1、第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1了解向量数乘的概念并理解 数乘运算的几何意义.(直观想象) 2理解并掌握向量数乘的运算 律，会进行向量的数乘运算.(数 学运算) 3理解并掌握两向量共线的性 质及判定
2、方法，并能熟练地运用 这些知识处理有关向量共线问题 .(逻辑推理) 1要进一步深化类比实数的乘法运算， 加强对向量的数乘运算的理解，并且感 受两者的差异. 2类比三角函数伸缩变换的特征感受 向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进 一步理解两个平面向量共线的含义. 3进一步深化对线性运算几何意义的 理解，把握平面几何中位置关系与向量 共线之间的联系. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 向量的数乘运算 知识点1 1向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数 与向量 a 的积是一个_，这
3、种运算叫 做向量的_，记作 a，它的长度与方向规定如下： (1)|a|_. (2)a(a0)的方向 当0时，与a方向_； 当0时，与a方向_. 由(1)知，当 0 时，a0，由(1)(2)知，(1)aa. 向量 数乘 |a| 相同 相反 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2向量数乘的运算律 设，为实数，那么 (1)(a)_. (2)()a_. (3)(ab)_. 特别地，我们有()aa(a)，(ab)ab. ()a aa ab 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 3向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结
4、 果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有 (1a2b)_. 1a2b 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 (1)a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩 大或缩小|倍. (2)是实数，a是向量，它们的积a仍然是向量.实数与向量可以相 乘，但是不能相加减，如a，a均没有意义. (3)注意向量数乘的特殊情况： 若0，则a0； 若a0，则a0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 _. 向量共线定理 知识点2 ba 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（
5、必修第二册RJA） 知识解读 关于共线向量定理的说明： (1)定理中，向量 a 为非零向量，即定理不包含 0 与 0 共线的情况. (2)条件 a0 是必须的.否则当 a0，b0 时，虽然 b 与 a 共线，但 不存在实数 ，使得 ba；当 a0，b0 时， 可以是任意实数. (3)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 ，使得 ba 即可. (4)若 ba(R)，则 a 与 b 共线. (5)由本性质定理知，若向量AB AC ，则AB ，AC 共线.又AB ，AC 有 公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二
6、册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 运用向量数乘的运算律求解. 题型探究题型探究 题型一题型一 向量的线性运算 典典例例 1 计算： (1)4(ab)3(ab)8a； (2)(5a4bc)2(3a2bc)； (3)2 3(4a3b) 1 3b 1 4(6a7b). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算 中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算 中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作 是向量的系
7、数. 解析 (1)原式4a4b3a3b8a7a7b. (2)原式5a4bc6a4b2cac. (3)原式2 3(4a3b 1 3b 3 2a 7 4b) 2 3( 5 2a 11 12b) 5 3a 11 18b. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)下列各式计算正确的有 ( ) (7)6a42a；7(ab)8b7a15b； a2ba2b2a；4(2ab)8a4b. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (2)若 abc，化简 3(a2b)2(3bc)2(ab)的结果为 ( ) Aa B4b Cc Dab C A 返回导航 第六章 平面向量及其应
8、用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)正确，错，7(ab)8b7a7b8b7ab. (2)3(a2b)2(3bc)2(ab)(32)a(662)b2ca2(b c)a2aa. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 用向量的线性运算表示未知向量 典典例例 2 如图所示，四边形 OADB 是以向量OA a，OB b 为邻边 的平行四边形，又 BM1 3BC，CN 1 3CD，试用 a，b 表示OM 、ON 、MN . 分析 用a，b表示BM 表示OM ，ON MN ON OM 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 解决此类
9、问题的思路一般是将所表示向量置于某一个 三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示. 解析 BM 1 3BC 1 6BA 1 6(OA OB )1 6(ab)， OM OB BM b1 6a 1 6b 1 6a 5 6b. CN 1 3CD 1 6OD ， ON OC CN 1 2OD 1 6OD 2 3OD 2 3(OA OB )2 3a 2 3b， MN ON OM 2 3(ab) 1 6a 5 6b 1 2a 1 6b. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)在ABC 中，若点 D 满足BD 2DC ，则AD 等 于 ( ) A1 3
10、AC 2 3AB B5 3AB 2 3AC C2 3AC 1 3AB D2 3AC 1 3AB D 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)如图所示，已知在ABC 中，AD 2 3AB ，DEBC，DE 交 AC 于 点 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于点 N，设AB a，AC b，用 a，b 表 示向量AE ，DE ，AM ，AN . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)如图所示，由题意可得 AD AB BD AB 2 3BC AB 2 3(AC AB )1 3AB 2 3AC . 返回导航 第六章 平面向量及其应用
11、数学（必修第二册RJA） (2)DEBC，AD 2 3AB 2 3a， AE 2 3AC 2 3b， ADEABC，DE 2 3BC 2 3(ba). ADNABM，且AD 2 3AB ，AN 2 3AM . 又AM AB BM a1 2BC a1 2(ba) ab 2 ， AN 1 3(ab). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 共线向量定理及其应用 典典例例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)，求证：A、B、D 三点 共线； (2)试确定实数 k，使 kab 与 akb 共线. 分析 (1
12、)欲证三点 A、B、D 共线，即证存在实数 ，使AB BD ， 只要由已知条件找出 即可. (2)由两向量共线，列出关于 a、b 的等式，再由 a 与 b 不共线知，若 ab，则 0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 证明：(1)AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab) BD BC CD 2a8b3(ab) 2a8b3a3b5(ab)5AB . AB 、BD 共线， 又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)kab与akb共线， 存在实数，使kab(akb) 即kabakb，(k)a(k
13、1)b， a、b是不共线的两个非零向量， kk10，k210k1 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 1证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在实数 ，使得AB AC (或BC AB 等)即可. (2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点存在实数 x， y，使OA xOB yOC 且 xy1 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实 数，使得ba(a0).而已知向量共线求，常根据向量共线
14、的条件转化 为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用 待定系数法建立方程，从而解方程求得的值. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知向量AB a5b，BC 2a8b，CD 3(a b)， (1)求证：A、B、D 三点共线； (2)求证：CA xCB yCD (其中 xy1). 解析 (1)BD BC CD 2a8b3(ab)a5b， AB a5b，AB BD ，AB BD ， 又AB 、BD 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)CA CB BA BC
15、AB 2a8ba5ba13b， xCB yCD x(2a8b)3y(ab) (2x3y)a(8x3y)b. 2x3y1 8x3y13 ，所以 x2 y1 CA xCB yCD ，其中 xy1 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 进行向量的线性运算时忽略图形的性质 已知点 E， F 分别为四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 的中 点，设BC a，DA b，试用 a，b 表示EF . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错解 如图所示，连接 BE 并延长，交 CD 于点 G，连接 AG，由 于点 E 是 AC
16、 的中点，所以四边形 ABCG 是平行四边形，所以AG BC ， 所以DG DA AG ba. 又 EF 是BGD 的中位线， 所以EF 1 2GD 1 2DG . 所以EF 1 2(ab). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错因分析 由于四边形 ABCD 不一定是梯形，只是一般的四边形， 所以点 E 不一定为 BG 的中点， 所以四边形 ABCG 不一定是平行四边形， 即AG 不一定等于 a. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 如图所示， 取 AB 的中点 P， 连接 EP， FP. 在ABC 中， EP 是中位线， 所以PE
17、1 2BC 1 2a. 在ABD 中，FP 是中位线，所以PF 1 2AD 1 2DA 1 2b. 在EFP 中，EF EP PF PE PF 1 2a 1 2b 1 2(ab). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 误区警示 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用 平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲 目运用特殊图形的性质进行求解. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知任意平面四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、 BC 的中点. 求证：EF 1 2(AB DC ). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 取以点 A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图. E 为 AD 的中点，AE 1 2AD . F 是 BC 的中点，AF 1 2(AB AC ). 又AC AD DC ， AF 1 2(AB AD DC )1 2(AB DC )1 2AD . EF AF AE 1 2(AB DC )1 2AD 1 2AD 1 2(AB DC ).
