1、第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直平面与平面垂直 第第1课时课时 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1通过直观感知，归 纳出平面与平面的判定 定理.(直观想象) 2会用平面与平面的 判定定理证明平面与平 面垂直
2、.(逻辑推理) 1平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情 况，对这种特殊关系的认识，既可以从二面角的 平面角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面 垂直关系出发进行推理论证. 2面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维 ”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从 条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结 论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解 决问题的途径. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 二面角的概念 知识点1 定义 从一条直线出发的_所组成的图形 相关 概念 这条直线叫做二
3、面角的_； 这两个半平面叫做二面角的_ 画法 记法 二面角_或_或_或PABQ 两个半平面 棱 面 l AB PlQ 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 二面角 的平面 角 在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在 半平面 和 内分别作_棱 l 的射线 OA 和 OB，则 射线 OA 和 OB 构成的_叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角 的取 值范围是_ 垂直于 AOB 0180 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 面面垂直的定义 知识点2 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 _
4、，就说这两个平面互相垂直.平面 与 垂直， 记作：_ 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边 形的一组边画成_ 直二面角 垂直 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1二面角与平面几何中的角的对比 平面几何中的角 二面角 图形 定义 从平面内一点出发的两条射 线组成的图形 从一条直线出发的两个半平面 组成的图形 表示法 由射线点 (顶点)射线构 成，即为AOB 由半平面线(棱)半平面构 成，记为二面角 l 意义 定量的反映两条直线的位置 关系 定量的反映两个平面的位置关 系 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2剖析平面与
5、平面垂直 (1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻 两个面都是互相垂直的. (2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角 是直角定义的. 3详解平面与平面垂直的判定定理 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直. (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步 转化为处理线线垂直问题来解决. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 下列命题中： 两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和
6、一 个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或 互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所 成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有 关系. 其中正确的是 ( ) A B C D 题型探究题型探究 题型一题型一 二面角及其平面角的概念的理解 典典例例 1 B 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角，所以不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别 垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射 线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定
7、义知正确.故选B 归纳提升 1要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一 致. 2要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面 内的角的联系与区别. 3可利用实物模型，作图帮助判断. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二 面角的两个半平面，那么这两个二面角 ( ) A相等 B互补 C相等或互补 D关系无法确定 解析 如图所示，平面EFDG平面ABC，当 平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂 直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角 HDGF的大小不确定. D 返回导航 第八章 立体几何
8、初步 数学（必修第二册RJA） 四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB. (1)求二面角APDC的平面角的度数； (2)求二面角BPAD的平面角的度数； (3)求二面角BPAC的平面角的度数； (4)求二面角BPCD的平面角的度数. 分析 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在 三角形中求解. 题型二题型二 求二面角的大小 典典例例 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)因为PA平面ABCD，所以PACD.因为四边形ABCD为 正方形，所以CDAD.又PAADA，所以CD平面PAD. 又CD平面PCD，所以平面PAD平面PCD. 所
9、以二面角APDC的平面角的度数为90. (2)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ADPA.所以BAD为二面 角BPAD的平面角.又由题意知BAD90，所以二面角BPAD 的平面角的度数为90. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ACPA.所以BAC为二面 角BPAC的平面角. 又四边形ABCD为正方形，所以BAC45. 所以二面角BPAC的平面角的度数为45. (4)作BEPC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO， 如 图 . 由 题 意 知 PBC PDC ， 则 BPE DPE ， 从 而 PBEPDE.
10、所以DEPBEP90，且BEDE. 所以BED为二面角BPCD的平面角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 又 PA平面 ABCD，所以 PABC. 又 ABBC，PAABA， 所以 BC平面 PAB.所以 BCPB. 设 ABa，则 PAABBCa， 所以 PB 2a，PC 3a， 所以 BEPB BC PC 6 3 a，BD 2a. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 所以 sinBEOBO BE 2 2 a 6 3 a 3 2 . 因为BEO(0 ，90 )， 所以BEO60 .所以BED120 . 所以二面角 BPCD 的平面角的度数为 1
11、20 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 1求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分 别作垂直于棱的射线. 如图所示，AOB 为二面角 a 的平面角. 方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂 足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，AFE 为二面角 ABCD 的平
12、面角. 方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两 个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，AOB为二面角l的平面角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角B A1C1B1的正切值. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1OA1C1，又 BA1BC1，O为A1C1的中点， 所以BOA1C1， 所以BOB1即是二面角BA1C1B1
13、的平面角. 因为BB1平面A1B1C1D1， OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 设正方体的棱长为 a， 则 OB1 2 2 a， 在 RtBB1O 中，tanBOB1 BB1 OB1 a 2 2 a 2， 所以二面角 BA1C1B1的正切值为 2. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 平面与平面垂直的证明 典典例例 3 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正 方形，侧棱 PDa，PAPC 2a， (1)求证：平面 PAD平面 ABCD. (2)求证：平面 PAC平面 P
14、BD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 分析 (1)根据已知的线段长度，证明PDDC，PDAD，即可 得到PD平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)根据 (1)问得到PD平面ABCD，从而有PDAC，然后结合底面ABCD为正方 形得到ACBD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得 结论. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 (1)因为 PDa，DCa，PC 2a， 所以 PC2PD2DC2，所以 PDDC. 同理可证 PDAD，又 ADDCD， 所以 PD平面 ABC. 因为 PD平面 PAD，所以平面 PA
15、D平面 ABCD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)由(1)知PD平面ABCD， 所以PDAC，而四边形ABCD是正方形， 所以ACBD，又BDPDD， 所以AC平面PDB. 同时，AC平面PAC， 所以平面PAC平面PBD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 证明平面与平面垂直的方法： (1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转 化为求二面角的平面角为直角. (2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂 直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与 另一个平面垂直. (3
16、)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂 直于第三个平面”. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)如图，AB是O的直径， PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA AC，求二面角PBCA的大小. (2)如图，在四面体 ABCD 中，BD 2a，ABADCBCDAC a. 求证：平面 ABD平面 BCD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC. AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC. 又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC. 又PC平
17、面PACPCBC. 又BC是二面角PBCA的棱， PCA是二面角PBCA的平面角. 由PAAC知PAC是等腰直角三角形， PCA45，即二面角PBCA的大小是45. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)证明：取 BD 的中点 E，连接 AE，CE. 因为ABD 与BCD 是全等的等腰三角形， 所以 AEBD，CEBD， 即AEC 为二面角 ABDC 的平面角， 在ABD 中，ABa，BE1 2BD 2 2 a， 所以 AE AB2BE2 2 2 a，同理，CE 2 2 a. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 在AEC 中，AECE 2 2 a
18、，ACa， 故 AC2AE2CE2，所以 AECE， 即AEC90 ，所以二面角 ABDC 的平面角为 90 ， 所以平面 ABD平面 BCD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由. 易错警示易错警示 典典例例 4 判断面面位置关系时主观臆断 错解 由题意可知，D1B1与AB1不垂 直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1 不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1不垂直. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA）
19、错因分析 判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一 个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理 过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质. 正解 因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD， 因为BB1底面ABCD，AC底面ABCD， 所以ACBB1，又BDBB1B， 所以AC平面BB1D1D，又AC截面ACB1， 所以截面ACB1平面BB1D1D. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，已知AB平面BCD，BCCD，则图 中互相垂直的平面共有_对 ( ) A1 B2 C3 D4 C 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 AB平面BCD，且AB平面ABC和AB平面ABD， 平面ABC平面BCD，平面ABD平面BCD. AB平面BCD，ABCD. 又BCCD，ABBCB，CD平面ABC. CD平面ACD，平面ABC平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC平面BCD，平面ABD平面 BCD，平面ABC平面ACD.
