1、 1 常州常州市市 2018-2019 学年第一学期期末试卷学年第一学期期末试卷 高三数学高三数学 参考公式：样本数据 12 , n x xx的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n . 柱体的体积VSh，其中S为柱体的底面积，h为高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应的位置上答题卡相应的位置上 . 1.已知集合0,1, 1,1AB ，则AB _. 2.已知复数z满足(1)1zii （i是虚数单位） ，则复数z _. 3. 已知 5 位裁判给
2、某运动员打出的分数为9.1,9.3, ,9.2,9.4x，且这 5 个分数的平均 数为9.3，则实数x _. 4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的 值为_. 5.函数1lnyx的定义域为_. 6.某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程，则该同学恰好 选中 1 文 1 理的概率为_. 7.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2，直线20 xy经过双C的焦点，则双曲线C的渐 近线方程为_. 8. 已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作
3、圆 柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图） ，则圆柱PO的体积与圆锥SO的 体积的比值为_. 9.已知正数, x y满足1 y x x ，则 1x xy 的最小值为_. 10. 若直线0kxyk与曲线exy （e是自然对数的底数）相切，则实数 k _. 11. 已知函数( )sin()(0,)Rf xx 是偶函数，点(1,0)是函数( )yf x图象 的对称中心，则最小值为_. 12. 平面内不共线的三点, ,O A B， 满足| 1,| 2OAOB， 点C为线段AB的中点，AOB的平分线交线段AB 于D，若| 3 | 2 OC ，则|OD _. 13. 过原点的直线l与圆 22 1xy
4、交于,P Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直 线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为_. 14. 数列, nn ab满足 * 1 ( 1)()N n nnn baa n ， 且数列 n b的前n项和为 2 n， 已知数列 n an的前2018项 和为 1，那么数列 n a的首项 1 a _. O P （第 8 题） 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或 演算步骤演算步骤 .
5、15. (本小题满分本小题满分 14 分分) 如图，正三棱柱 111 ABCABC中，点,M N分别是棱 1 ,AB CC的中点. 求证： （1）CM/平面 1 AB N； （2）平面 1 ABN 平面 11 AAB B. 16. (本小题满分本小题满分 14 分分) 已知ABC中，, ,a b c分别为三个内角, ,A B C的对边，且 222 2 3 sin 3 bbcAca . (1) 求角A； (2) 若tantan3BC ，且2a ，求ABC的周长. A B C M N 1 A 1 B 1 C （第 15 题） 3 17.(本小题满分本小题满分 14 分分) 已知，在平面直角坐标系x
6、Oy中，椭圆 22 1 22 :1 xy C ab 的焦点在椭圆 22 2 22 :1 yx C ab 上，其中0ab，且 点 66 (,) 33 是椭圆 12 ,C C位于第一象限的交点. (1) 求椭圆 12 ,C C的标准方程； (2) 过y轴上一点P的直线l与椭圆 2 C相切，与椭圆 1 C交于点,A B，已知 3 5 PAPB，求直线l的斜率. 18. (本小题满分本小题满分 16 分分) 某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得， 如图二中所示多边形ABCDEFGH） ，整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴1.6AFBE米，两
7、根 竖轴1.2CHDG米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l米. (1) 若 2 3 ABC ，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度； (2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面 积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC的大小与BC的长度. A B CD E F GH 图一 图二 （第 18 题） 4 19. (本小题满分本小题满分 16 分分) 已知数列 n a中， 1 1a ，且 * 1 340,N nn aan . (1) 求证：1 n a 是等比数列，并求数列 n a的通
8、项公式； (2) 数列 n a中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项； 若不存在，说明理由. 20.(本小题满分本小题满分 16 分分) 已知函数 2 ( )m xx，函数( )ln1()Rn xaxa. (1) 若2a ，求曲线( )yn x在点(1, (1)n处的切线方程； (2) 若函数( )( )( )f xm xn x有且只有一个零点，求实数a的取值范围； (3) 若函数( )( )10ee x g xn xx 对1,)x恒成立，求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数， 2.71828e ) 5 数学数学（附加题）（附加题） 21 【选做题
9、】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，若多做， 则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换（本小题满分：矩阵与变换（本小题满分 10 分）分） 已知点(1,2)在矩阵 1 2 x A y 对应的变换作用下得到的点(7,6)，求： （1）矩阵A； （2）矩阵A的特征值及对应的特征向量. B选修选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）分
10、） 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为 2 1, 2 1 2 xt yt （为参数） ，曲线C的极坐标方程为2 2sin() 4 ，求直线l被曲线C所截的弦长. C选修选修 45：不等式选讲（本小题满分：不等式选讲（本小题满分 10 分）分） 已知0,0ab，求证：1ababab. 6 【必做题】【必做题】 第第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，共分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 22.如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高
11、2OP ，点,B D和,C A分别在x轴和 y轴上，且2AB ，点M是棱PC的中点. (1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值； (2) 求二面角APBC的余弦值. 23.是否存在实数, ,a b c，使得等式 2 (1) 1 3 52 4 6(2)(4)() 4 n n n nnanbnc 对于一切正整数 n都成立？若存在，求出, ,a b c的值；若不存在，说明理由. 7 常州常州市市 2019 届高三年级期末考试届高三年级期末考试 数学参考答案数学参考答案 一、填空题填空题：本大题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 1.1 2.i 3.9.5 4.3 5.(0, e 6. 3 5 7.3yx 8. 3 8 9.4 10. 2 e 11. 2 12. 2 3 13.3yx 14. 3 2 二、解答题：解答题：本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内在答题纸的指定区域内 附加题答案附加题答案
