （1）当0，即22b时，直线与圆有两个公共点； （2）当0 ，即2b时，直线与圆有一个公共点； （3）当0，即2b或2b时，直线与圆无公共点 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学 思想，属于基础题 2 （黑龙江省肇东市第四中学校 2020-2021 学年高二上学期第一次月考数学（理） ）已知点

3、2, 3 在圆 C： 22 860 xyxym上 （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点 M（1，1） ，斜率为 4 3 的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 2 【答案】 （1）圆心4, 3C，半径2r =； （2）弦长 12 5 AB 【分析】 （1）将点2, 3代入圆C方程可得m，然后将圆C方程转化为标准方程形式可得结果 （2）根据 点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离d，最后根据圆的弦长公式计算可得结果 【解析】 （1）由题可知： 2 2 238 263021 mm， 所以圆C的标准方程为 22 434xy，所以圆心4, 3C，半径2r =. （2

4、）直线l的方程为 4 11 3 yx，即4310 xy ， 则圆心C到直线l的距离为 22 4 4331 8 5 43 d， 所以弦长 22 12 2 5 ABrd. 【点睛】本题考查圆的方程以及圆的弦长公式，掌握公式，特别识记圆的弦长公式 22 2 rd ，便于计算， 属基础题 3 （河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O （1）求圆 C 的方程； （2）设直线 3x4y+150 与圆 C 交于 A，B 两点，求ABC 的面积 【答案】 （1） （x4）2+（y3）225 （2）12 【分析】 （1）求出半径，从而可得圆

5、的标准方程； （2）作 CDAB 于 D，则 CD 平分线段 AB，求出圆心到 直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积 【解析】 （1）圆 C 的半径为 22 345OC ， 从而圆 C 的方程为（x4）2+（y3）225； （2）作 CDAB 于 D，则 CD 平分线段 AB， 在直角三角形 ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD|3， 所以 22 |4ADACCD， 所以|AB|2|AD|8， 所以ABC 的面积 1 12 2 SAB CD 3 4 （黑龙江省肇东市第四中学校 2020-2021 学年高二上学期第一次月考数学（理） ）分别求出满足下列条件 的直线的方程： （1

6、）过原点作直线l的垂线，垂足为 (2,3)P ，求直线l的方程； （2）与直线3410 xy 平行，且相距为 2 的直线方程； （3）求过点(2，1)，且与3410 xy 垂直的直线方程 【答案】 （1）23130 xy； （2）34110 xy或3490 xy； （3）43110 xy 【分析】 （1）由题可得直线l与直线OP垂直，则可求出斜率，进而可得直线l方程； （2）设与直线 3410 xy 平行的直线为340 xyc，由两平行直线的距离公式列方程求解即可； （3）设与 3410 xy 垂直的直线为430 xyc，代入点(2，1)即可求出 【解析】 （1）直线l与直线OP垂直，故斜率

7、2 3 k ， 则直线方程为 2 32 3 yx ，即23130 xy； （2）设与直线3410 xy 平行的直线为340 xyc， 则 22 1 2 34 c ，解得11c或9c， 故所求直线方程为34110 xy或3490 xy； （3）设与3410 xy 垂直的直线为430 xyc， 代入点(2，1)得4 2 30c ，解得11c ， 故所求直线方程为43110 xy 5 （安徽省淮南市第一中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试）已知ABC的三个顶点1,0A ， 5, 4B，1,2C 4 （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求AB边上的高线所在直线的方程 【答案】 （

8、1）410 xy ； （2）3210 xy 【分析】 （1）先计算边BC的中点D，然后计算 AD k，根据点斜式，可得结果 （2）计算 AB k，然后根据垂直关系，可得AB边上的高线的斜率，利用点斜式，可得结果 【解析】 （1）由题意得：边BC的中点D为3, 1， 所以直线AD的斜率 011 1 34 AD k ， 所以BC边上的中线AD所在直线方程为 1 01 4 yx ，即410 xy （2）由题意得：直线AB的斜率 042 1 53 AB k ， 所以AB边上的高所在直线方程为 3 21 2 yx，即3210 xy 6 （福建省普通高中 2019-2020 学年高二 1 月学业水平合格性

9、考试）已知圆O： 22 8xy，点 0 12P ,， 直线l过点 0 P且倾斜角为 （1）判断点 0 P与圆O的位置关系，并说明理由； （2）若 3 4 ，求直线l被圆O所戴得的弦AB的长 【答案】 （1）点 0 P在圆O内，理由见解析； （2） 30 【分析】 （1）根据 0 OPr可得结果； （2）利用点斜式求出直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出圆 心到直线l的距离，根据勾股定理可求得弦长 【解析】 （1）点 0 P在圆O内，理由如下： 由已知得圆O的圆心为0,0O，半径 2 2r ， 因为 0 12P ,，所以 2 2 0 125OP 因为 0 OPr，所以点 0 P在圆O内 5

10、（2）因为 3 4 ，所以直线l的斜率为1 因为直线l过点 0 12P ,，所以直线l的方程为21yx，即10 xy ， 由圆心O到直线l的距离 22 00 12 2 11 d ， 所以 2 2 2 22 230 2 AB 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式，考查了点到直线的距离公式，属于基 础题 7 （江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021 学年高二上学期开学考试数学（理） ）已知圆C与y轴相 切，圆心在射线300 xyx，且被直线y x 截得的弦长为2 7 （1）求圆C的方程； （2）若点P在圆C上，求点P到直线34110 xy的距离的最小值 【答案】 （

11、1） 22 319xy； （2） 1 5 【分析】 （1） 根据条件可设圆方程为 22 2 39xayaa， 利用几何法可建立弦长关系， 求出a； （2） 可知点P到直线34110 xy的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径 【解析】 （1）圆心在射线300 xyx上，则可设圆心为3 , a a，其中0a， 圆C与y轴相切，圆的半径为3a，圆的方程为 22 2 39xayaa， 设圆心到直线0 xy的距离为d，则 3 2 2 aa da ， 由弦长的几何关系得 2 2 2 73da，即 22 2 273aa，解得 1a ， 则圆C的方程为 22 319xy； （2）圆心到直线34110 xy

12、的距离为 2 2 94 1116 3 5 34 ， 则直线与圆相离，点P到直线34110 xy的距离的最小值为16 1 3 55 8 （河北省鸡泽县第一中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试）已知点A(4,1),B( 6,3),C(3,0) （1）求ABC中BC边上的高所在直线的方程； 6 （2）求过, ,A B C三点的圆的方程 【答案】 （1）3110 xy； （2） 22 9120 xyxy 【分析】 （1）BC边上的高所在直线方程斜率与BC边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的 斜率，代入A(4,1)即可求出高所在直线的方程 （2）设圆的一般方程为 22 0 xy

13、DxEyF，代入 A(4,1),B( 6,3),C(3,0)即可求得圆的方程 【解析】 （1）因为BC所在直线的斜率为 301 633 BC k ， 所以BC边上的高所在直线的斜率为3k 所以BC边上的高所在直线的方程为13(4)yx ，即3110 xy （2）设所求圆的方程为 22 0 xyDxEyF 因为, ,A B C在所求的圆上，故有 16 1 4 369630 930 DEF DF 1 9 12 D E F ， 所以所求圆的方程为 22 9120 xyxy. 【点睛】 （1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率 （2）圆的一般方程为 22 0 xyDxEyF，三个未知

14、数三个点代入即可 9 （河北省鸡泽县第一中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试）已知两直线 1 l：340axy和 2 l： 2 250 xaya （1）若 12 ll，求实数a的值； （2）若 12 ll/，求实数a的值 【答案】 （1） 3 2 ； （2）3a 【分析】 （1）本题先建立方程1 3 (2)0aa ，再求实数a的值； （2）本题先建立方程 2 230aa，再求实数a的值，最后验证是否符合题意 【解析】 （1）若 12 ll，则1 3 (2)0aa ， 解得 3 2 ，故所求实数a的值为 3 2 （2）若 12 ll/，得(2)3 10a a ，即 2 230aa，解

15、得1a或3a 7 当1a时， 1 l的方程为340 xy ， 2 l的方程为340 xy，显然两直线重合，不符合题意 当3a 时， 1 l的方程为3340 xy， 2 l的方程为40 xy，显然两直线平行，符合题意 综上，当 12 ll/时， 3a 10 （四川省宜宾市第四中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试数学（文） ）已知直线 1 l：350 xy， 直线 2 l：40axyaR （1）若直线 1 l与直线 2 l平行，求实数 a 的值； （2）若直线 1 l与直线 2 l垂直，求直线 1 l与 2 l的交点坐标 【答案】 （1） 1 3 a ； （2） 7 19 , 10 1

16、0 【分析】 （1）由题意利用两条直线平行的条件求得实数 a 的值 （2）由题意利用两条直线垂直的条件求得 a 的值，再把两直线 1 l与 2 l的方程联立方程组，从而求得交点坐标 【解析】已知直线 1 l：350 xy，直线 2 l：40axyaR （1）若直线 1 l与直线 2 l平行，则有 14 135 a ，求得 1 3 a （2）若直线 1 l与直线 2 l垂直，则有 1 1 3 a ，求得3a ， 两直线即直线 1 l：350 xy，直线 2 l：340 xy， 由 35 0 340 xy xy 求得 7 10 19 10 x y ，直线 1 l与 2 l的交点坐标为 7 19 ,

17、. 10 10 11 （河北省邯郸市大名县第一中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）已知直线 l：kxy12k0（k R） （1）证明：直线 l 过定点； （2）若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，且|OA|=|OB|，求 k 的值 【答案】 （1）见解析； （2）k1 【分析】 （1）证直线过定点法一：可化为点斜式法二：化为恒等式 （2）由题：分别求出两坐标轴上的截距，由条件|OA|=|OB|建立关于 k 的方程可得 8 【解析】 （1）证明：法一：直线 l 的方程可化为 y1k（x2） ， 故无论 k 取何值，直线 l 总过定点（

18、2，1） 法二：设直线过定点（x0，y0） ，则 kx0y012k0 对任意 kR 恒成立， 即（x02）ky010 恒成立，x020，y010， 解得 x02，y01，故直线 l 总过定点（2，1） （2）因直线 l 的方程为 ykx2k1， 则直线 l 在 y 轴上的截距为 12k，在 x 轴上的截距为 2 1 k ， 依题意：12k2 1 k 0 解得 k1 或 k 1 2 （经检验，不合题意） 所以所求 k1. 12 （河北省邯郸市大名县第一中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考） 已知两直线 1 l：40axby， 2 l：10.axyb求分别满足下列条件的 a，b 的

19、值 （1）直线 1 l过点3, 1 ，并且直线 1 l与 2 l垂直； （2）直线 1 l与直线 2 l平行，并且坐标原点到 1 l， 2 l的距离相等 【答案】 （1）2a，2b； （2）2a，2b或 2 3 a ，2b 【分析】 （1）利用直线 1 l过点3, 1 ，直线 1 l与 2 l垂直，斜率之积为1 ，得到两个关系式，求出 a，b 的 值 （2）类似（1）直线 1 l与直线 2 l平行，斜率相等，坐标原点到 1 l， 2 l的距离相等，利用点到直线的距离 相等得到关系，求出 a，b 的值 【解析】 （1） 12 ll， 110a ab ，即 2 0aab 又点3, 1 在 1 l上

20、，340ab 由得2a，2b （2） 12 /ll，1 a a b ， 1 a b a ， 故 1 l和 2 l的方程可分别表示为： 41 10 a axy a ， 10 1 a axy a ， 又原点到 1 l与 2 l的距离相等 1 4 1 aa aa ，2a 或 2 3 a ， 9 2a ， 2b 或 2 3 a ，2b 【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算 能力，是基础题 13 （黑龙江省鹤岗市第一中学 2020-2021 学年高二 10 月月考数学（理） ）在平面直角坐标系中，已知菱形 ABCD的顶点1,2A 和 (5,4)C，

21、AB所在直线的方程为30 xy （1） 求对角线BD所在直线的方程； （2） 求AD所在直线的方程 【答案】 （1）390 xy； （2）7130 xy 【分析】 （1）根据,A C坐标求得 AC k和AC中点2,3M；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可 得直线BD斜率和M在直线BD上，利用点斜式写出直线方程； （2）由直线AB和BD的方程解得B点坐 标，从而求得 BC k；由平行关系可知 BCAD kk，利用点斜式写出直线方程 【解析】 （1）由1,2A 和(5,4)C得： 421 5 13 AC k ，AC中点2,3M 四边形ABCD为菱形 BDAC，且2,3M为BD中点， 3 BD

22、 k 对角线BD所在直线方程为：332yx ，即：390 xy （2）由 390 30 xy xy ，解得： 3 9 , 2 2 B ， 9 4 1 2 3 7 5 2 BC k ， /ADBC， 1 7 AD k ，直线AD的方程为： 1 21 7 yx ，即：7130 xy 【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的 关系，从而运用直线点斜式方程求得结果 14 （黑龙江省双鸭山市第一中学 2020-2021 学年高二 10 月月考数学（文） ）直线 l 过点 P（4，1） ， （1）若直线 l 过点 Q（1，6） ，求直线 l 的方程； （

23、2）若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍，求直线 l 的方程 【答案】 （1）5yx ； （2） 1 4 yx或29yx 【分析】 （1）由题，此直线经过两点，故采用直线的两点式方程，将 P（4，1） ，Q（1，6） ，代入到两点 10 式方程中，得到直线方程5yx ； （2）由题，经过一点的直线可设为直线的点斜式方程，将点P坐标代入，得到 y1k（x4） ，分别将 x， y 轴上的截距表示出来，由题中的关系可得到k的关系式，求解即可 【解析】 （1）直线 l 的方程为 1 6 1 y 4 14 x ，化简，得 xy50 （2）由题意知直线有斜率且不为零，设直线 l 的

24、方程为 y1k（x4） ， l 在 y 轴上的截距为 14k，在 x 轴上的截距为 4 1 k ， 故 14k2（4 1 k ） ，得 k 1 4 或 k2， 直线 l 的方程为 1 4 yx或 y2x9 15 （四川省泸县第五中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试数学（理） ）已知直线l：x+y-1=0 （1）求过原点且与直线l平行的直线方程 （2）求过点(2，3)且与直线l垂直的直线方程 【答案】 （1）0 xy（2）10 xy 【分析】 （1）利用两直线平行时的斜率关系即可求解； （2）利用两直线垂直时的斜率关系即可求解 【解析】 （1）直线:10l xy 的斜率为1， 过原点

25、且与直线l平行的直线方程为：yx ，即0 xy ； （2）直线:10l xy 的斜率为1， 与直线l垂直的直线的斜率为 1， 过点(2,3)且与直线l垂直的直线方程为：32yx ，即10 xy 16 （宁夏吴忠市吴忠中学 2020-2021 学年高二上学期开学分科考试） （1） 直线l在两坐标轴上的截距相等， 且点4,3P到直线l的距离为3 2，求直线l的方程 （2）圆心在直线4yx 上，且与直线l：10 xy 相切于点() 3, 2P- ，求圆的方程 【答案】 （1） 3 614 2 yx 或10 xy 或130 xy； （2） 22 148xy 【解析】 （1）当所求直线经过坐标原点时，设

26、其方程为y kx ， 由点到直线的距离公式可得 2 43 3 2 1 k k ，解 3 614 2 k 11 故所求直线的方程为 3 614 2 yx 当直线不经过坐标原点时，设所求直线为1 xy aa ，即0 xya 由题意可得 43 3 2 2 a 解1a 或13a 故所求直线的方程为10 xy 或130 xy 综上可知，所求直线的方程 3 614 2 yx 或10 xy 或130 xy （2）法一：设圆的标准方程为 22 2 xaybr， 则有 22 2 4 , 32, 1 , 2 ba abr ab r 解得1a ，4b ， 2 2r 所求圆的方程为 22 148xy 法二：过切点()

27、 3, 2P- 且与10 xy 垂直的直线23yx， 由 4 23 yx yx ，得 1 4 x y ，所以圆心为1, 4， 所以半径 22 1 3422 2r ， 所以所求圆的方程为 22 148xy 17 （广东省深圳市宝安区第一外国语学校 2019-2020 学年高一下学期期中） 求经过直线 l1： 2x3y50， l2：3x2y30 的交点且平行于直线 2xy30 的直线方程 【答案】26x13y470 【分析】先求出两直线交点 19 9 , 13 13 ，又所求直线与直线 2xy30 平行，则斜率为2，利用点斜式写 出直线方程 919 2 1313 yx ，即 26x13y470 1

28、2 【解析】由 2350 3230 xy xy ，得 19 13 9 13 x y ， 由平行于 2xy30，可得直线的斜率为2， 直线方程为 919 2 1313 yx ，即 26x13y470 18 （四川省资阳市 2019-2020 学年高一下学期期末）已知直线 1 l：210 xy 和 2 l：20 xy的交 点为P （1）若直线l经过点P且与直线 3 l：4350 xy平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求OAB的面积（其 中O为坐标原点） 【答案】 （1）4330 xy； （2）30 【分析】 （1）先求出交点P的坐标

29、和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程 （2）先求出A、B两点的坐 标，再利用三角形的面积公式，求得OAB的面积 【解析】1）由 210 20 xy xy ，求得 3 5 x y ，可得直线 1 l：和 2 l：的交点为3, 5P 由于直线 3 l的斜率为 4 3 ，故过点P且与直线 3 l平行的直线l的方程为 4 53 3 yx， 即4330 xy （2）设直线m的斜率为k，则直线m的方程为53yk x ， 由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且3, 5P 为线段AB的中点， 故 5 3,0A k ，0,35Bk ，且点P的坐标满足直线m的方程， 5 3 3 2 k ，且 35 5 2

30、k ，求得 55 33 k 则6,0A 0, 10B 故OAB的面积为 11 61030 22 OA OB 19 （黑龙江省牡丹江一中 2020-2021 学年高二上开学测试）求适合下列条件的直线方程： 13 （1）经过点1, 3A ，倾斜角等于直线 3 3 yx 的倾斜角的2倍； （2）经过点3,4B，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 【答案】 （1）3330 xy（2）10 xy 或70.xy 【分析】（1） 根据倾斜角等于直线 3 3 yx 的倾斜角的2倍， 求出直线的倾斜角， 再利用点斜式写出直线（2） 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为 【解析】 （1）已知 3 t

31、an= 3 ， 2 2tan tan23 1tan k 直线方程为33(1)yx化简得3330 xy （2）由题意可知，所求直线的斜率为 又过点3,4，由点斜式得43yx， 所求直线的方程为10 xy 或70.xy 20 （四川省宜宾市叙州区第二中学校 2020-2021 学年高二上学期开学考试数学（理） ）已知在平行四边形 ABCD 中，(1,2), (5,0),(3,4)ABC （1）求点 D 的坐标； （2）试判断平行四边形 ABCD 是否为菱形 【答案】 （1）D(1，6) （2）ABCD 为菱形 【分析】 （1）利用平行四边形的特征，kABkCD，kADkBC，得出 D 点坐标； （

32、2）判断 kAC kBD1，利用两直线垂直的斜率关系即可 【解析】 （1）设 D(a，b)，四边形 ABCD 为平行四边形， kABkCD，kADkBC， ，解得D(1，6) （2）kAC1，kBD 1， kAC kBD1ACBDABCD 为菱形 21 （湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021 学年高二上学期第一 次联考）设直线:3419260lxyxy，(R) 14 （1）求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （3）设直线l与x轴y轴的正半轴交于点A，B，求当MA MB(点M为（1）中的定点

33、)取得最小值时 直线l的方程 【答案】 （1）证明见解析，M坐标1,4； （2）40 xy或50 xy； （3）50 xy 【分析】 （1）根据直线方程，列出方程组 34190 260 xy xy ，求解，即可得出定点坐标； （2）根据直线在两坐标轴上的截距相等，分别讨论直线过原点，和直线不过原点，两种情况，分别求解， 即可得出结果； （3）设 ( ,0)A a ，(0, )Bb(0,0)ab，则直线l的方程可设为1 xy ab ，根据直线过定点 得到 14 1 ab ，再由MA MBAM MB，结合基本不等式求解，即可得出结果 【解析】 （1）因为:3419260lxyxy， 由 34190

34、 260 xy xy ，解得 1 4 x y ，则定点M为 14，； （2）因为直线l在两坐标轴上的截距相等， 当直线过原点时，19 60，则 19 6 ，此时直线l的方程为40 xy； 当直线不过原点时，直线方程化为3 2419 60 xy， 则3 24 ，解得1，所求直线为50 xy； 综上，直线方程为40 xy或50 xy； （3）设 ( ,0)A a ，(0, )Bb(0,0)ab，则直线l的方程可设为1 xy ab ， 又直线l过点(1,4)M，则 14 1 ab ， 而(1,4) ( 1,4)MA MBAM MBab 144444 41741728 baba abab ababab

35、 当且仅当5ab时等号成立，此时直线l的方程为50 xy 22 （广东省深圳市宝安区第一外国语学校 2019-2020 学年高一下学期期中）在平面直角坐标系xoy中，已 15 知经过原点 O 的直线l与圆 22 :410C xyx 交于,A B两点 （1）若直线:220(0)m axyaa与圆C相切，切点为 B，求直线l的方程； （2）若2OBOA，求直线l的方程； （3）若圆C与x轴的正半轴的交点为 D，设直线 l 的斜率k，令1kt ，设ABD面积为( )f t，求( )f t 【答案】 （1）:2l yx； （2）:31l yx ； （3） 2 22 51 ( )2() (1) t f

36、ttR t 【分析】（1） 由直线与圆相切可求得1a ， 再由切点(1,2)B， 得直线l的方程；（2） 取 AB 中点 M， 设O M x ， 由圆心到直线l的距离为d，根据勾股定理求得 2 31 8 d ，再由点到直线的距离可求得直线的方程； （3）设 A，B 两点的纵坐标分别为 12 ,y y，先求点 (25,0)D，设 AB 方程为x ty ，与圆的方程联立，得 22 (1)410tyty ，运用韦达定理表示 12 yy，再由面积公式可得答案 【解析】 （1） 由相切得 2 32 5 4 a a 化简得： 2 340aa， 解得 1a 或4a ， 由于0a， 故1a ， 由直线m与圆解

37、得切点(1,2)B，得:2l yx； （2）取 AB 中点 M，则 1 2 AMAB，又 1 3 OAAB，所以 1 3 OMAM，设：OMx，圆心到直线l的 距离为d，由勾股定理得： 2222 4,95xdxd，解得 2 31 8 d ，设所求直线的方程为ykx， 2 2 1 k d k ，解得31k ，:31l yx （3）设 A，B 两点的纵坐标分别为 12 ,y y，且 12 ,y y异号，因为圆 22 :410C xyx ，令0y 得 (25,0)D， 所以 12 1 25 2 ABD Syy，且 1212 yyyy，设 AB 方程为xty， 由 22 410 xty xyx 消元得

38、 22 (1)410tyty ， 2 12 22 204 11 t yy tt 2 22 51 2 (1) t t ，则 2 22 51 ( )2() (1) t f ttR t 23（湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期暑期拓展摸底测试） 已知圆C 经过(2,4)、 (1,3)，圆心C在直线10 xy 上，过点(0,1)A，且斜率为k的直线l与圆相交于M、N两点 16 （1）求圆C的方程； （2） （1）请问AM AN 是否为定值若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）若O为坐标原点，且 12OM ON ，求直线l的方程 【答案】 （1） 22 (2)(3)

39、1xy;（2） （1）7; （2） 1yx 【分析】 （1） 设圆M的方程为 22 2 xaybr，将已知条件代入，解出方程组，即可求得圆C的 方程； （2） （1）过点0,1A作直线AT与圆C相切，切点为T，则 2 7AT ，根据数量积的定义代入可 得AM AN 为定值;（2）依题意可知，直线l的方程为1ykx，联立直线与圆方程，消去 y，将韦达定 理代入OM ON 12，即可求出1k ，进而求得直线方程 【解析】 （1）设圆M的方程为 22 2 xaybr， 则依题意，得 22 2 22 2 24 13 10 abr abr ab 解得 2, 3, 1, a b r 圆M的方程为 22 2

40、31xy （2） （1）AM AN 为定值 过点0,1A作直线AT与圆C相切，切点为T，则 2 7AT ， 2 cos07AM ANAMANAT，AM AN 为定值，且定值为 7 （2）依题意可知，直线l的方程为1ykx， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，将1ykx代入 22 231xy并整理得： 22 14 170kxk x， 2 12 2 4 1 1 k xx k ， 12 2 7 1 xx k ， OM ON 1212 x xy y 2 1212 2 41 11812 1 kk kx xk xx k ， 即 2 41 4 1 kk k ，解得1k ，又当1k 时0 ，1k

41、， 所以直线l的方程为1yx 24 （江西省南昌市第二中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考数学（文） ）已知以点1,2A 为圆心 17 的圆与直线:270m xy相切，过点2,0B 的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点 （1）求圆 A 的方程 （2）当2 19MN 时，求直线 l 方程 【答案】 （1） 22 1220 xy； （2）3 460 xy 或2x 【分析】 （1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程； （2）根据相交弦长公式，求出 圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程 【解析】 （1）由题意知1,2A 到直线27

42、0 xy的距离为圆 A 半径 r， 所以 1 47 2 5 5 r ，所以圆 A 的方程为 22 1220 xy （2）设MN的中点为 Q，则由垂径定理可知90MQA，且19MQ ， 在RtAMQ中由勾股定理易知 22 1AQAMMQ， 设动直线 l 方程为：2yk x或2x，显然2x符合题意 由1,2A 到直线 l 距离为 1 知 2 22 1 1 kk k 得 3 4 k 所以3 460 xy 或2x为所求直线l方程 25 （广东省广州市第一一三中学 2019-2020 学年高一下学期期中）已知圆C： 22 122xy，上 2, 1P，过 P 点作圆 C 的切线PA，PB，A，B 为切点

43、（1）求PA，PB所在直线的方程； （2）求切线长PA； （3）求直线AB的方程 【答案】 （1）:10 PA lxy ，:7150 PB lxy； （2） 2 2； （3） 330 xy 【分析】 （1） 当直线斜率不存在时， 直线方程为2x， 利用圆心到直线的距离验证， 当直线的斜率存在时， 设直线方程为12yk x ，即210kxyk ，然后利用直线到圆心的距离等于比较求解 （2）利 用切线 长公式，由 22 PAPCAC 求解 ； （3）先求 得以 PC 为直径的圆 的方程，再与 22 122xy两方程相减求解 18 【解析】 （1）当直线斜率不存在时， 直线方程为2x，圆心到直线的距

44、离 2 1 12dR ，不成立， 当直线的斜率存在时，设直线方程为12yk x ，即210kxyk ， 圆心到直线的距离： 2 3 2 1 k d k ，解得1k 或7k ， 所以PA，PB所在直线的方程分别为10 xy ，7150 xy； （2）由切线长公式得： 2222 2 11 222 2PAPCAC ； （3）以 PC 为直径的圆的方程为 22 315 222 xy ， 与圆 22 122xy，两方程相减得：直线AB的方程为：330 xy 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系，以及切线长和公共弦方程的求法， 还考查了运算求解的能力， 属于中档题 26 （黑龙江省佳木斯市第二中学 2

45、019-2020 学年高一下学期期末考试）平面直角坐标系 xoy 中，直线 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆 O 的方程； （2）若直线 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D，E，当 DE 长最小时，求直线 的方程； （3）设 M，P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交于 x 轴于点（， ）和（，） ，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【答案】 （1）x2y22 （2）xy20 （3）见解析 【分析】 （1）求出 O 点到直线 xy+1=0 的距离，进而可求圆 O 的半径，即可得到圆 O 的方程； （2）设直

46、 线 l 的方程，利用直线 l 与圆 O 相切，及基本不等式，可求 DE 长最小时，直线 l 的方程； （3）设 M（x1， y1） ，P（x2，y2） ，则 N（x1，y1） ， 22 11 x +y =2 ， 22 22 x+y =2，求出直线 MP、NP 分别与 x 轴的交点， 进而可求 mn 的值 【解析】 （1）因为 O 到直线 xy10 的距离为 1 2 ， 所以圆 O 的半径 r 2 2 16 + 22 2，故圆 O 的方程为 x 2y22 19 （2）设直线 l 的方程为 x a y b 1(a0，b0)，即 bxayab0， 由直线 l 与圆 O 相切，得 22 ab a +

47、b 2，即 22 11 + ab 1 2 ， 所以 DE2a2b22(a2b2 )（ 22 11 + ab ） 2 22 22 ab +2 ba 2 22 22 ab 2?+2 ba 8(当且仅当 ab2 时等号成立)，此时直线 l 的方程为 xy20 （3）设 M(x1，y1)，P(x2，y2)，则 N(x1，y1)，x 2 1 y 2 1 2，x 2 2y 2 22， 直线 MP 与 x 轴的交点为 1221 21 x y -x y ,0 y -y ，即 m 1221 21 x y -x y y -y 直线 NP 与 x 轴的交点为 1221 21 x y +x y ,0 y +y ，即 n 1221 21 x y +x y y +y 所以 mn 1221 21 x y -x y y -y 1221 2