1、. (二二)直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线(2) 1(2016 四川)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 三个顶点，直线 l：yx3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； (2)设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，且与直线 l 交于 点 P.证明：存在常数 ，使得|PT|2|PA| |PB|，并求 的值 解 (1)由已知，得 a 2b， 则椭圆 E 的方程为 x2 2b2 y2 b21. 由方程组 ? ? ? ? ? x2 2b2 y2 b21， yx3，
2、 得 3x212x(182b2)0. 方程的判别式为 24(b23)，由 0，得 b23， 此时方程的解为 x2， 所以椭圆 E 的方程为x 2 6 y2 31. 点 T 的坐标为(2,1) (2)由已知可设直线 l的方程为 y1 2xm(m0)， 由方程组 ? ? ? ? ? y1 2xm， yx3， 可得 ? ? ? x22m 3 ， y12m 3 ， 所以 P 点坐标为? ? ? ? 22m 3 ，12m 3 ，|PT|28 9m 2. 设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由方程组 ? ? ? x2 6 y2 31， y1 2xm， 可得 3x24mx(4m2
3、12)0. 方程的判别式为 16(92m2)， 由 0，解得3 2 2 0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求|OH| |ON|； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由 解 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P? ? ? ? t2 2p，t ， 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N? ? ? ? t2 p，t ，ON 的方程为 y p tx，代入 y 22px 整理得 px2 2t2x0， 解得 x10，x22t 2 p ，因此 H? ? ? ? 2t2 p ，2t . 所以 N 为 OH 的中点，即
4、|OH| |ON|2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线 MH 的方程为 yt p 2tx，即 x 2t p(yt) 代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点 3(2016 浙江)如图，设椭圆x 2 a2y 21(a1) . (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM， 由 ?
5、 ? ? ? ? ykx1， x2 a2y 21， 得(1a2k2)x22a2kx0， 故 x10，x2 2a2k 1a2k2， 因此|AM|1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q， 满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2. 由(1)知|AP|2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 ，|AQ|2a 2|k 2| 1k 2 2 1a2k22 ， 故2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 2a 2|k 2| 1k 2
6、 2 1a2k22 ， 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220. 由 k1k2，k1，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220， 因此? ? ? ? 1 k211? ? ? ? 1 k221 1a 2(a22)， 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a 2. 因此任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2， 由 ec a a21 a ，得 0e 2 2 . 所以离心率的取值范围为(0， 2 2 4(2016 课标全国丙)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线
7、 l1，l2分别 交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ； (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 (1)证明 由题意知 F? ? ? ? 1 2，0 ， 设 l1： ya， l2： yb， 则 ab0， 且 A? ? ? ? a2 2，a ， B? ? ? ? b2 2，b ， P? ? ? ? 1 2，a ， . Q? ? ? ? 1 2，b ，R? ? ? ? 1 2， ab 2 . 记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0. 由于 F 在
8、线段 AB 上，故 1ab0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1 ab 1a2 ab a2ab 1 a ab a b b0 1 2 1 2 k2.所 以 ARFQ. (2)解 设过 AB 的直线为 l， l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 SABF1 2|ba|FD| 1 2|ba|? ? ? ? x11 2 ， SPQF|ab| 2 . 由题意可得|ba|? ? ? ? x11 2 |ab| 2 ， 所以 x11，x10(舍去) 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y) 当 AB 与 x 轴不垂直时， 由 kABkDE可得 2 ab y x1(x1) 而 ab 2 y， 所以 y2x1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1,0)，所以所求轨迹方程为 y2x1.
