1、. 回扣回扣 4 数数 列列 1牢记概念与公式 等差数列、等比数列 等差数列 等比数列 通项公式 ana1(n1)d ana1qn 1 (q0) 前 n 项和 Snn?a1an? 2 na1n?n1? 2 d (1)q1， Sna1?1q n? 1q a1anq 1q (2)q1， Snna1 2活用定理与结论 (1)等差、等比数列an的常用性质 等差数列 等比数列 性 质 若 m，n，p，qN*，且 mn pq， 则 amanapaq anam(nm)d Sm，S2mSm，S3mS2m，仍 成等差数列 若 m，n，p，qN*，且 mn pq，则 am anap aq anamqn m Sm，
2、S2mSm，S3mS2m，仍 成等比数列(Sn0) (2)判断等差数列的常用方法 定义法： an1and (常数) (nN*)?an是等差数列 通项公式法： anpnq (p，q 为常数，nN*)?an是等差数列 中项公式法： 2an1anan2 (nN*)?an是等差数列 前 n 项和公式法： . SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)?an是等差数列 (3)判断等比数列的三种常用方法 定义法： an1 an q (q 是不为 0 的常数，nN*)?an是等比数列 通项公式法： ancqn (c，q 均是不为 0 的常数，nN*)?an是等比数列 中项公式法： a2n1an an2(an
3、an1 an20，nN*)?an是等比数列 3数列求和的常用方法 (1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和 (2)形如an bn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和 (3)通项公式形如 an c ?anb1?anb2?(其中 a，b1，b2，c 为常数)用裂项相消法求和 (4)通项公式形如 an(1)n n 或 ana (1)n(其中 a 为常数， nN*)等正负项交叉的数列求和 一般用并项法并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论 (5)分组求和法： 分组求和法是解决通项公式可以写成 cnanbn形式的数列求和问题的方法， 其中an与bn是等差(比)数
4、列或一些可以直接求和的数列 (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn. 1已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 SnSn1表示事实上，当 n1 时，a1S1；当 n2 时，anSnSn1. 2易混淆几何平均数与等比中项，正数 a，b 的等比中项是 ab. 3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算如等差 数列an与bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知Sn Tn n1 2n3，求 an bn时，无法正确赋值求解 4易忽视等比数列中公比 q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造 成增解 5运用等比数列的前
5、 n 项和公式时，易忘记分类讨论一定分 q1 和 q1 两种情况进行讨 论 6利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项 7裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如 1 n?n2? 1 n 1 n2，而是 1 n?n2? 1 2? ? ? ? 1 n 1 n2 . . 8通项中含有(1)n的数列求和时，要把结果写成分 n 为奇数和 n 为偶数两种情况的分段形 式 1已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4(nN*)，则 an等于( ) A2n 1 B2n C2n 1 D2n 2 答案 A 解析 an1Sn1Sn2a n14(2an4) ?an12an，再令 n
6、1，S12a14?a14， 数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比数列， an4 2n 12n1，故选 A. 2已知数列an满足 an2an1an，且 a12，a23，Sn为数列an的前 n 项和，则 S2 016 的值为( ) A0 B2 C5 D6 答案 A 解析 由题意得，a3a2a11，a4a3a22， a5a4a33，a6a5a41，a7a6a52， 数列an是周期为 6 的周期数列，而 2 0166 336， S2 016336S60，故选 A. 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a514a6，则 S10等于( ) A35 B70 C28 D14 答案 B 解析 a
7、514a6?a5a614， S1010?a1a10? 2 10?a5a6? 2 70. 故选 B. 4已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a24，S10110，则使Sn63 an 取得最小值时 n 的值为 ( ) A7 B7 或 8 C.17 2 D8 答案 D . 解析 a24，S10110?a1d4， 10a145d110?a12，d2， 因此Sn63 an 2nn?n1?63 2n n 2 63 2n 1 2， 又 nN*，所以当 n8 时，Sn63 an 取得最小值 5等比数列an中，a3a564，则 a4等于( ) A8 B8 C8 或8 D16 答案 C 解析 由等比数列的性质
8、知，a3a5a24， 所以 a2464，所以 a48 或 a48. 6等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 2S4S5S6，则数列an的公比 q 的值为( ) A2 或 1 B1 或 2 C2 D1 答案 C 解析 设公比为 q，由 2S4S5S6得 a62a50，于是 q2. 7设函数 f(x)xaax 的导函数 f(x)2x2，则数列 1 f?n?的前 9 项和是( ) A.29 36 B. 31 44 C. 36 55 D. 43 66 答案 C 解析 由题意得函数 f(x)xaax 的导函数 f(x)2x2，即 axa 1a2x2，所以 a2， 即 f(x)x22x， 1 f?n?
9、1 n?n2? 1 2( 1 n 1 n2)， 所以 Sn1 2(1 1 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n 1 n2) 1 2(1 1 2 1 n1 1 n2) 则 S91 2(1 1 2 1 10 1 11) 36 55，故选 C. 8在数列an中，a11，anan1 1 n?n1?，则 an 等于( ) A21 n B11 n C.1 n D2 1 n1 答案 A 解析 anan1 1 n?n1?， . a2a1 1 12，a3a2 1 23，a4a3 1 34， anan1 1 n?n1?(n1)，以上各式左右两边分别相加得 ana1 1 12 1 23 1 34 1 n?n1
10、? 11 2 1 2 1 3 1 n1 1 n1 1 n， ana111 n2 1 n，又 a11 适合上式， an21 n.故选 A. 9等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前 8 项和等于_ 答案 4 解析 由等比数列的性质有 a1a8a2a7a3a6a4a5， 所以 T8lg a1lg a2lg a8 lg(a1a2a8)lg(a4a5)4lg(10)44. 10若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100，则当 n_时，an的前 n 项和 最大 答案 8 解析 a7a8a93a80，a80.a7a10a8a90，a90.从而 n8 时，an的前 n 项和最大 11若数
11、列an满足 an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式为 an _. 答案 23n 11 解析 设 an3(an1)，化简得 an3an12， an3an12，1， an13(an11)， a11，a112， 数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列， an123n 1，a n23 n11. 12数列 11 3，2 1 9，3 1 27，4 1 81，5 1 243，的前 n 项之和等于_ 答案 n?n1? 2 1 21( 1 3) n 解析 由数列各项可知通项公式为 ann 1 3n， 由分组求和公式结合等差数列、 等比数列求和 . 公式可知前 n 项和为 Snn?
12、n1? 2 1 21( 1 3) n 13设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an1Sn1(nN*，且 1)，且 a1,2a2，a33 为等差数列bn的前三项 (1)求数列an，bn的通项公式； (2)求数列anbn的前 n 项和 解 (1)方法一 an1Sn1(nN*)， anSn11(n2) an1anan，即 an1(1)an (n2)，10， 又 a11，a2S111， 数列an为以 1 为首项，以 1 为公比的等比数列， a3(1)2，4(1)1(1)23， 整理得 2210，得 1. an2n 1，b n13(n1)3n2. 方法二 a11，an1Sn1(nN*)， a2S1
13、11， a3S21(11)1221. 4(1)12213， 整理得 2210，得 1. an1Sn1 (nN*)， anSn11(n2)， an1anan，即 an12an (n2)， 又 a11，a22， 数列an为以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， an2n 1，b n13(n1)3n2. (2)设数列anbn的前 n 项和为 Tn， anbn(3n2) 2n 1， Tn1 14 217 22(3n2) 2n 1. 2Tn1 214 227 23(3n5) 2n 1(3n2) 2n. 得Tn1 13 213 223 2n 1(3n2) 2n13 2 ?12n 1? 12 (3n2)
14、 2n. 整理得 Tn(3n5) 2n5. 14已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Snan?an1? 2 (nN*)， (1)求证：数列an是等差数列； . (2)设 bn 1 Sn，Tnb1b2bn，若 Tn对于任意 nN *恒成立，求实数 的取值范围 (1)证明 Snan?an1? 2 (nN*)， Sn1an 1?an11? 2 (n2) 得：ana 2 nana 2 n1an1 2 (n2)， 整理得：(anan1)(anan1)(anan1)， 数列an的各项均为正数，anan10， anan11(n2) 当 n1 时，a11， 数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列 (2)解 由(1)得 Snn 2n 2 ， bn 2 n2n 2 n?n1?2( 1 n 1 n1)， Tn2(11 2)( 1 2 1 3)( 1 3 1 4)( 1 n 1 n1)2(1 1 n1) 2n n1， Tn 2 11 n ，Tn单调递增，TnT11，1. 故 的取值范围为(，1
