1、 1 不等式与一次不等式组不等式与一次不等式组 全章复习与巩固 全章复习与巩固 （提（提 高）知识讲解高）知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组） ，解决实际应用问题； 5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的 一种重要途径. 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、不等
2、式不等式 1.1.不等式：不等式：用符号“”(或“”)， “” （或“” ） ，连接的式子叫做不等式. 要点诠释：要点诠释： （1）不等式的解：）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如xa，xa等；另一种是用数轴表 示，如下图所示： （3）解不等式：）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 2. 不等式不等式的性质：的性质： 不等式的基本性质不等式的基本性质 1 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变
3、 用式子表示：如果 ab，那么 acbc 不等式的基本性质不等式的基本性质 2 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 不等式的基本性质不等式的基本性质 3 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 2 要点二要点二、一元一次不等式一元一次不等式 1.1. 定义：定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1， 这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：要点诠释：ax+b0 或 ax+b0(
4、a0)叫做一元一次不等式的标准形式 2.解法：解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 要点诠释：要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定” ：一是定边界点，二是 定方向，三是定空实. 3.3.应用应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于” “小于” “不大于” “至少” “不 超过” “超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所
5、列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释：要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算” 、 “至少” 、 “不足” 、 “不超过” 、 “不大于” 、 “不小于” 等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、要点三、一元一次不等式组一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释：要点诠释： （1 1）不等式组的解集不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2 2）解不等式组：）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3
6、 3）一元一次不等式组的解法）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分， 利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4 4）一元一次不等式组的一元一次不等式组的应用应用： 根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集 及实际意义确定问题的答案 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、不等式不等式 1.用适当的语言翻译下列小题： （1）x 与 9 的差是正数或 0； （2）b 与-5 的和既不是正数也不是负数； （3）y 的 5 倍既大于 x 又小于 3x+2； （4）a 的 2 倍与-4 的差小于 5 或大于 7； （5） 1 0 2 yx
7、； （6） 1 230 2 x ； 3 （7） （8） 【答案与解析】 解： （1）x -90； （2）b+(-5)=0； （3）x5y3x+2； （4）2a-(-4)7； （5）y 的一半与 x 的差非负； （6）x 的一半与 3 的差既大于-2 又小于 0； （7）x-3 或写作：大于-3 的数； （8）2y，试比较代数式-(8-10 x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的 正整数 x 或 y 的值是多少? 【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。 【答案与解析】 解：可利用作差比较法比较大小 -(8-l0 x)- -(8-l0y)
8、=-8+10 x+8-10y =10 x -10y xy，10 x10y，10 x -10y0 -(8-l0 x)-(8-l0y) 按题意-(8-l0 x)0，则 10 x8 4 5 x x 的最小正整数值是 1 【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断： 0aba b 0aba b 0abab 举一反三：举一反三： 【变式】己知：x0.5，比较 2-4x 和 18x-9 的大小. 【答案】 解：2-4x-（18x-9）=11-22x 而又x-11 即 11-22x0 2-4x18x-9 类类型二型二、一元一次不等式一元一次不等式 【高清课堂：高清课堂：一元一次不等式章节复习一元一次不
9、等式章节复习 410551 410551 例例 3 3（3 3）】 4 3. 已知关于 x 的不等式 11 512 22 xax 的解集是 1 2 x ，求 a 的取值范围. 【答案与解析】 解：法一：5 22xax ， (1)9a x， 它的解集为 1 2 x ， 10 91 12 a a ， 17a . 法二： 1 2 x 是关于x方程 11 512 22 xax 的解， 1 11 1 (5) 1(2) 2 22 2 a ，解得17a 17a . 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如果关于的不等式06 xk正整数解为 1、2、3, 则正整
10、数应取怎样的值? 【答案】解不等式得：6 kx 为正整数且6 kx中的正整数解为 1，2，3 46 k 2 k 【变式 2】已知 x=-4 是不等式 ax9 的解集中的一个值,试求 a 的取值范围. 【答案】将 x=-4 代入不等式 ax9 中，得 4a9，解得 9 4 a . 所以 a 的取值范围 9 4 a . 类型三类型三、一一元一次不等式组元一次不等式组 4. 求不等式组 2x73 1x 42 x31x 33 25 1 3 x x 的整数解. 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分. 【答案与解析】 5 解解： 2x73 1x 42 x31x 33 25 1 3 x x 解不等
11、式得：x2 解不等式得：x1 解不等式得：x-2 不等式组的解集为1x2 故不等式组的整数解为1，0,1 【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊 解 【高清课堂：高清课堂：一元一次不等式章节复习一元一次不等式章节复习 410551 410551 例例 4 4（2 2）】 举一反三：举一反三： 【变式】若关于不等式组 15 3 2 22 3 x x x xa 只有四个整数解，求 a 的取值范围. 【答案】 解：由 15 3 2 x x ，得21x， 由 22 3 x xa ，得32xa， 不等式组的解集为3221ax， 只有四个整数解，1632
12、17a，即 14 5 3 a ， a 的取值范围： 14 5 3 a . 5. 某家电商场计划用 32400 元购进 “家电下乡” 指定产品中的电视机、 冰箱、 洗衣机共 15 台 三 种家电的进价和售价如下表所示： 价格 种类 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 2000 2100 冰 箱 2400 2500 洗衣机 1600 1700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机 数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的 13领取补贴在(1)的条件下，如果这 15 台家 电全部销售给农民，国家财政
13、最多需补贴农民多少元? 6 【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各 x 台，则洗衣机为(15-2x)台根据两个关键词： “不大于” 、 “不超过” 就可以建立不等式组， 根据 x 的取值讨论确定进货方案 (2)分别求出(1)中各方案所需的补贴， 再比较确定国家财政的最多补贴 【答案与解析】 解：(1)设购进电视机、冰箱各 x 台 依题意，得 1 152 2 200024001600(152 )32400 xx xxx 解这个不等式组得，6x7 x 为正整数 x6 或 7 方案一：购进电视机和冰箱各 6 台，洗衣机 3 台； 方案二：购进电视机和冰箱各 7 台，洗衣机 1 台 (2)方案 1
14、需补贴： (62100+62500+31700)134251(元) 方案二需补贴： (72100+72500+11700)134407(元) 国家财政最多需补贴农民 4407 元 【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)； 由不等式(组)的整数解的个数确定方案 类型四类型四、综合应用综合应用 6.已知不等式组 1 0 3 4(1)1 x m nx 的解集为 3 2 2 x，试求 m，n 的值 【答案与解析】 解：解不等式 1 0 3 x m ，得31xm 解不等式 n-4(x-1)1，得 3 4 n x 因为不等式组的解集为 3 2 2 x， 所
15、以有 312 33 42 m n ， 1 3 m n 答：m、n 的值分别 1 和 3 【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关 于 m、n 的方程求解 7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了 A、B 两类蔬菜，两种植户种植的两 类蔬菜的种植面积与总收入如下表： 种 植户 种植 A 类蔬菜面积(单位： 亩) 种植 B 类蔬菜面积(单 位：亩) 总收入(单位：元) 甲 3 1 12500 7 乙 2 3 16500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等 (1)求 A、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? (2)某种植户准备
16、租 20 亩地用来种植 A、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于 63000 元，且种植 A 类蔬菜的面积多于种植 B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案 【答案与解析】 解：(1)设 A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 x 元，y 元 由题意得： 312500 2316500 xy xy 解得 3000 3500 x y 答：A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 3000 元，3500 元 (2)设用来种植 A 类蔬菜的面积 a 亩，则用来种植 B 类蔬菜的面积为(20-a)亩 由题意得： 30003500(20)63000 20 aa aa 解得：10a14 a
17、取整数为：11、12、13、14 租地方案为： 类 别 种植面积单位： （亩） A 11 12 13 14 B 9 8 7 6 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统 计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】某花农培育甲种花木 2 株，乙种花木 3 株，共需成本 1700 元；培育甲种花木 3 株，乙种花 木 1 株，共需成本 1500 元 （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1 株甲种花木售价为 760 元， 1 株乙种花木售价为 540 元该花农决定在成本不 超过
18、30000 元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的 3 倍还多 10 株,那么要 使总利润不少于 21600 元，花农有哪几种具体的培育方案？ 【答案】 解： （1）设甲、乙两种花木的成本价分别为 x 元和 y 元 由题意得： 15003 170032 yx yx ， 解得： 300 400 y x （2）设种植甲种花木为 a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株 则有： 21600)103)(300540()400760( 30000)103(300400 aa aa 8 解得： 13 270 9 160 a 由于 a 为整数，a 可取 18 或 19 或 20，所以有三种具体方案： 种植甲种花木 18 株，种植乙种花木 3a+10=64 株； 种植甲种花木 19 株，种植乙种花木 3a+10=67 株； 种植甲种花木 20 株，种植乙种花木 3a+10=70 株.
