1、. 回扣回扣 8 计数原理计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种方法，在第二类办法中有 m2种方 法，?，在第 n 类办法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2?mn种方法 (也称加法原理). 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤， 缺一不可， 做第一步有m1种方法， 做第二步有m2种方法， ?， 做第 n 步有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2?mn种方法(也称乘法原理). 3.排列 (1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
2、一个排列. (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Am n表示. (3)排列数公式：Am nn(n1)(n2)?(nm1). (4)全排列： n 个不同元素全部取出的一个排列， 叫做 n 个元素的一个全排列， Annn (n1) (n 2) ? 2 1n！.排列数公式写成阶乘的形式为 Am n n！ ?nm?！，这里规定 0！1. 4.组合 (1)组合的定义： 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组， 叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义：从 n
3、个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cm n表示. (3)组合数的计算公式：Cm nA m n Am m n！ m！?nm?！ n?n1?n2?nm1? m！ ，由于 0！1， 所以 C0n1. (4)组合数的性质：Cm nC nm n ；Cm n1C m nC m1 n . 5.二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1b1?Ck na nkbk?Cn nb n (nN*). 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Ckn(k0， 1，2，?，n)叫做二项式系数.式中的 Ckna
4、n kbk 叫做二项展开式的通项，用 Tk1表示，即展 . 开式的第 k1 项：Tk1Cknan kbk. 6.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从 第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn 1 n ，Cnn. 7.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cm nC nm n . (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，
5、当 kn1 2 时，二 项式系数是递减的. 当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项 1 2+ n T的二项式系数最大. 当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项 1 1 2 - + n T和 1 1 2 + + n T的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2n?Ckn?Cnn2n. 二项展开式中， 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 C1nC3nC5n? C0nC2nC4n?2n 1. 1.关于两个计数原理应用的注意事项 (1)分类加法和分步乘法计数原理， 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，
6、 区别在于： 分类加法计数原理针对“分类”问题， 其中各种方法相互独立， 用其中任何一种方法都可以 做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完 成了才算完成这件事. (2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏. (4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不
7、合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧 . (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻 问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理； (8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. 4.对于二项式定理应用时要注意： (1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细. 项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正. (2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时需 先求 n，计
8、算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0， 1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a、b. 1.用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻 出现，这样的四位数有( ) A.36 个 B.18 个 C.9 个 D.6 个 答案 B 解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 2 3 3? ? 1 2 3 ? ? ? ? ? 1? ? 2 3 2? ? 1 3 ，共可确 定 8 个四
9、位数，但其中不符合要求的有 2 个，所以所确定的四位数应有 18 个，故选 B. 2.某学习小组男女生共 8 人， 现从男生中选 2 人， 女生中选 1 人， 分别去做 3 种不同的工作， 共有 90 种不同的选法，则男，女生人数为( ) A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2 答案 B 解析 设男生人数为 n，则女生人数为 8n，由题意可知 C2nC18nA3390，即 C2nC18n15， 解得 n3，所以男，女生人数为 3，5，故选 B. 3.将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大 学至少保送一人的不同保送方法有( ) A.150 种
10、B.180 种 C.240 种 D.540 种 . 答案 A 解析 先将 5 个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有 C35C15C 2 4C 2 2 2 25(种)，再 将三组全排列有 A336(种)，故总的方法数有 256150(种). 4.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任)， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 答案 B 解析 因为要求 3 位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1 男 2 女或 2 男
11、1 女. 若选出的 3 位教师是 1 男 2 女则共有 C15C24A33180(种)不同的选派方法，若选出的 3 位教师 是 2 男 1 女则共有 C25C14A33240(种)不同的选派方法， 所以共有 180240420(种)不同的方 案，故选 B. 5.若二项式(2xa x) 7的展开式中1 x3的系数是 84，则实数 a 等于( ) A.2 B.54 C.1 D. 2 4 答案 C 解析 二项式(2xa x) 7的通项公式为 T k1C k 7(2x) 7k(a x) kCk 72 7kakx72k，令 72k3，得 k5.故展开式中1 x3的系数是 C 5 72 2a584，解得
12、a1. 6.(x1)44x(x1)36x2(x1)24x3(x1)x4等于( ) A.1 B.1 C.(2x1)4 D.(12x)5 答案 B 解析 (x1)44x(x1)36x2(x1)24x3(x1)x4(x1)x)41. 7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的 发言顺序有( ) A.30 种 B.600 种 C.720 种 D.840 种 答案 C 解析 A47A45720(种). 8.如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色 的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( ) . A.180 B
13、.240 C.360 D.420 答案 D 解析 若 5 个花池栽了 5 种颜色的花卉，方法有 A55种，若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉， 则 2，4 两个花池栽同一种颜色的花，或 3，5 两个花池栽同一种颜色的花，方法有 2A45种； 若 5 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方法有 A35种，所以最多有 A552A45A35420(种). 9.(x 1 ax) 5的各项系数和是 1 024，则由曲线 yx2和 yxa围成的封闭图形的面积为_. 答案 5 12 解析 设 x1，则各项系数和为(11 a) 51 02445，所以 a1 3，联立? ? ? ? ? yx2 yx 3 1可得交点
14、坐 标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线 yx2和 yx 3 1 围成的封闭图形的面积为? ? 0 1(x3 1 x2)dx ? ? ? ? ? ? 3 4x 3 4 1 3x 3 ? ? ? 1 0 3 4 1 3 5 12. 10.圆上有 10 个点， 过每三个点画一个圆内接三角形， 则一共可以画的三角形个数为_. 答案 120 解析 圆上任意三点都不共线， 因此有三角形 C310120(个). 11.一排共有 9 个座位，现有 3 人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而 且至多有两个空座，则不同坐法共有_种. 答案 36 解析 可先考虑 3 人已经就座，共有 A336(
15、种)，再考虑剩余的 6 个空位怎么排放，根据要 求可产生把 6 个空位分为 1，1，2，2， 放置在由已经坐定的 3 人产生的 4 个空中，共有 C24 6，所以不同的坐法共有 6636(种). 12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架舰载机(甲、乙、丙、 丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着 舰方法有_种. 答案 24 解析 先把甲、 乙捆绑在一起有 A22种情况， 然后对甲、 乙整体和戊进行排列， 有 A22种情况， 这样产生了三个空位，插入丙、丁，有 A23种情况，所以着舰方法共有 A22A22A23226 24(种
16、). 13.实验员进行一项实验，先后要实施 5 个程序(A，B，C，D，E)，其中程序 A 只能出现在 第一步或最后一步，程序 C 或 D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_种. . 答案 24 解析 依题意， 当 A 在第一步时， 共有 A22A3312(种)； 当 A 在最后一步时， 共有 A22A3312(种). 所以实验的编排方法共有 24 种. 14.用 1，2，3，4，5，6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左右两端，2，4，6 三个偶 数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_. 答案 288 解析 从 2，4，6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体”，方法有 A236
