1、. 压轴大题突破练压轴大题突破练(二二) 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线(2) 1(2016 浙江)如图，设椭圆x 2 a2y 21(a1) (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM， 由 ? ? ? ? ? ykx1， x2 a2y 21， 得(1a2k2)x22a2kx0， 故 x10，x2 2a2k 1a2k2， 因此|AM|1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由
2、对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q， 满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2. 由(1)知，|AP|2a 2|k 1| 1k21 1a2k21 ， |AQ|2a 2|k 2| 1k22 1a2k22 ， 故2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 2a 2|k 2| 1k 2 2 1a2k22 ， 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220. 由于 k1k2，k1，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220， 因此? ? ? ? 1 k211? ? ? ? 1 k221 1a 2(a
3、22) 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a 2. 因此， 任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2， 由 ec a a21 a ， 得 00)交于 A，B 两点，且OA OB3，其中 . O 为坐标原点 (1)求 p 的值； (2)当|AM|4|BM|最小时，求直线 l 的方程 解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 l 的方程为 xmyp 2. 联立 ? ? ? ? ? xmyp 2， y22px 消去 x， 得 y22pmyp20. y1y22pm，y1y2p2. OA OB 3，x1x2y1
4、y23. 又 x1x2y 2 1 2p y22 2p p2 4， p 2 4p 23?p24. p0，p2. (2)由抛物线定义，得|AM|x1p 2x11， |BM|x2p 2x21， |AM|4|BM|x14x252 4x1x259，当且仅当 x14x2时取等号 将 x14x2代入 x1x2p 2 41，得 x2 1 2(负值舍去) 将 x21 2代入 y 24x，得 y 2 2，即点 B? ? ? ? 1 2， 2 . 将点 B 代入 xmy1，得 m 2 4 . 直线 l 的方程为 x 2 4 y1，即 4x 2y40. 3已知动点 S(x，y)到直线 l：x2 2的距离是它到点 T(
5、 2，0)的距离的 2倍. (1)求动点 S 的轨迹 C 的方程； (2)设轨迹 C 上一动点 P 满足：OP OM 2ON ，其中 M，N 是轨迹 C 上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之积为1 2， 若 Q(， )为一动点， E1( 3 2 ， 0)， E2( 3 2 ， 0)为两定点， 求|QE1|QE2| 的值 解 (1) 点 S(x，y)到直线 x2 2的距离， 是到点 T( 2，0)的距离的 2倍， . 则|x2 2| 2 ?x 2?2y2， 化简得x 2 4 y2 21. 所以轨迹 C 的方程为x 2 4 y2 21. (2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)
6、， 则OP OM 2ON ， 即 xx12x2，yy12y2， 因为点 P，M，N 在椭圆x 2 4 y2 21 上， 所以 x212y214，x222y224，x22y24， 故 x22y2 2(x212y21)42(x222y22)4(x1x22y1y2) 421624(x1x22y1y2)4， 设 kOM，kON分别为直线 OM，ON 的斜率， 由题意知，kOM kONy1y2 x1x2 1 2， 因此 x1x22y1y20，所以 2421， 所以点 Q 是椭圆 2421 上的点， 而 E1，E2恰为该椭圆的左，右焦点， 所以由椭圆的定义可得，|QE1|QE2|2. 4已知曲线 C 上任
7、意一点 P 到两定点 F1(1,0)与 F2(1,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 C 的方程； (2)设曲线 C 与 x 轴负半轴交点为 A，过点 M(4,0)作斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 B、C 两 点(B 在 M、C 之间)，N 为 BC 中点 证明：k kON为定值； 是否存在实数 k，使得 F1NAC？如果存在，求直线 l 的方程，如果不存在，请说明理由 (1)解 由已知可得：曲线 C 是以两定点 F1(1,0)和 F2(1,0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 所以 a2，c1?b a2c2 3， 故曲线 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明 设过点 M
8、的直线 l 的方程为 yk(x4)， 设 B(x1, y1)，C(x2, y2)(x2x1) 联立方程组 ? ? ? ? ? yk?x4?， x2 4 y2 31， . 得(4k23)x232k2x64k2120， 则 ? ? ? ? ? x1x232k 2 4k23， x1x264k 212 4k23 . 故 xNx1x2 2 16k 2 4k23， yNk(xN4) 12k 4k23. 所以 kON 3 4k， 所以 k kON3 4为定值 解 若 F1NAC，则 kAC kF1N1， 因为 F1(1,0)，kF1N 12k 4k23 16k2 4k231 4k 14k2， 因为 A(2,0)，kAC y2 x22， 故 y2 x22 4k 14k21， 代入 y2k(x24)得 x228k2，y22k8k3， 而 x22， 故只能 k0，显然不成立，所以这样的直线不存在
