1、 1 平行线的性质及平移平行线的性质及平移（提高提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念； 3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找 出它的题设和结论； 4 了解图形的平移变换， 知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质， 能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、平行线的性质平行线的性质 性质性质 1 1：两直线平
2、行，同位角相等； 性质性质 2 2：两直线平行，内错角相等； 性质性质 3 3：两直线平行，同旁内角互补. 【高清课堂：【高清课堂：平行线的性质及命题平行线的性质及命题 403103平行线的性质和判定小结平行线的性质和判定小结】 要点诠释：要点诠释： （1） “同位角相等、 内错角相等” 、 “同旁内角互补” 都是平行线的性质的一部分内容， 切不可忽视前提 “两 直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性 质 要点二、要点二、两条平行线的距离两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
3、的距离 要点诠释：要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就 是两条平行线的距离 (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线 间的距离处处相等 要点三、要点三、命题命题、定理、证明、定理、证明 1.1.命题：命题：判断一件事情的语句，叫做命题 要点诠释：要点诠释： （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出 的事项. （2）命题的表达形式： “如果，那么.” ，也可写成： “若，则.” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命
4、题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.2.定理定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题， 定理也可以作为继续推理的依据. 2 3.3.证明：证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点诠释：要点诠释： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然” ，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基 本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即 可 要点四、要点四、平移平移 1. 1. 定义：定义：在平面
5、内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移 要点诠释：要点诠释： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离 （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质：性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体 来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 要点诠释：要点诠释： （1） “连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离 (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线
6、段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得 到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图：作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”定、找、移、连 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、平行线的性质平行线的性质 1、如图，已知 ABCD，AP 平分BAC，CP 平分ACD，求APC 的度数. 【答案与解析】 3 解：作 PMAB，交 AC 于点 M，如图： ABCD CAB+A
7、CD=180 PA 平分CAB，PC 平分ACD 1+4=90 ABPMCD 1=2，3=4 2+3=90 APC=90 【总结升华】 平行线与角的关系非常密切， 平行线的性质都是以角的关系来体现， 在求角度的过程中， 如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷 举一反三：举一反三： 【变式】(广安)如图所示，已知 abc，1105，2140，则3 的度数是( ) A75 B65 C55 D50 【答案】B 类型二类型二、两平行线间的距离两平行线间的距离 2、下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小 【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每
8、个三角形的面积是拼成的平行四边 形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积 的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图 3，图 2 【解析】 解：因为它们的高相等，三角形的底是 8，82=4，梯形的上、下底之和除以 2， （2+7）2=4.5；5 4.54； 所以，图 3 平行四边形的面积最大，图 2 三角形的面积最小. 4 【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形 上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案. 举一反三
9、：举一反三： 【变式】下图是一个方形螺线已知相邻均为 1 厘米，则螺线总长度是 厘米. 【答案】35 类型三类型三、命题命题 3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论 (1)同位角相等； (2)对顶角相等； （3）画一条 5 厘米的线段. 【答案与解析】 解： （1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一 个错误的命题，即假命题 （2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确 的命题，即真命题 （3）不是命题，它不是判断一件事情的语句 【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的
10、判断，如问句、陈述句就不是命 题，值得注意的是错误的命题也是命题判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是 假命题，只需列举一个反例即可 举一反三：举一反三： 【变式】下列命题是假命题的是（ ） A锐角小于 90 B平角等于两直角 C若 ab，则 a 2b2 D若 a2b2，则 ab 【答案】C 类型四类型四、平移平移 4.如图所示，、两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到? 【答案与解析】 5 解：图DE 和 AC 平行，但不相等，DE 和 BC 相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移 其中一个三角形也得不到另一个三角形 图符合平移的特征， 三角形
11、PQR 沿射线 PM 方向移动 PM 长即 可得到三角形 MNO 所以，图中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到 【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变 换 举一反三：举一反三： 【变式】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 (填写序号) （1）摆动的钟摆； （2）在笔直的公路上行驶的汽车； （3）随风摆动的旗帜； （4）摇动的大绳； （5）汽车玻璃上雨刷的运动； （6）从楼顶自由落下的球（球不旋转） 【答案】 （2） （6） 解： （1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移； （2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移； （3
12、）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移； （4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移； （5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移； （6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移 可以看成平移的是（2） （6） 5、(苏州中考模拟)如图所示，在长为 50m，宽为 22m 的长方形地面上修筑宽度都为 2 m 的道路， 余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积 【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难因小路 都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便 迎刃而解 【答案与解析】 解：如图所示把几条
13、 2 米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成 一个长方形， 显然，这个长方形的长是 50-248(m)，宽是 22-220(m)，于是种植花草部分的面积为 4820 960(m2) 【总结升华】若分步计算则较繁琐但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解 举一反三：举一反三： 【变式】 如图， 在宽为 20m、 长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路， 余下部分作为耕地 根 据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) 6 A600m2 B551m2 C550m2 D500m2 【答案】B 类型五类型五、平行的性质与判定综合应用平行的性质与判定综合应用 6、
14、 (湖南模拟)如图所示，ABC 的边 BC 与DEF 的边 DE 交于点 K，下面给出三个论断： BE；ABDE；BCEF请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为 结论，填入 “试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来 已知： 如图所示， ABC 的边 BC 与DEF 的边 DE 交于点 K， _， _， 试说明_ 【答案与解析】 解：三个论断分别可以组成；三种不同情形的命题，选择其中任何 一个即可 以为例，说明如下 已知：如图所示，ABC 的边 BC 与DEF 的边 DE 交于点 K，BE，ABDE，试说明 BC EF 理由叙述：因为 ABDE，所以BCK
15、D 又因为BE，所以ECKD，所以 BCEF 【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是 否正确 【高清课堂：平行线的性质及命题【高清课堂：平行线的性质及命题403103 平行线的性质平行线的性质练习练习 1 1】 举一反三：举一反三： 【变式】已知，如图，1=2，3=65，则4 . 【答案】115 7、如图，ABCD，点 M，N 分别为 AB，CD 上的点. 7 （1）若点 P1在两平行线内部，BMP145，DNP130，则MP1N ； （2） 若 P1， P2在两平行线内部， 且 P1P2不与 AB 平行， 如图， 请你猜想AMP1+P1 P2
16、N 与MP1 P2+ P2ND 的关系，并证明你的结论； （3）如图，若 P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结 M，P1，P2，P3，N，且 P1P2，P2P3不与 AB 平 行，直接写出你得到的结论. 【答案与解析】 解： （1）75； （2）结论：AMP1+P1 P2NMP1 P2+P2ND 证明：如图，分别过 P1，P2作 P1Q1AB，P2Q2AB. 又 ABCD， AMP11，23，4P2ND. AMP1+P1 P2NAMP1+3+41+2+P2NDMP1 P2+P2ND. （3）BMP1+P1 P2P3+P3 NDMP1 P2+P2 P3N. 【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决. 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角A 是 120，第二次 拐的角B是150， 第三次拐的角是C， 这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行， 则C是( ) 8 A120 B130 C140 D150 【答案】D；提示：如图，过点 B 作 BEAM
