1、 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第1页（共7页） 20202021 学年度第一学期南开区学年度第一学期南开区期期末末考试考试试卷试卷参考答案参考答案 高三年级高三年级 数学数学学科学科 一、一、选择题：选择题： （本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分） 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答答 案案 A B D C B B D C A 二、填空题：二、填空题： （本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） （10）5 2； （11） 2 3 3 ，1（第一个空第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分分） ； （12）2x+y
2、3=0； （13） 8 3 3 ； （14） 3 2 ， 8 5 （第一个空第一个空2分，第二个空分，第二个空3分分） ； （15）4 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （16）解：解： （）由 cosA = 1 3 ，0A，得 sinA = 2 2 3 2 分 所以 S = 1 2 bcsinA = 22，解得 bc = 6 3 分 又 b c =1，解得 b = 3，c = 2 5 分 由余弦定理得 a2 =b2+c2 2bccosA = (b c)2+2bc 2 3 bc = 9， 即 a = 3 7 分 （）由（）及正弦定理 sinsin
3、ac AC = 得 32 sin2 2 3 C =， 解得 sinC = 4 2 9 ， 9 分 因为 cb，所以 cosC = 2 1 sin C= 7 9 10 分 所以 sin2C =2sinCcosC = 56 2 81 ，cos2C = 2cos2C1 =17 81 ， 12 分 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第2页（共7页） O z x y F E A D C B 所以 cos(2C + A)= cos2CcosA sin2CsinA =17 81 1 3 56 2 81 2 2 3 = 23 27 14 分 （17）解解： （）因为 BF平面 ACE，所以 BFAE 因为二面
4、角 D-AB-E 为直二面角，且 CBAB， 所以 CB平面 ABE 所以 CBAE 所以 AE平面 BCE 4 分 （）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴， AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系 O-xyz，如图 因为 AE面 BCE，BE面 BCE，所以 AEBE， 在 RtAEB 中，AB=2，O 为 AB 的中点， 所以 OE=1所以 A(0，1，0)，E(1，0，0)，C(0，1，2)， AE=(1，1，0)，AC=(0，2，2) 7 分 设平面 AEC 的一个法向量为 n=(x，y，z)， 则 = 0 = 0
5、 AE AC ， ， n n 即 =+ =+ ， ， 022 0 xy yx 解得 = = ， ， xz xy 令 x=1，得 n=(1，1，1)是平面 AEC 的一个法向量 又平面 BAC 的一个法向量为 m=(1，0，0)， 13 cos= |3 3 ， m n mn mn 所以二面角 B-AC-E 的正弦值为 3 6 12 分 （）因为 ADz 轴，AD=2，所以AD=(0，0，2)， 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第3页（共7页） 所以点 D 到平面 ACE 的距离 d= 22 =3 3 3 AD| | | n n 15 分 （18）解：解： （）由题意可知， = 3 =1 ac
6、ac + ， ， ，解得 = 2 =1 a c ， ， 所以 b2 = a2 c2 = 3， 所以椭圆标准方程为： 22 =1 43 xy + 5 分 （）由（）可知，A(2，0)，B(0，3)， 设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN的斜率也为 k， 故直线 AM 的方程为 y = k(x 2)，直线 BN的方程为 y = kx 3，6 分 由 22 34=12 =2 xy yk x + ， () ， 得 (3+4k2)x2 16k2x+16k2 12 = 0， 所以 2 2 1612 2= 34 M k x k + ， 所以 2 2 86 = 34 M k x k + ， 2 12 =
7、34 M k y k + ， 所以 2 22 8612 3434 k M kk + ， 8 分 由 22 34=12 =3 xy ykx + ， ， 得：(3+4k2)x2 83kx = 0， 所以 2 8 3 = 34 N k x k+ ， 2 2 4 33 3 = 34 N k y k + ， 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第4页（共7页） 所以 2 22 8 34 33 3 3434 kk N kk + ， 10 分 所以 2 2 2 1 2 2 4 33 3 3 43 34 = 8 32 44 33 2 34 k k k k kkk k + + + () ()， 2 2 22 2
8、2 12 3 3 44 33 34 = 862 43 34 k kk k k kk k + + + + () () ， 12 分 所以 k1k2 2 2 3 43 = 2 44 33 k kk + () () 2 2 3 44 333 = 2 434 kk k + () () ，14 分 又因为 1 = 2 c e a ， 所以 k1k2e21 15 分 （19）解解： （）由已知an为等差数列，记其公差为 d 因为 an+1 = 2an n + 1， 所以 a2 = 2a1 1 + 1，a3 = 2a2 2 + 1， 即 a1 = d，a2 = d + 1， 解得 a1 = d = 1， 所
9、以 an = n 4 分 从而 b1 = 2a1 = 2，b2 = a1 + a2 + a3 = 6， 所以公比 q = 3， 所以 bn = 2 3 n1 6 分 （）Sn = 1 2 n n +()，1211 = 2 11 n Sn nnn + () () 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第5页（共7页） 所以 Tn = 1111111 21 223341nn + + 12 2 1 11 n nn = + 9 分 （）因为 Mn = 21 1 ii n i ab = = a1b1 + a3b2 + a5b3 + + a2n3bn1+ a2n1bn = 2 30 + 6 31 + 10 3
10、2 + + 2(2n 3)3 n2 + 2(2n 1)3 n1 所以 3Mn = 2 31 + 6 32 + 10 33 + + 2(2n 3)3 n1 + 2(2n 1)3n 所以2Mn = 2 30 + 4 31 + 4 32 + 10 33 + + 4 3 n1 2(2n 1)3n = 4 13 13 n () 2 2(2n 1)3n =(4 4n)3n 4， 所以 Mn = (2n 2)3n + 2 15 分 （20）解：解： （）f(x) = lnx + 1， 令 f(x)0，得 x( 1 e ，+)，所以 f(x)在( 1 e ，+)上单调递增； 令 f(x)0，得 x(0， 1
11、e )，所以 f(x)在(0， 1 e )上单调递减， 所以 f(x)的最小值为 f( 1 e )= 1 e 1 4 分 （）h(x)= f(x) g(x) = lnx + ax2(a 2)x + 1，定义域为(0，+)， h(x) = 2 1221211 22 = axaxxax axa xxx + + ()()() () 当 a0 时，h(x)在(0， 1 2 )上单调递增，在( 1 2 ，+)上单调递减6 分 当 2a0 时，令 h(x)0，得 x( 1 a ，+)(0， 1 2 )， 所以 h(x)在( 1 a ，+)，(0， 1 2 )上单调递增； 数学试卷参考答案数学试卷参考答案
12、第6页（共7页） 令 h(x)0，得 x( 1 2 ， 1 a )， 所以 h(x)在( 1 2 ， 1 a )上单调递减 7 分 当 a = 2 时，h(x)0，h(x)在(0，+)上单调递增 8 分 当 a 2 时，令 h(x)0，得 x( 1 2 ，+)(0， 1 a )， 所以 h(x)在( 1 2 ，+)，(0， 1 a )上单调递增； 令 h(x)0，得 x( 1 a ， 1 2 )， 所以 h(x)在( 1 a ， 1 2 )上单调递减 9 分 （）G(x)= g(x)+(a 2)x = ax2， 因为函数 f(x)的图象与 G(x)的图象有两个不同的交点， 所以关于 x 的方程
13、 ax2 = xlnx 1，即 ax = lnx 1 x 有两个不同的根10 分 由题知 ax1= lnx1 1 1 x ，ax2= lnx2 2 1 x ， +得 a(x1+ x2) = ln(x1x2) 12 12 xx x x + ， 得 a(x2 x1) = ln( 2 1 x x ) + 21 12 xx x x 由，得 ln(x1x2) 12 12 2 xx x x +()= 12 21 xx xx + ln( 2 1 x x )， 不妨设 0 x1x2，记 t = 2 1 x x 1 令 F(t)= lnt 21 1 t t + ()（t1） ，则 F(t)= 2 1 1 t t
14、 t + () () 0， 所以 F(t)在(1，+)上单调递增，所以 F(t)F(1)= 0， 则 lnt 21 1 t t + ()，即 ln( 2 1 x x ) 21 12 2 xx xx + ()， 所以 ln(x1x2) 12 12 2 xx x x +()= 12 21 xx xx + ln( 2 1 x x )2 13 分 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第7页（共7页） 因为 ln(x1x2) 12 12 2 xx x x +()ln(x 1x2) 12 12 4 x x x x = 2ln 12 x x 12 4 x x ， 所以 2ln 12 x x 12 4 x x 2，即 ln 12 x x 12 2 x x 1 令(x)= 2 ln x x ，则(x)在(0，+)上单调递增 又 ln2e 2 2e = 1 2 ln2 + 1 2 e 1， 所以 ln 12 x x 12 2 x x 1ln2e 2 2e ， 即( 12 x x)(2e)，所以 x1x22e2 两边同时取对数可得 ln(x1x2)2+ ln2，得证 16 分
