1、 第 1 页（共 15 页） 2021 年上海市浦东新区高考数学一模试卷年上海市浦东新区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分考分考 生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或分或 5 分，否则一律得分，否则一律得 零分零分 1 （4 分）_ 21mathop limlimitsnfrac nn 2 （4 分）半径为 2 的球的表面积为 3 （4 分）抛物线 2 4xy 的准线
2、方程为 4 （4 分）已知集合 |0Ax x， 2 |1Bx x，则AB 5 （4 分）已知复数z满足(1)4(zii为虚数单位） ，则| z 6 （4 分）在ABC中，若2AB ， 5 12 B ， 4 C ，则BC 7 （5 分）函数 2 ( )1log(4)f xx x 的反函数的定义域为 8 （5 分）在 7 (2)x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 （用 数字作答） 9 （5 分） 正方形ABCD的边长为 2， 点E和F分别是边BC和AD上的动点， 且CEAF， 则 overrightarrow AEoverrightarrow AF的取值范围为 10 （5 分）
3、若等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 | 2 11 nn aS ，则数列 n a的前n项和 为 n S为 11 （5 分）设函数( ) |2 f xxafracxa，若关于x的方程( )1f x 有且仅有两个不 同的实数根，则实数a的取值构成的集合为 12 （5 分）对于任意的正实数a，b，则 22 2 29 53 aab ab 的取值范围为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生必须题，每题有且只有一个正确答案考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得在答题纸的相应编号上，将代表
4、答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 （5 分）若a、b是实数，则ab是22 ab 的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14 （5分）若某线性方程组的增广矩阵为 第 2 页（共 15 页） (.1&2&8 2&4&16.)leftbegin arraylend arrayright，则该线性方程组的解的 个数为( ) A0 个 B1 个 C无数个 D不确定 15 （5 分）下列命题中正确的是( ) A三点确定一个平面 B垂直于同一直线的两条直线平行 C若直线l与平面上的无数条直线都垂直，则直线l D若a、b、c是
5、三条直线，/ /ab且与c都相交，则直线a、b、c共面 16 （5 分）已知函数 2, , xx f x x x 为无理数 为有理数 ，则以下 4 个命题： ( )f x是偶函数； ( )f x在0，)上是增函数； ( )f x的值域为R； 对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存在奇数个零点 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （14 分）如图，直三
6、棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 2 BAC ， 1 4A A，点M 为线段 1 A A的中点 （1）求直三棱柱 111 ABCABC的体积； （2）求异面直线BM与 11 BC所成的角的大小 （结果用反三角表示） 第 3 页（共 15 页） 18 （14 分）已知函数( )sin()(0) 6 f xx 的最小正周期为 （1）求与( )f x的单调递增区间； （2）在ABC中，若()1 2 A f，求sinsinBC的取值范围 19 （14 分）勤俭节约是中华民族的传统美德为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精 准供应的措施某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n ，2，
7、3，12)个月 对某种食材的需求总量 n S（公斤）近似地满足 2 635 (16) 6774618(712) n nn S nnn 剟 剟 为保证全 年每一个月该食材都够用，食堂前n个月的进货总量须不低于前n个月的需求总量 （1）如果每月初进货 646 公斤，那么前 7 个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货p（公斤） ，为保证全年每一个月该食材都够用，求p的最小值 20 （16 分）已知椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy， 1 F、 2 F为 1 C的左、右焦点 （1）求椭圆 1 C的焦距； （2） 点( 2Q， 2 ) 2 为椭圆 1 C一点， 与OQ平行的直线l与椭圆 1
8、 C交于两点A、B， 若Q A B 面积为 1，求直线l的方程； （3）已知椭圆 1 C与双曲线 22 2: 1Cxy在第一象限的交点为( M M x，) M y，椭圆 1 C和双曲 线 2 C上满足| M xx的所有点( , )x y组成曲线C若点N是曲线C上一动点，求 12 NF NF 的取值范围 21 （18 分）已知函数( )f x的定义域是D，若对于任意的 1 x， 2 xD，当 12 xx时，都有 12 ()()f xf x，则称函数( )f x在D上为非减函数 第 4 页（共 15 页） （1）判断 2 1( ) 4f xxx，(1,4)x与 2( ) | 1|2|fxxx，(1
9、,4)x是否是非减函数？ （2）已知函数 1 ( )2 2 x x a g x 在2，4上为非减函数，求实数a的取值范围 （3）已知函数( )h x在0，1上为非减函数，且满足条件：(0)0h， 1 ( )( ) 32 x hh x， (1)1( )hxh x ，求 1 () 2020 h的值 第 5 页（共 15 页） 2021 年上海市浦东新区高考数学一模试卷年上海市浦东新区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分考
10、分考 生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或分或 5 分，否则一律得分，否则一律得 零分零分 1 （4 分）_ 21mathop limlimitsnfrac nn 12frac 【解答】解： _21_12112limlimitsnfracnnlimlimitsnfracfracnfrac ， 故答案为：12frac 2 （4 分）半径为 2 的球的表面积为 16 【解答】解：球的半径为 2，所以球的表面积为： 2 416r 故答案为：16 3 （4 分）抛物线 2 4xy 的准线方程为 1y 【解答】解：抛物
11、线 2 4xy 焦点在y轴的负半轴上，则1 2 p ， 抛物线的焦点坐标为(0, 1)，准线方程：1y ， 故答案为：1y 4 （4 分）已知集合 |0Ax x， 2 |1Bx x，则AB (0，1 【解答】解： |0Ax x， | 11Bxx 剟， (0AB，1 故答案为：(0，1 5 （4 分）已知复数z满足(1)4(zii为虚数单位） ，则| z 2 2 【解答】解：复数z满足(1)4zi， 则 4 1 z i ， 所以 44 |2 2 |1|2 z i 故答案为：2 2 第 6 页（共 15 页） 6 （4 分）在ABC中，若2AB ， 5 12 B ， 4 C ，则BC 6 【解答】
12、解： 5 1243 ABC ， 由正弦定理得 sinsin ABBC CA ，所以 2sin sin 3 6 sin sin 4 ABA BC C 故答案为：6 7 （5 分）函数 2 ( )1log(4)f xx x 的反函数的定义域为 3，) 【解答】解：函数 2 ( )1log(4)f xx x 的值域为3，)， 故其反函数的定义域为3，) 8 （5 分） 在 7 (2)x 的二项展开式中任取一项， 则该项系数为有理数的概率为 1 2 （用 数字作答） 【解答】解：因为 7 (2)x 展开式的通项为 77 2 177 ( 2)2 r rrrrr r TC xCx ， 当且仅当r为偶数时，
13、该项系数为有理数， 而0r，7()rN， 故有0r ，2，4，6 满足题意， 所以所求概率 41 82 P ， 故答案为： 1 2 9 （5 分） 正方形ABCD的边长为 2， 点E和F分别是边BC和AD上的动点， 且CEAF， 则 overrightarrow AEoverrightarrow AF的取值范围为 0，1 【解答】解：取EF中点为O，则 22 () ()overrightarrow AEoverrightarrow AFoverrightarrow AOoverrightarrow OEoverrightarrow AOoverrightarrow OEA OO E ， 因为正
14、方形的边长为 2，所以2,1,2AOsqrtOEsqrt， 所以 0,1overrightarrow AEoverrightarrow AF 故答案为：0，1 10 （5 分）若等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 | 2 11 nn aS ，则数列 n a的前n项和 为 n S为 1 22 n n S 第 7 页（共 15 页） 【解答】解：根据题意，数列 n a为等比数列，设等比数列 n a的公比为q， 数列 n a满足 1 | 2 11 nn aS ，则有 1 2 nn aS ， 当1n 时，有 2121 2aSaa， 当2n 时，有 32312 ()2aSaaa， 联立可得
15、： 1 2a ，2q ， 则数列 n a的前n项和为 11(1 ) 22 1 n n n aq S q ， 故答案为： 1 22 n n S 11 （5 分）设函数( ) |2 f xxafracxa，若关于x的方程( )1f x 有且仅有两个不 同的实数根，则实数a的取值构成的集合为 1222,1222,2leftfracsqrtfracsqrtright 【解答】解：由方程( )1f x ，得|2 1xaafracx 有两个不同的解， 令( ) |, ( )2 1h xxaa g xfracx， 则( ) |h xxaa的顶点( , )a a在yx上， 而yx与( )2 1g xfracx
16、的交点坐标为(2,2)，( 1, 1) ， 联立 .221.leftleftbeginarraylyxayfracxendarrayrightright 得 2 (12 )20 xa x， 由 2 (12 )80a，解得1222afracsqrt或1222fracsqrt， 作出图象，数形结合，要使得|2 1xaafracx 有两个不同的解， 则实数a的取值范围是1222afracsqrt或1222fracsqrt或 2 故答案为1222,1222,2leftfracsqrtfracsqrtright 第 8 页（共 15 页） 12 （5 分）对于任意的正实数a，b，则 22 2 29 53
17、 aab ab 的取值范围为 2 ,1) 2 【解答】解： 2 22 2 219( ) 2 29 53 53 b aab a b ab a ， 故可看作 2 (3, 19( ) ) bb A aa 与( 5, 2 2)B 两点的斜率， 其中点A在 22 1(0,0)yxxy上，故 AB k最小值在相切时取得， 设2 2(5)yk x，联立 22 2 2(5) 1 yk x yx ， 由0，解得 12 27 , 213 2 kk（舍) 当 b a 时， 2 2 219( ) 1 53 AB b a k b a ， 故 22 2 29 53 aab ab 的取值范围是 2 ,1) 2 故答案为：
18、2 ,1) 2 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生必须题，每题有且只有一个正确答案考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 （5 分）若a、b是实数，则ab是22 ab 的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 第 9 页（共 15 页） 【解答】解：根据题意，因为2xy 是增函数，若ab，必有22 ab ， 反之若22 ab ，必有ab， 则ab是2
19、2 ab 的充要条件， 故选：C 14 （5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (.1&2&8 2&4&16.)leftbegin arraylend arrayright，则该线性方程组的解的 个数为( ) A0 个 B1 个 C无数个 D不确定 【解答】解：该线性方程组可化为方程28xy，故有无数组解； 故选：C 15 （5 分）下列命题中正确的是( ) A三点确定一个平面 B垂直于同一直线的两条直线平行 C若直线l与平面上的无数条直线都垂直，则直线l D若a、b、c是三条直线，/ /ab且与c都相交，则直线a、b、c共面 【解答】解：对于选项A：不共线的三点确定一个平面，故A错误， 对于选项
20、B：由墙角模型可知，显然B错误， 对于选项C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则直线 l与平面垂直，若直线l与平面内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面不垂直， 故C错误， 对于选项D： 因为/ /ab， 所以a与b唯一确定一个平面， 设为平面， 又c与a和b都相交， 所以c也在平面内，即直线a、b、c共面，故选项D正确， 故选：D 16 （5 分）已知函数 2, , xx f x x x 为无理数 为有理数 ，则以下 4 个命题： ( )f x是偶函数； ( )f x在0，)上是增函数； ( )f x的值域为R； 对于任意的正有理数a，( )( )g xf xa存
21、在奇数个零点 第 10 页（共 15 页） 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：因为 2, , xx f x x x 为无理数 为有理数 ，所以f（1）1，( 1)1f ， 所以( )f x不是偶函数，故错误； 因为f（3）3( 5)5f，所以( )f x在0，)不是增函数，故错误； 因为 2, , xx f x x x 为无理数 为有理数 ，显然( )F x的值域中不含负无理数， 故( )f x的值域不为R，故错误； ( )( )g xf xa的零点即xa，x为有理数或 2 xa，x为无理数， 对于xa，x为有理数，必有解xa， 对于 2 xa，x为无理数，必有解
22、xa 或无解， 故( )( )g xf xa有三个零点或一个，故正确； 故选：B 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （14 分）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 2 BAC ， 1 4A A，点M 为线段 1 A A的中点 （1）求直三棱柱 111 ABCABC的体积； （2）求异面直线BM与 11 BC所成的角的大小 （结果用反三角表示） 第 11 页（共 15 页） 【解答】解： （1）
23、 11 1 1 22 ABC S ， 1 1 42 2 ABC VSA A （2） 11 / /BCBC， MBC或其补角是异面直线BM与 11 BC所成的角， 在MBC中，5BMCM，2BC ， 由余弦定理得， 222 10 cos 210 BMBCCM MBC BM BC ， 10 arccos 10 MBC， 故异面直线BM与 11 BC所成的角为 10 arccos 10 18 （14 分）已知函数( )sin()(0) 6 f xx 的最小正周期为 （1）求与( )f x的单调递增区间； （2）在ABC中，若()1 2 A f，求sinsinBC的取值范围 【解答】解： （1）因为(
24、 )sin()(0) 6 f xx 的最小正周期为，所以 2 T ， 所以2，( )sin(2) 6 f xx ， 令222 262 kxk 剟，kZ， 解得： 36 kx k 剟，kZ， 所以( )f x的单调递增区间是 3 k ， 6 k ，kZ 第 12 页（共 15 页） （2）在ABC中，若()1 2 A f， 由（1）得，( )sin(2) 6 f xx ，所以sin()1 6 A 因为0A，所以 62 A ，解得： 3 A ， 即 233 sinsinsinsin()sincos3sin() 3226 BCBBBBB ， 因为 2 0 3 B ，所以 5 666 B ； 所以 1
25、3 sin() 1,3sin()3 2626 BB 剟， 所以sinsinBC的取值范围 3 (, 3 2 19 （14 分）勤俭节约是中华民族的传统美德为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精 准供应的措施某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n ，2，3，12)个月 对某种食材的需求总量 n S（公斤）近似地满足 2 635 (16) 6774618(712) n nn S nnn 剟 剟 为保证全 年每一个月该食材都够用，食堂前n个月的进货总量须不低于前n个月的需求总量 （1）如果每月初进货 646 公斤，那么前 7 个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货p（公斤）
26、，为保证全年每一个月该食材都够用，求p的最小值 【解答】 解： （1） 当16n剟时， 每月需求量 635 公斤， 每月进货 646 公斤， 1 到 6 月都够用， 当7n 时，因为 7 64676467( 6497747618)160S ，第 7 个月该食材够 用， 所以，前 7 个月每月该食材都够用 （2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式 n pn S对1n ，2，12 恒成立， 当16n剟时，635pnn恒成立，可得635p， 当712n剟时， 2 6774618pnnn恒成立，即 103 7746()pn n 恒成立， 因为 103103 7746() 77462652.2nn
27、nn ，当且仅当 103 n n ，即10310.15n 时， 等号成立， 又因为 * nN，且12n，所以当10n 时， 103 7746()n n 的最大值为 652.2， 综上所述，652.2p， 所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p的最小值为 652.2 公斤 第 13 页（共 15 页） 20 （16 分）已知椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy， 1 F、 2 F为 1 C的左、右焦点 （1）求椭圆 1 C的焦距； （2） 点( 2Q， 2 ) 2 为椭圆 1 C一点， 与OQ平行的直线l与椭圆 1 C交于两点A、B， 若Q A B 面积为 1，求直线l的方程； （3
28、）已知椭圆 1 C与双曲线 22 2: 1Cxy在第一象限的交点为( M M x，) M y，椭圆 1 C和双曲 线 2 C上满足| M xx的所有点( , )x y组成曲线C若点N是曲线C上一动点，求 12 NF NF 的取值范围 【解答】解： （1）由椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy， 可得2a ，1b ， 22 3cab， 则椭圆 1 C的焦距为22 3c ； （2）由 1 2 OQ k，设 1 : 2 l yxm，代入 22 44xy得 22 2220 xmxm， 由 222 48(1)840mmm，得|2m ， 2 AB xxm ， 2 22 AB x xm， 所以 222 1
29、|1( 2 )4(22)52 4 ABmmm， 又Q到直线l的距离为 | 5 2 m d ， 由 2 1 | |21,1 2 QAB Sd ABmmm ， 所以 1 :1 2 l yx； （3）由 22 22 44 1 xy xy ，解得 2 10 5 15 5 M M x y ， 设( , )N x y是曲线C上一点， 则 1( 3 , 0)F ， 2( 3 , 0) F， 1 (3,)NFxy ， 2 ( 3,)NFxy， 所以 22 12 3NF NFxy； 第 14 页（共 15 页） 当点N在曲线 22 44(|) M xyxx上时， 2 12 13NF NFy ， 当 15 5 y
30、 时， 12 4 () 5 min NF NF ，当0y 时， 12 ()1 max NF NF， 所以 12 4 ,1 5 NF NF ； 当点N在曲线 22 1(|) M xyxx上时， 2 12 22NF NFy； 当 15 5 y 时， 12 4 () 5 min NF NF ， 12 4 ,) 5 NF NF ； 综上， 12 4 ,) 5 NF NF 21 （18 分）已知函数( )f x的定义域是D，若对于任意的 1 x， 2 xD，当 12 xx时，都有 12 ()()f xf x，则称函数( )f x在D上为非减函数 （1）判断 2 1( ) 4f xxx，(1,4)x与 2
31、( ) | 1|2|fxxx，(1,4)x是否是非减函数？ （2）已知函数 1 ( )2 2 x x a g x 在2，4上为非减函数，求实数a的取值范围 （3）已知函数( )h x在0，1上为非减函数，且满足条件：(0)0h， 1 ( )( ) 32 x hh x， (1)1( )hxh x ，求 1 () 2020 h的值 【解答】解： （1） 1( ) f x不是， 2( ) fx是 因为 1 f（1） 1 f（2） ，则 1( ) f x不是1，4上的非减函数， 2 1,12 ( ) 2,24 x fx x 剟 ， 1 x， 2 1x ，2，且设 12 12xx剟，则 2122 ()(
32、)fxfx，显然满足 2122 ()()fxfx， 1 x， 2 (2x ，4，且设 12 24xx，则 211222 ()2323()fxxxfx，显然满足 2122 ()()fxfx， 1 1x，2， 2 (2x，4，则 21 ( )1fx， 222 ()231fxx，显然满足 2122 ()()fxfx， 综上所述， 2( ) fx是1，4上的非减函数 （2） 1 x， 2 2x ，4，设 12 24xx剟， 则 12 ()() 0g xg x， 12 12 12 22 ()()2(2) 22 xx xx aa g xg x 121221 1212 222 22()22(22 ) 222
33、 2 xxxxxx xxxx aaa 第 15 页（共 15 页） 12 12 2 (22 )(1) 0 2 2 xx xx a ， 则 1 x， 2 (2x ，4，设 12 24xx剟，不等式 12 2 10 2 2 xx a 恒成立， 即 1 22 2 x a 2 x ，则8a （3）h（1）(0)1h，所以h（1）1， 所以 11 ( ) 32 hh（1） 1 2 ， 211 ( )1( ) 332 hh ， 得出 121 ( )( ) 332 hh， 1 (3x ， 2) 3 ，因为函数( )h x在0，1上为非减函数， 所以 12 ( )( )( ) 33 hh xh剟， 所以 11 ( ) 22 h x剟， 得到 1 3x ， 2 3 ， 1 ( ) 2 h x ， 由 1 ( )( ) 32 x hh x知， 1 ( )(3 ) 2 h xhx， 1131729 ()()() 202022020642020 hhh， 所以 11 () 2020128 h
