1、第十一章三角形 1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点 是三角形的顶点。 三角形 ABC 用符号表示为ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表 示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形； （3）ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的没有意义 2、（1）三角形按边分类： （2）三角形按角分类： 3
2、、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。 注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短； （2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第1页 DCB A 2 1 DCB A DCB A 4、和三角形有关的线段： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法：1、AD 是ABC 的 BC 上的中线.2、BD=DC=0.5BC. 3、AD 是ABC
3、的中线； 注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部； 三角形三条中线交于三角形内部一点； 中线把三角形分成两个面积相等的三角形 （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。 表示法：1、AD 是ABC 的BAC 的平分线.2、1=2=0.5BAC. 3、AD 平分BAC，交 BC 于 D 注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部； 三角形三条角平分线交于三角形内部一点； （3）三角形的高 三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高, 表示法：1、AD 是ABC 的 BC 上
4、的高。 2、ADBC 于 D。 3、ADB=ADC=90。4、AD 是ABC 的高。 注意：三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。 锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外； 三角形三条高所在直线交于一点 （而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部 ， 直角三角形三条高的交 战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。） 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第2页 2 1 B A C M D 4、三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于 180 推论：直角三角形的两个锐角互余。 5、三角形内角外角的关系： (1
5、)三角形三个内角的和等于 180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如:ACD、BCE 都是ABC 的外角，且ACD=BCE， 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个 顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 7. 三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和 （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角 注意：
6、（1）它不相邻的内角不容忽视； （2）作 CMAB 由于 B、C、D 共线 A=1，B=2. 即ACD=1+2=A+B. 那么ACDA.ACDB。 8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第3页 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）180 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的外角和：多边形的内角和为 360。 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 多边形对角线的条数： （
7、1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n 边形共有 2 3)-n(n 条对角线。 （2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 9、三角形的稳定性： 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性 注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。 第十二章全等三角形 一、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、
8、全等三角形有哪些性质 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”) 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！
9、第4页 4、证明两个三角形全等的基本思路： 二、角的平分线： 1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角” 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两
10、个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合 的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端 点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（
11、可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第5页 （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转
12、变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 第十二章轴对称 一、轴对称图形 1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条 直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。 这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴
13、对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵 坐标相等. 点（x, y）关于 x 轴对称的点的坐标为_. 点（x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为_.
14、 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第6页 四、（等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 五、（等边三角形）知识点回顾 1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600 。 2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 600 的等腰三角形是
15、等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。 （2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 2 b a 等
16、腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B= C= 2 180A 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理 常用于证明同一个三角形中的边相等。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第7页 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质等腰三角形判定 中 线 1、等腰三角形底边上的
17、中线垂直底边，平 分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它 们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角 形； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条 边（平分这个边的对角），那么这个 三角形是等腰三角形 角 平 分 线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它 们的交点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个 角的对边（平分对边），那么这个三 角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么 这个三角形是等腰三角形。 高 线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分 底边； 2、等腰三角形两腰上的
18、高相等，并且它们 的交点和底边两端点距离相等。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条 边（平分这条边的对角），那么这个 三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角 形。 角等边对等角等角对等边 边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第8页 位置关系：可以证明两条直线
19、平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 第第十十四四章章整整式式乘乘除除与与因因式式分分解解 一回顾知识点 1、主要知识回顾： 幂的运算性质： amanam n （m、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 n m a amn
20、（m、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 nn n baab （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积 nm aa am n （a0，m、n 都是正整数，且 mn） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 零指数幂的概念： a01（a0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 负指数幂的概念： a p p a 1 （a0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数 也可表示为： nm （m0，n0，p 为正整数） 单项式的乘法法则： 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第9页 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的
21、因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数 作为积的一个因式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为 商的一个因式 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 2、乘法公式： 平方差公式：（ab）（ab）a2b2 文字语言叙述：两个数的和
22、与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2 文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍 3、因式分解： 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形
23、式，而整式乘法是把积化为和差的形式 二二、熟熟练练掌掌握握因因式式分分解解的的常常用用方方法法 1、提公因式法 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第10页 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约 数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数； （3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取 完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项 （4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系
24、数是 负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： 平方差公式：a2b2 （ab）（ab） 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 3.十字相乘法 第第十十五五章章分分式式 知知识识点点一一：分分式式的的定定义义 一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知知识识点点二二：与与分分式式有有关关的的条条件件 分式有意义：分母不为 0（ 0B ） 分式无意义：分母为 0（ 0B ） 分式值为 0：分子为 0 且分母
25、不为 0（ 0B ） 分式值为正或大于 0：分子分母同号（ 0B 或 0B ） 分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 0B 或 0B ） 分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知知识识点点三三：分分式式的的基基本本性性质质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 字母表示： CB C A B A ， CB C A B A ，其中 A、B、C 是整式，C0。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第11页 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 BB A B
26、B AAA 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。 知知识识点点四四：分分式式的的约约分分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同 因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知知识识点点五五：分分式式的的通通分分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异
27、分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分 式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知知识识点点六六分分式式的的四四则则运运算算与与分分式式的的乘乘方方 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的
28、积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： db ca d c b a 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 cc b dad b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第12页 n bb 分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 c ba c b c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 bd bcad d c b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 分
29、式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质 量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无 错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点六整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂 一样适用。即 nmnm aa a mn n m aa nn n bbaa nmnm aa a （ 0a ） n bb n a 1 n a （ 0a ） 1 0
30、a （ 0a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于 1） 其中 m，n 均为整数。 科学记数法 若一个数 x 是 0x10 的数则可以表示为 n 10a （ 10a1 ，即 a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定 n=比整数部分的数位的个数少 1。如 120 000 000= 8 101.2 知识点七分式方程的解的步骤 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） 7 个 0 9 个数字 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第13页 解整式方程，得到整式方程的解。 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的 解。 产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。 知知识识点点八八列列分分式式方方程程 基本步骤 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组）。 解解出方程（组）。注意检验 答答题。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第14页
