1、20182018- -20192019 学年度第一学期高三年级期中考试学年度第一学期高三年级期中考试 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题第卷（选择题 共共 6060 分）分） 注意事项： 1.答卷前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷前，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的分。下列每小题
2、所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）序号填涂在答题卡上） 1.已知集合?31,6,8,10,12,14 ,Ax xnnNB?则集合AB中元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2.已知复数 12i , 2i z ? ? ? 则z的虚部为 A.1? B.0 C. 1 D. i 3.已知点?4,3P ?是角?终边上的一点，则?sin? A
3、. 3 5 B. 3 5 ? C. 4 5 ? D. 4 5 ? 22 2 102 3 4. xy aa a ?已知双曲线的离心率为 ，则 A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 5.某数学期刊的国内统一刊号是 CN42-1167/01，设 n a表示421167 nn ?的个位数字，则数列 ? ? n a的第 38 项至第 69 项之和 383969 aaa? A.180 B.160 C.150 D.140 6.已知点?1,4P ?，过点
4、P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，则抛物线C的标 准方程为 A. 2 1 4 xy? B. 2 4xy?或 2 16yx? ? C. 2 16yx? ? D. 2 1 4 xy?或 2 16yx? ? 7.若数列? ? n a中， 26 2,0,aa?且数列 1 1 n a ? ? ? ? 是等差数列，则 4 a ? A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 ? ? ? ? ? ? 8.sincos 4 2 3 f xxxRxf x g xg x ? ? ? ?
5、 ?已知函数的图象关于直线对称，把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为 A. 6 x ? ? B. 4 x ? ? C. 3 x ? ? D. 11 6 x ? ? 22 90.2:33MxO xyNOMN M ? ?设点为直线上的动点，若在圆上存在点 ，使得， 则的纵坐标的取值范围是 A .?1,1? B. 1 1 , 2 2 ? ? ? ? C.2 2,2 2 ? ? ? D. 2
6、2 , 22 ? ? ? ? 13 60 ,3, 3 10. 4 ABCDBADABDFDC AEACBF DE ? ?已知菱中则形， A. 8 9 B. 21 8 ? C. 3 4 ? D. 4 3 22 1 42 xy ABCDABAD?11.若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率为1，则直线的斜 率为 A. 1 2 B. 1 2 ? C. 1 4 ? D.2? 2 12., ,. 3 430, a b eeaebb e bab ? ? ? 已
7、知是平面向量 是单位向量若非零向量 与 的夹角为，向量 满足 则的最小值是 A.2 B.31? C.3 1? D.23? 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、二、 填空题（每题填空题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分。把答案填在答题纸的横线上）分。把答案填在答题纸的横线上） ? ? 2 ,0, 13.=2 ,0, x x f xff x x ? ? ? ? ? ? 设则_._. ? ? 2246
8、6 14.2,14, n aaaaaa?已知数列是等比数列，满足则_._. ? 2 15.121,0, _2,_. FCyxPlA B BPPAAFBF ? ? 设 为抛物线 ：的焦点，经过点的直线 与抛物线交于两点， 且则 ? ? ?16.2sinsin2 ,_.f xxxf x?已知函数则的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答 题纸的相应位置上）题纸的相应位置上） 17. （本
9、小题满分 10 分） ? ? ? ? , , , ,cos . sin 1 tan 21,2,. ABCA B Ca b c abbC C B abc ? ? ?在中，角所对应的边分别为 求的值； 若求 18. （本小题满分 12 分） ? ? ? ? 2 22 21. 1 212. klxyABABx k lxyCD ABCDl ? ? 斜率为 的直线 与抛物线交于两点 、 ，且的中点恰好在直线上 求 的值； 若直线 与圆交于两点 、 ，求直线 的方程 19.（本小题满分 12 分） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * 11 2 1 1 3,1. 1 41 212. n
10、nnn n n nnnn nn n anSaSSyxnnN n S n n bbbnT a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数列的前 项和为 ，若点在直线上 求证：数列是等差数列； 若数列满足，求数列的前项和 20.（本小题满分 12 分） ? ? ? ? ? ? ? 1 e ln12e0. 1 215e. x x f xaxxxy a xf x ? ? ? ? 已知函数在处的切线与直线垂直 求 的值； 证明： 21. （本小题满分 12 分） ? ? ? ? ? 22 22 2 :100, 1. 2 1 21,1, . xy EabA ab E kEP QA APA
11、Q ?如图，椭圆经过点，且离心率为 求椭圆 的方程； 若经过点，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点均异于点， 证明：直线与的斜率之和为定值 22.（本小题满分 12 分） ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 24ln ,. 111,1 21,0. f xxaxx aR ayf xf xf xxaa ? ? ? 设函数 当时，求曲线在点处的切线方程； 若对任意恒成立，求实数 的取值范围 20182018- -20192019 学年度第一学期高三年级期中考试学年度第一学期高三年级期中考试 文数参考答案及解析文数参考答案及解析 一、选择题 15 DCADB &nb
12、sp; 610 DADCB 1112 BC 二、填空题 1 13. 2 14.8 15.17 2 16. 3 3 2 ? 三、解答题 17.解： （1）由cosabbC?及正弦定理，得sinsinsincosABBC?， 即?sinsinsincosBCBBC?，即sincoscossinsinsincosBCBCBBC?， 即sincossinCBB?，得sintanCB?，所以 sin 1 tan C B ?.（4 分） （2）由cosabbC?，且1,2ab?，得 1 cos 2 C ? ?， 由余弦定理，得 222 1 2cos1 42 1 27 2 cab
13、abC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以7c ?.（10 分） 18.解： （1）设直线l的方程为ykxm?，? 1122 ,A x yB xy 由 2 , 2 , ykxm xy ? ? ? ? 得 2 220xkxm?， 则 1212 2 ,2 .xxk x xm? ?（2 分） 因为AB的中点在直线1x ?上，所以 12 2,xx?即22k ?，所以1k ?.（4 分） （2）因为O到直线l的距离 2 ,2 12, 22 mm dCD?（5 分） 由（1）得，? 2 2 121212 1242 21 2 ,ABkxxxxx xm?（6 分） 又,ABCD?所以 2 2 21
14、22 12, 2 m m? 化简，得 2 8200,mm?所以10m ? ?或2m ?.（10 分） 由 480, 2 3, m d ? ? ? ? ? ? 得 1 2 6. 2 m? 所以2,m ?直线l的方程为2yx?.（12 分） 19.解： （1）点? 1 , nn S S ? 在直线 ? * 1 1 n yxnnN n ? ?上， 1 1 1 nn n SSn n ? ? ?，两边同除以1n?，则有 1 1 1 nn SS nn ? ? ? .（2 分） 又 1 3 1 S ?，?数列 n S n ? ? ? 是以 3 为首项，1 为公差的等差数列.（4 分） （2）由（1）可知，
15、? 2* 2, n Snn nN? ?当 1n ?时， 1 3a ?；当2n?时， 1 21, nnn aSSn ? ? 经检验，当1n ?时也成立， ? * 21 n annN?.（6 分） ? ? ? ? 41 11 11, 21 232123 nn n n b nnnn ? ? ? ? ? ? ? ? 2 11 433 n T n ? ? .（12 分） 20.解： （1）函数? ?f x的定义域为?0,?， ? ? e e ln x x fxax x ? ? ? ? ，由已知? ?yf x?在1x ?处的切线的斜率2ek ?， 所以? ?1e2e,fa?所以2a ?.（4 分） （2）
16、要证明? ? 1 1 5exxf x ? ? ?，即证明 1 2 e ln1 5e,0 xx xxx ? ? ?，等价于证明 51 2 ln, eex xx ? 令? ? 5 2 ln, e g xxx?所以? ?2 ln1gxx?. 当 1 0 e x?时，? ?0gx?；当 1 e x ?时，? ?0gx?， 所以? ? 5 2 ln e g xxx?在 1 0, e ? ? ? 上为减函数，在 1 , e ? ? ? ? 上为增函数， 所以? ?min 13. ee g xg ? ? ? ? 因为 1 e x y ? ? ? ? 在?0,?上为减函数，所以 0 11 1 ee x ? ?
17、 ? ? ，于是? ? 31 1, eex g x ? 所以? ? 1 1 5e. x xf x ? ? ?（12 分） 21.解： （1）由题设知 2 ,1, 2 c b a ?结合 222 abc?，解得2a ?， 所以椭圆E的方程为 2 2 1. 2 x y?（4 分） （2）由题设知，直线PQ的方程为?112 ,yk xk?代入 2 2 1, 2 x y? 得? ? 22 1 241220,kxk kxk k? 由已知0? ?，设? 11221 2 ,0,P x yQ xyx x ?则 ? 1212 22 4122 , 1 21 2 k kk k xxx x kk ? ? ? 从而直线
18、,AP AQ的斜率之和为 ? 1212 121212 112211 22 APAQ yykxkkxk kkkk xxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? 12 12 41 22222212. 22 k kxx kkkkkk x xk k ? ? ? （12 分） 22.解： （1）当1a ?时，? ?10f?，? ?44 ln24fxxxx?，? ?12, f ? ? ? 所以曲线? ?yf x?在点? ?1,1f处的切线方程为?21 ,yx? ?即220xy?.（4 分） （2）设? ? ? ? 222 24ln,1,g xf xxaxaxxxa x? 则? ?44ln2424ln1 ,1,gxxaxxaxxaxx? 当1a ?时，? ?g x在?1,?上单调递增， 所以，对任意1x ?，有? ? ?110g xga? ?，所以1.a ? 当1a ?时，? ?g x在?1,a上单调递减，在?, a ?上单调递增， 所以? ? ? 2 min 1 2lng xg aaaa?， 由条件知，? 2 12ln0aaa?，即?1 2ln10.aa? ?
