1、数学 简单的三角恒等变换 01 学科素养 探究提升 02 高效演练 分层突破 考点一考点一 三角函数式的化简三角函数式的化简(基础型基础型) 复习指导复习指导 三角函数式化简的方法 三角函数式化简的方法 弦切互化弦切互化，异名化同名异名化同名，异角化同角异角化同角，降幂或升幂降幂或升幂 在三角函数式的化简中在三角函数式的化简中“次降角升次降角升”和和“次升角降次升角降”是基本的规律是基本的规律，根号中含有三角根号中含有三角 函数式时函数式时，一般需要升次一般需要升次 化简：化简：(1)sin()cos()cos()sin()_； (2) 1 tan 2 tan 2 1tan tan 2 _ 【
2、解析解析】 (1)sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin() sin()()sin() (2)原式原式 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 1sin cos sin 2 cos 2 cos2 2 sin2 2 sin 2cos 2 cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2 2cos sin cos 2 cos cos 2 2 sin . 【答案答案】 (1)sin() (2) 2 sin 三角三角函数式的化简要遵循函数式的化简要遵循“三看三看”原则原则 1(2020 长沙模拟长沙模拟)化简：化简：2sin（ （）sin 2
3、cos2 2 _ 解析：解析：2sin（ （）sin 2 cos2 2 2sin 2sin cos 1 2（ （1cos ） 4sin （1cos ） 1cos 4sin . 答案：答案：4sin 2化简：化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4 x sin2 4 x . 解：解：原式原式 2sin2xcos2x1 2 2sin 4 x cos2 4 x cos 4 x 1 2（ （1sin22x） 2sin 4 x cos 4 x 1 2cos 22x sin 2 2x 1 2cos 2x. 考考点二点二 三角函数式的求值三角函数式的求值(综合型综合型) 复习复习 指导指导 三角
4、函数 三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类 角度一角度一 给角求值给角求值 计算计算2cos 10 2 3cos（100） 1sin 10 _ 【解析】【解析】 2cos 102 3cos（100） 1sin 10 2cos 10 2 3sin 10 1sin 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 12sin 5cos 5 4cos 50 cos 5sin 5 4cos 50 2cos 50 2 2. 【答案答案】 2 2 给角求值问题的解题策略给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中在三角函数的给角求值问题中，已
5、知角常常是非特殊角已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一但非特殊角与特殊角总有一 定关系定关系 基本思路基本思路 观察所给角与特殊角之间的关系观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角利用和、差、倍角公式等将非特殊角 的三角函数值转化为：的三角函数值转化为： 角度二角度二 给值求值给值求值 已知已知 ， 为锐角为锐角，tan 4 3， ，cos() 5 5 . (1)求求 cos 2 的值；的值； (2)求求 tan()的值的值 【解】【解】 (1)因为因为 tan 4 3， ，tan sin cos ， ，所以所以 sin 4 3cos . 因为因为 sin2 c
6、os2 1，所以所以 cos2 9 25， ， 因此因此，cos 22cos2 1 7 25. (2)因为因为 ， 为锐角为锐角，所以所以 (0，) 又因为又因为 cos() 5 5 ， 所以所以 sin() 1cos2（）2 5 5 ， 因此因此 tan()2. 因为因为 tan 4 3， ，所以所以 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此因此，tan()tan2() tan 2tan（） 1tan 2tan（） 2 11. 给值求值问题的解题策略给值求值问题的解题策略 已知某已知某些角的三角函数值些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值 解题关键：把
7、解题关键：把“所求角所求角”用用“已知角已知角”表示表示 当当“已知角已知角”有两个时有两个时，“所求角所求角”一般表示为两个一般表示为两个“已知角已知角”的和或差的形式或和的和或差的形式或和 或差的二倍形式；或差的二倍形式； 当当“已知角已知角”有一个时有一个时，此时应着眼于此时应着眼于“所求角所求角”与与“已知角已知角”的和、差或倍数关的和、差或倍数关 系系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解 角度三角度三 给值求角给值求角 (一题多解一题多解)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，锐角锐角 ， 的顶点为坐标原点的顶点为坐标原点 O，
8、始边为始边为 x 轴的非负半轴轴的非负半轴，终边与单位圆终边与单位圆 O 的交点分别为的交点分别为 P，Q.已知点已知点 P 的横的横坐标为坐标为2 7 7 ，点点 Q 的纵坐标为的纵坐标为3 3 14 ，则则 2 的值为的值为_ 【解析解析】 法一：法一：由已知可知由已知可知 cos 2 7 7 ，sin 3 3 14 . 又又 ， 为锐角为锐角，所以所以 sin 21 7 ，cos 13 14. 因此因此 cos 22cos211 7， ，sin 22sin cos 4 3 7 ， 所以所以 sin(2)4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 . 因为因为 为锐角为锐角，所以
9、所以 02. 又又 cos 20，所以所以 02 2， ， 又又 为锐角为锐角，所以所以 2 2 2， ， 又又 sin(2) 3 2 ，所以所以 2 3. 法二：法二：同法一得同法一得，cos 13 14， ，sin 21 7 . 因为因为 ， 为锐角为锐角，所以所以 2， ， 2 . 所以所以 sin()sin cos cos sin 21 7 13 14 2 7 7 3 3 14 21 14 . 所以所以 sin()0，故故 0， 2 ， 故故 cos() 1sin2（）1 21 14 2 5 7 14 . 又又 0， 2 ，所以所以 2()(0，) 所以所以 cos(2)cos()co
10、s cos()sin sin()2 7 7 5 7 14 21 7 21 14 1 2. 所以所以 2 3. 【答案答案】 3 (1)给值求角问题的解题策略给值求角问题的解题策略 求相关角的某一个三角函数值求相关角的某一个三角函数值 由求得的三角函数值求角由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据应根据 已知角的范围和已知已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余以排除多余 的解的解 (2)在选取函数时在选取函数时，遵照以下原则：遵照以下原则： 已知
11、正切函数值已知正切函数值，选正切函数；选正切函数； 已知正、余弦函数值已知正、余弦函数值，若角的范围是若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦函数皆可；选正、余弦函数皆可； 已知正、余弦函数值已知正、余弦函数值，若角的范围是若角的范围是(0，)，选余弦函数；选余弦函数； 已知正、余弦函数值已知正、余弦函数值，若角的范围是若角的范围是 2， ， 2 ，选正弦函数选正弦函数 1 已知已知 tan 4 1 7， ， 且且 为第二象限角为第二象限角， 若若 8， ， 则则 sin(2)cos 2cos(2)sin 2 ( ) A3 5 B3 5 C4 5 D4 5 解析：解析：选选 Dtan 4 1 ta
12、n 1tan 1 7， ，所以所以 tan 3 4， ，又又 为第二象限角为第二象限角，所以所以 cos 4 5， ，所以所以 sin(2) cos 2cos(2)sin 2sin(4)sin 2 cos 4 5， ， 故选故选 D 2. 3tan 123 sin 12（4cos2122） _ 解析：解析：原式原式 3 sin 12 cos 12 3 sin 12（4cos2122） 3sin 123cos 12 2sin 12cos 12（2cos2 121） 2 3 1 2sin 12 3 2 cos 12 sin 24cos 24 2 3sin（ （1260） 1 2sin 48 4 3. 答案：答案：4 3 3(2020 湖南长郡中学模拟改编湖南长郡中学模拟改编)若若 ， 为锐角为锐角，且且 sin 5 5 ，sin 10 10 ，则则 cos( )_，_ 解析：解析：因为因为 ， 为锐角为锐角，sin 5 5 ，sin 10 10 ， 所以所以 cos 2 5 5 ，cos 3 10 10 ， 所以所以 cos()cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又又 0，所以所以 cos() 2 2 ， 4. 答案：答案： 2 2 4 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
