1、. 压轴大题突破练压轴大题突破练 压轴大题突破练压轴大题突破练(一一) 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线(1) 1在平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)，点 B 在直线 l：x1 上运动，过点 B 与 l 垂直的 直线和线段 AB 的垂直平分线相交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程； (2)过(1)中轨迹 E 上的点 P(1,2)作两条直线分别与轨迹 E 相交于 C(x1，y1)，D(x2，y2)两点试 探究：当直线 PC，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线 CD 的斜率是否为定值？若是，求 出这个定值；若不是，请说明理由 解 (1)依题意，得|MA|MB|. 动点 M 的轨迹
2、E 是以 A(1,0)为焦点，直线 l：x1 为准线的抛物线， 动点 M 的轨迹 E 的方程为 y24x. (2)P(1,2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线 y24x 上， ? ? ? ? y214x1， y224x2， 由得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)， 直线 CD 的斜率为 kCDy1y2 x1x2 4 y1y2. 设直线 PC 的斜率为 k，则 PD 的斜率为k， 则直线 PC 方程为 y2k(x1)， 由 ? ? ? ? y24x， ykxk2， 得 ky24y4k80. 由 2y14 k，求得 y1 4 k2， 同理可求得 y24 k2. kCD 4 y1y
3、2 4 ?4 k2? 4 k2? 1， 直线 CD 的斜率为定值1 . 2.如图所示，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A，B，已 . 知点 B 在直线 l：y1 上，且椭圆的离心率 e 3 2 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设 P 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，PQy 轴，Q 为垂足，M 为线段 PQ 的中点，直线 AM 交直线 l 于点 C，N 为线段 BC 的中点，求证：OMMN. (1)解 依题意，得 b1. 因为 ec a 3 2 ，又 a2c2b2，所以 a24. 所以椭圆的标准方程为x 2 4y 21. (2)证明 设点 P 的坐标为(x0，y
4、0)，x00， 因为 P 是椭圆上异于 A，B 的任意一点， 所以x 2 0 4y 2 01. 因为 PQy 轴，Q 为垂足，所以点 Q 坐标为(0，y0) 因为 M 为线段 PQ 的中点，所以 M? ? ? ? x0 2，y0 . 又点 A 的坐标为(0,1)，可得直线 AM 的方程为 y2?y01? x0 x1. 因为 x00，所以 y01，令 y1，得 C? ? ? ? x0 1y0，1 . 因为点 B 的坐标为(0，1)，点 N 为线段 BC 的中点， 所以 N? ? ? ? x0 2?1y0?，1 . 所以向量NM ? ? ? ? x0 2 x0 2?1y0?，y01 . 又OM ?
5、 ? ? ? x0 2，y0 ， 所以OM NM x0 2? ? ? ? x0 2 x0 2?1y0? y0(y01) x 2 0 4 x20 4?1y0?y 2 0y0 ? ? ? ? x20 4y 2 0 x20 4?1y0?y0 1(1y0)y00. 所以 OMMN. 3椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e 2 2 .设动直线 l：ykx m 与椭圆 E 相切于点 P 且交直线 x2 于点 N，PF1F2的周长为 2( 21) . (1)求椭圆 E 的方程； (2)求两焦点 F1、F2到切线 l 的距离之积； (3)求证：以 PN 为
6、直径的圆恒过点 F2. (1)解 设 F1(c,0)，F2(c,0)， 则 ? ? ? ? ? c a 2 2 ， 2a2c2? 21?， 解得 a 2，c1.b2a2c21， 椭圆 E 的方程为x 2 2y 21. (2)解 由 ? ? ? ? ? x2 2y 21， ykxm ?(12k2)x24kmx2(m21)0. 设直线 l 与椭圆 E 相切于点 P(x0，y0)， 则 0，化简 2k21m2， 焦点 F1，F2到直线 l 的距离 d1，d2分别为 d1|km| k21 ，d2 |km| k21， 则 d1 d2m 2k2 k21 k 21 k211. (3)证明 x0 2km 12
7、k2 2k m， y0kx0m2k 2 m mm 22k2 m 1 m， P(2k m， 1 m) 又联立 ykxm 与 x2，得到 N(2,2km)， PF2 (12k m， 1 m)，F2N (1,2km) PF2 F2N (12k m， 1 m) (1,2km) 12k m 1 m(2km) 12k m 2k m10. PF2 F2N ， 以 PN 为直径的圆恒过点 F2. . 4已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长为 2，离心率为 2 2 ，过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求OA O
8、B 的取值范围； (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N，证明：直线 AN 恒过一定点 (1)解 由题意知 b1，ec a 2 2 ， 得 a22c22a22b2，故 a22. 故所求椭圆 C 的方程为x 2 2y 21. (2)解 设 l：yk(x2)，与椭圆 C 的方程联立， 消去 y 得(12k2)x28k2x8k220. 由 0 得 0k21 2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 8k2 12k2，x1x2 8k22 12k2， OA OB x1x2y1y2x1x2k2(x12)(x22) (1k2)x1x22k2(x1x2)4k2 10k 22 12k2 5 7 12k2. 0k21 2， 7 2 7 12k27， 故所求范围是2，3 2) (3)证明 由对称性可知 N(x2，y2)，定点在 x 轴上， 直线 AN：yy1y1y2 x1x2(xx1) 令 y0 得：xx1y1?x1x2? y1y2 x1y2x2y1 y1y2 2kx1x22k?x1x2? k?x1x24? 2x1x22?x1x2? x1x24 16k24 12k2 16k2 12k2 8k2 12k24 1， 故直线 AN 恒过定点(1,0)
