1、 1 平面直角坐标系全章复习与巩固平面直角坐标系全章复习与巩固( (基础基础) )知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写 出它的坐标； 2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化； 3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进 而培养数形结合的数学思想 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、有序数对点一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在
2、生产生活中经常以有序 数对为工具表达一个确定的意思， 如某人记录某个月不确定周期的零散收入， 可用(13， 2000)， (17， 190)， (21，330)，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位， 如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位 号. 要要点点二二、平面直角坐标系平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 2 要点诠释：要点诠释： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限， 这六个区域
3、中，除了 x 轴与 y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关 系，这样就将形与数联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： x 轴上的点纵坐标为零；y 轴上的点横坐标为零 平行于 x 轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于 y 轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等 关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数 象限角平分线上的点的坐
4、标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 注：反之亦成立 （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： 坐标平面内点 P(x，y)到 x 轴的距离为|y|，到 y 轴的距离为|x| x 轴上两点 A(x1，0)、B(x2，0)的距离为 AB=|x1 - x2|； y 轴上两点 C(0，y1)、D(0，y2)的距离为 CD=|y1 - y2| 平行于 x 轴的直线上两点 A(x1，y)、B(x2，y)的距离为 AB=|x1 - x2|； 平行于 y 轴的直线上两点 C(x，y1)、D(x，y2)的距离为 CD=|y1 - y2| （5）利
5、用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 要要点三点三、坐标方法的简单应用坐标方法的简单应用 1 1用坐标表示地理位置用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称 要点诠释：要点诠释： (1)我们习惯选取向东、向北分别为 x 轴、y 轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的 位置 (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度 2 2用坐标表示平移用坐标表示平移 (1)(
6、1)点的平移点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移 a 个单位长度，可以 得到对应点(x+a， y)(或(x-a， y)； 将点(x， y)向上(或下)平移 b 个单位长度， 可以得到对应点(x， y+b)(或 (x，y-b) 要点诠释：要点诠释： 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换 (2)(2)图形的平移图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形 就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数 a，相应 的新图形就是把
7、原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度 要点诠释：要点诠释： 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的 坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循： “右加左减，纵不变；上 3 加下减，横不变” 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、有序数对有序数对 1 数学家发明了一个魔术盒， 当任意数对(a， b)进入其中时， 会得到一个新的数： 2 1ab 例 如把(3，-2)放入其中，就会有 32 +(-2)+18，现将数对(-2，3)放入其中得到数 m，再将数对(m，1)放 入其中，得到的数是_ 【思路点拨】解答本题的关
8、键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数 对代入 2 1ab求值即可 【答案】66 . 【解析】解：将(-2，3)代入， 2 1ab，得(-2)2+3+18， 再将(8，1)代入，得 82 +1+166， 故填：66 【总结升华】解答此题的关键是把实数对 （-2，3） 放入其中得到实数 m，解出 m 的值， 即可求出把（m， 1）放入其中得到的数 举一反三：举一反三： 【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走 4 米，再向北走 6 米，记作(4，6)，则向西走 5 米， 再向北走 3 米，记作_；数对(-2，-6)表示_ 【答案】 (-5，3)；向西走 2 米，向南
9、走 6 米. 类型二类型二、平面直角坐标系平面直角坐标系 2. (滨州)第三象限内的点 P(x，y)，满足|x|5，y29，则点 P 的坐标为_ 【思路点拨】点在第三象限，横坐标0，纵坐标0再根据所给条件即可得到 x，y 的具体值 【答案】(-5，-3). 【解析】因为|x|5，y29所以 x5，y3，又点 P(x，y)在第三象限，所以 x0，y0， 故点 P 的坐标为(-5，-3) 【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+） ；第二象限（-，+） ； 第三象限（-，-） ；第四象限（+，-） 举一反三：举一反三： 【变式 1】 (乐山)在平面直角坐标系中，点
10、P(-3，4)到 x 轴的距离为( ) A3 B-3 C4 D-4 【答案】C. 【变式 2】 (长春)如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) A(5，2) B(-6，3) C(-4，-6) D(3，-4) 【答案】D. 类型三类型三、坐标方法的简单应用坐标方法的简单应用 3.如图所示，建立适当的直角坐标系，写出图中的各顶点的坐标 4 【思路点拨】建立平面直角坐标系的关键是先确定原点，再确定 x 轴、y 轴，建立不同的直角坐标系， 各顶点的坐标也不同 【答案与解析】 解：建立直角坐标系如图所示，则各点的坐标为(-4，0)，(-3，0)，(-3，-4)，(3，-4)，(3，0)， (4，0)，
11、(0，3)，再建立不同的平面直角坐标系，写出各顶点的坐标(读者自己试试看) 【总结升华】选择适当的直角坐标系可方便解题，一般尽可能使大多数的点的坐标为整数且易表示出 来 【高清课堂：【高清课堂：平面直角坐标系单元复习平面直角坐标系单元复习 8 8（1 1） 】 4.已知 A（-1，0） ，B（5，0） ，C（-2，-4） ，求ABC 的面积. 【思路点拨】观察图形可知，三角形 ABC 的边 AB 在 x 轴上，根据点 A、B 两点横坐标的差可计算出 AB 的长，AB 边上的高等于点 C 的纵坐标的绝对值，由此可计算出ABC 的面积 【答案与解析】 解：由图可知，AB5（1）6，高44， 所以A
12、BC 的面积 1 6 412 2 . 答：ABC 的面积为 12 平方单位. 【总结升华】本例通过图形的转化，点的坐标与线段长度的转化解决了求图形面积的问题点的坐标 5 能体现它到坐标轴的距离，于是将点的坐标转化为点到坐标轴的距离，这种应用十分广泛 5.ABC 三个顶点坐标分别是 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2) (1)将ABC 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将ABC 三个顶点的横坐标都减去 5，纵坐标不变，分别得到 A2、B2、C2，依次连接 A2、B2、 C2各点，所得A2B2C2与ABC 的大小、形状和位置上有什么
13、关系? (3)将ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5，横坐标不变，分别得到 A3、B3、C3，依次连接 A3、B3、 C3各点，所得A3B3C3与ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? 【答案与解析】 解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0) (2)A2B2C2与ABC 的大小、形状完全相同，在位置上是把ABC 向左平移 5 个单位得到 (3)A3B3C3与ABC 的大小、形状完全相同，在位置上是把ABC 向下移 5 个单位得到 【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标 减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等
14、价于向下平移；纵坐标增大等价于向上 平移 【高清课堂：【高清课堂：平面直角坐标系单元复习平面直角坐标系单元复习 5 5】 举一反三：举一反三： 【变式】 （1）将点 P（ 3 2 5 ,-5）向左平移 3 5 个单位，再向上平移 4 个单位后得到的坐标为 . （2）将点 P 向左平移 3 5 个单位，再向上平移 4 个单位后得到 1 P(2，-1)，则点 P 的坐标为 . （3）将点 P(m-2，n+1)沿 x 轴负方向平移 3 个单位，得到 1 P (1-m，2)，则点 P 坐标 . (4)把点 P1(2，-3)平移后得点 P2(-2，3)，则平移过程是_. 【答案】（1）（2，-1） （2
15、）（ 3 2 5 ,-5） （3） （1,2） （4）先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 6 个单位长度； 类型四类型四、综合应用综合应用 6. 三角形 ABC 三个顶点 A、B、C 的坐标分别为 A（2，-1） 、B（1，-3） 、C（4，-3.5） （1）在直角坐标系中画出三角形 ABC； （2） 把三角形 A1B1C1向右平移 4 个单位， 再向下平移 3 个单位， 恰好得到三角形 ABC， 试写出三角形 A1B1C1 三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点； （3）求出三角形 A1B1C1的面积 【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出 A、B、C 三点，顺次连接即可 （
16、2）把三角形 A1B1C1向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，恰好得到三角形 ABC，即三角形 ABC 向上 平移 3 个单位，向左平移 4 个单位，得到三角形 A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移 减；纵坐标上移加，下移减写出三角形 A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形 （3）把A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得A1B1C1的面积 【答案与解析】 解： （1）如图 1， 6 （2）如图 2，A1（-2，2） ，B1（-3，0） ，C1（0，-0.5） ； （3）把A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去， 即可求得A1B1C1的面积=32.5-1-2.5-0.75=3.25 A1B1C1的面积=3.25 【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换注意平移时，要找到三角形各顶点的对 应点是关键，然后割补法求出三角形 ABC 的面积。 举一反三：举一反三： 【变式】如果矩形 ABCD 的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点 A 和点 C 的坐标分别 为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为( ) A32 B24 C6 D8 【答案】B.
