1、总复习 一圆 一、圆的认识(一) 1. 圆的特征:由一条曲线围成的封闭图形,圆上任意一点到圆心 的距离都相等。 2.圆的画法。 (1)手指画圆法。 以拇指为固定点,食指与拇指间的距离不变,将食指绕拇指旋转 一周,食指的运动轨迹就形成了一个圆。 (2)实物画圆法。 把圆形物体放在纸上固定不动,用笔沿实物的边缘描一周,就画成了 一个圆。 (3)系绳画圆法。 用一个图钉、 一根线(没有弹力)和一支笔画圆的方法:用图钉将线的 一端固定在一点上,用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周,就画 成了一个圆。 (4)圆规画圆法。 根据圆心到圆上任意一点的距离(即半径)都相等,可以用圆规来 画圆。步骤如下: 把圆
2、规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径); 把带有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上; 把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一 个圆。 3. 圆的各部分名称。 在食指绕拇指旋 转一周的过程中,拇指 所按的点不变,食指与 拇指间的距离不变。 用图钉、线和笔 画圆时,图钉要固定 好,线要拉直。 用圆规画圆,针尖 所在的位置是圆心,两 脚间的距离是半径。 1.同一个圆里有 无数条半径,长度都相 等。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第1页 (1)圆心。 画圆时,圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。 圆心一般用字母 O 表示。 (2)半径。 用圆规画圆时,圆规两脚之间的距离就是所
3、画圆的半径,即圆心到 圆上任意一点的距离叫半径。 半径一般用字母 r 表示。 在同一个圆里,所有半径的长度都相等。 (3)直径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母 d 表示。在同一个圆里,所有直径的长度都相等。 4. 圆的各部分之间的关系。 圆有无数条直径,无数条半径;同圆(或等圆)中的直径都相等,半 径都相等;直径的长度是半径的 2 倍,可以表示为 d=2r 或 r=d 2。 5. 圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 6. 圆在生活中的应用。 汽车车轮、自行车的车轮、球、齿轮、方向盘、圆规、井盖、 钟表、水杯、环岛 二、圆的认识(二) 1. 圆的对称
4、性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称 轴。圆有无数条对称轴。 2 . 常见的轴对称图形的对称轴的数量。 正方形有 4 条、长方形有 2 条、等边三角形有 3 条、等腰三角 形有 1 条、等腰梯形有 1 条和圆有无数条。 2.直径是圆内最 长的线段。 1.判断直径和半 径时,一定要看其是否 经过圆心。 2.圆的大小与半 径的长短有关,与它所 在的位置无关。 3.在同圆(或等 圆)中,“d=2r”才能成 立。 圆的对称轴是直径 所在的直线,而不是直 径。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第2页 3. 利用圆的对称性确定圆心的方法。 方法一把圆形纸片按下面的方法对折,两条折痕的交
5、点就是 圆心。 方法二把圆形纸片沿不同的方向任意折出两条直径(直径所 在的直线即对称轴),两条直径(折痕)的交点就是圆心。 4.圆与内接或外接正多边形组成的组合图形的对称轴是经过圆 心的正多边形的对称轴。 三、欣赏与设计 综合运用旋转、轴对称和平移的知识设计图案。 四、圆的周长 1.圆的周长的意义。 圆的周长就是圆一周的长度,也可以理解为将圆滚动一圈的长 度。直径的长短决定圆周长的大小。 2.圆周长的测量方法。 方法一用滚动法测量圆的周长。 在圆形硬纸板的边缘上点一点 A,使点 A 对准直尺的 0 刻度,然后 使圆形硬纸板在直尺上向右滚动一周,点 A 所指的新刻度就是这个 圆形硬纸板的周长。
6、方法二用绕线法测量圆的周长。 在圆形硬纸板的边缘上点一点 A,使点 A 对准线的一个点,然后用 线从点 A 开始绕圆形硬纸板一周,做好标记,再拉直并测量绕圆形硬 纸板一周的线的长度,该长度就是圆形硬纸板的周长。 易错点:对称轴是 一条直线,所以直径所 在的直线是圆的对称 轴。 利用圆可以设计 出美丽的图案,并且设 计图案时可以综合运 用平移、旋转和轴对 称的知识。 绕线时,要选择 没有弹性的线,并使线 与圆形硬纸板的边缘 完全重合。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第3页 3.圆周率的意义。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用 字母表示,计算时通常取 3.1
7、4。 4.圆的周长的计算公式。 如果用字母 C 表示圆的周长,那么 C=d 或 C=2r。 5.圆的周长计算公式的应用。 已知圆的半径、直径和周长三种量中的一种量,就可以求出另外 两种量。 (1)已知圆的半径,求圆的周长:C=2r。 (2)已知圆的直径,求圆的周长:C=d。 (3)已知圆的周长,求圆的半径:r=C2。 (4)已知圆的周长,求圆的直径:d=C。 五、圆的面积 1.圆的面积的含义。 圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面 积。 2.圆面积的计算方法: 方法一用数格子的方法估算出圆的面积。 在圆内画方格数一数,得到圆的面积。 此方法无法得到圆的面积的精确值。 方法二转化
8、法:将圆转化成平行四边形。 (1)将一个圆形纸片分别分成 8 等份、16 等份后剪切、拼接。 所有圆的圆周率 都相等,约等于 3.14。 易错点:圆的周 长的一半与半圆的周 长不同,半圆的周长包 括圆周长的一半和一 条直径的长度。 半圆 的周长用公式表示为 C=r+d=r+2r。 错例:=3.14 分析:在计算时, 圆 周 率通 常 取 3.14,3.14是一个近似 值。 是一个无限不循 环小数,它的近似值是 3.14,但它并不等于 3.14。 正解:3.14 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第4页 等分圆时,要沿着半径剪开;拼接时,也要使半径重合。 发现:把圆分成 8 等份、16
9、 等份后,可以拼成近似的平行四边形。 (2)将一个圆形纸片分成 32 等份后剪切、拼接。 发现:把圆平均分成的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就 越接近平行四边形。 3.拼成的平行四边形和圆之间的比较。 观察圆和剪拼后的图形,可以发现:(1)在剪拼的过程中,图形面积 的大小没有发生变化,只是形状改变了,即圆的面积等于拼成的平行 四边形的面积。 (2)拼成的平行四边形的高相当于圆的半径,它的底相 当于圆的周长的一半。 4.公式推导。 圆的面积=平行四边形的面积 =底高 =C 2r =rr 把圆平均分成的 份数越多,每一份就会 越小,拼成的图形就越 接近平行四边形。 1.拼接后的图 形总有两条
10、边是曲线, 所以只能叫“近似平行 四边形”。 2.圆的面积公 式的推导过程中运用 了转化的思想。 r与 2r 的区别: r表示的是 rr,读作 r 的平方;2r 表示的是 r+r。半径越长,圆的面 积。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第5页 =r 圆的面积计算公式:(1)文字公式为圆的面积=圆周率半径的平 方;(2)如果用 S 表示圆的面积,r 表示圆的半径,那么圆的面积计算公 式是 S=r。 5. 把圆转化成三角形,推导圆的面积计算公式。 (1)把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿一条半径剪开,得到许 多长短不同的草绳,然后把草绳按由短到长的顺序排列,拼成一个三 角形。 (2)三
11、角形的面积相当于圆的面积,三角形的底相当于圆的周长, 高相当于圆的半径。三角形的面积=底高 2 ,所以圆的面积公式为 S=2rr 2 =r。 6.圆的面积计算公式。 如果用 S 表示圆的面积,r 表示圆的半径,那么圆的面积计算公式 是 S=r。 7.圆的面积计算公式的应用。 求圆的面积必须知道圆的半径。当已知圆的直径或周长,求面积 时,必须先求出圆的半径。 (1)已知圆的半径,求圆的面积:S=r。 (2)已知圆的直径,求圆的面积:r=d 2,S=r= d 2 2。 (3)已知圆的周长,求圆的面积:r=C2,S=r=(C2) 。 8. 圆环的面积计算公式。 内圆面积:S 内=r 错例:一个圆的半
12、 径是 1.5 cm,它的面 积是多少? 错解: 3.141.52=3.143= 9.42(cm)。 正解: 3.141.52=3.142.2 5=7.065(cm)。 先算内圆的面积, 后算外圆的面积,最后 用外圆面积减去内圆 面积。 半圆的面积: S=r2 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第6页 外圆面积:S 外=R 圆环面积:S 环=R-r=(R-r) 半圆的面积=圆的面积2 组合图形的面积: 几种基本图形的面积相加; 几种基本图形的面积相减。 二分数混合运算 一、分数混合运算(一) 1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相 同,没有括号的,按从左到右的顺序计算;
13、有括号的,要先算括号里 面的,再算括号外面的。 2.“连续求一个数的几分之几是多少” 的解题方法:依据分数 乘法的意义,用这个数连续乘几分之几。 3.分数连乘的运算顺序:没有括号的,按从左到右的顺序计算; 有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。 4.根据“除以一个数,等于乘这个数的倒数”,可以把分数乘除混 合运算或分数连除直接改写成分数连乘进行计算。 二、分数混合运算(二) 1.整数的运算律在分数运算中同样适用。在分数混合运算中 运用运算律,可以使计算简便。 2.“已知一个数比另一个数多(或少)几分之几,求这个数”的解 题方法: 先找准题中不同的 单位“1”,再根据已知或未 知的量确定计
14、算方法。 在分数混合运算中 运用运算律,可以使计算 简便。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第7页 (1)先根据分数乘法的意义,求出多(或少)的几分之几是多少, 再用加(或减)法求这个数; (2)先求出另一个数占单位“1”的几分之几,再根据分数乘法的 意义,用乘法计算。 3.“已知总量及一部分量占总量的几分之几,求另一部分量”的 解题方法: (1)总量-总量已知部分量占总量的分率=另一部分量; (2)总量(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量。 三、分数混合运算(三) 1.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的 解题方法: (1)先求比这个数多(或少)的数占这
15、个数(即单位“1”)的几分之 几,再根据分数乘法的意义列方程解答; (2)先求出比这个数(即单位“1”)多(或少)的几分之几是多少, 再根据加减关系列方程解答。 2.“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量,求总量”的 解题方法(用方程解): 把总量看作单位“1”,可以根据“总量(1-已知部分量占总量的 分率)=另一部分量”列方程解答;也可以根据“总量-总量已知部分 量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。 乘加、乘减混合运 算中包含两级运算,计算 时要先进行第二级运算, 再进行第一级运算。 求单位“1”是多少,用 方程法解答比较简便。 画图理解数量关系 时,要先画表示单位“1”的 量。 关
16、注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第8页 三观 察 物 体 一、搭积木比赛 1.辨认并画出从不同方向(上面、正面、左面)观察到的立体图形 (不超过 5 个小正方体组合)的形状。 要想正确画出从不同方向(上面、 正面、 左面)观察到的立体图形 (5 个小正方体组合)的形状,应选好观察的方向,并确定观察到的立体 图形画成平面图形后的正确位置。 2.根据给定的从两个方向观察到的平面图形,确定搭成这个立体 图形所需要的小正方体的数量范围。 (1)根据给定的从两个方向观察到的平面图形,确定搭成这个立 体图形所需要的小正方体的数量范围时,可以采取根据给出的平面 图形还原立体图形的方法,将可能搭成的
17、立体图形的各种情况一一 列举出来,然后数出需要的小正方体的数量。 (2)根据从两个方向看到的形状搭立体图形的方法是不唯一的。 3.根据给定的从一个方向观察到的平面图形和小正方体的数量 还原立体图形。 根据给定的从一个方向观察到的平面图形和小正方体的数量可 以还原成不同的立体图形,要把可能搭成的立体图形的各种情况一 一列举出来。 检验方法:根据平面图形摆立体图形时,摆完后要进行观察,验证 所看到的形状与已知平面图形是否相符。 要综合从不同方 向看到的所有平面图 形,才能确定原来的立 体图形是什么形状。 错例: 选择:观察下面的 立体图形,下面的说法 中正确的是( C )。 A.从正面和右面 观察
18、到的形状相同 B.从上面和左面 观察到的形状相同 C.从左面和右面 观察到的形状相同 分析:左、右的位 置具有相对性,一般情 况下,从左面和右面观 察到的 形状有所 不 同。题中的立体图形 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第9页 4.三视图:三视图是观察者从三个不同方向观察同一个立体图形 而画出的平面图形。一个物体有六个视图:从物体的前面向后面看, 所得到的视图称为主视图,也叫正视图,能反映物体前面的形状;从物 体的上面向下面看,所得到的视图称为俯视图,能反映物体上面的形 状;从物体的左面向右面看,所得到的视图称为左视图,也叫侧视图,能 反映物体左面的形状;其他三种视图不常用。 三
19、视图就是主视图(从正 面看)、俯视图(从上面看)、左视图(从左面看)的总称,能够基本完整 地表达物体的外部结构。 二、观察的范围 1.观察点的位置越低,观察到的范围越窄(小);观察点的位置越 高,观察到的范围越广(大)。 2.观察物体的时候,观察点距离被观察物体越近,观察到的物体 越大,观察景物的范围越小;观察点距离被观察物体越远,观察到的物 体越小,观察景物的范围越大。 三、天安门广场 1.判断拍摄地点与照片的对应关系的方法:可以假设自己在拍摄 地点,根据照片中景物的特点,联系生活经验判断;也可以借助实物模 拟,创设模拟情境,亲身观察,得出结论。 2.判断连续拍摄的一组照片的先后顺序的方法:
20、可以假设自己随 着拍摄者的行走路线游览,想象自己会依次看到哪些景物;也可以联 系生活实际,借助实物模拟,创设模拟情境,亲身观察,得出结论。 从不同位置观察到的 形状如下: 因此,从正面和右 面观察 到的形状 相 同。 正解: A 温馨提示:解答这 类题时,要先画出从不 同位置观察到的形状, 再从中选择相同的。 观察物体时,观察点 的位置距离观察物体 的远近、高低发生变 化时,所观察到的画面 及范围也会发生相应 的变化。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第10页 四百分数 一、百分数的认识 1.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫 作百分数。百分数也叫百分比、百分率。
21、2.百分数的读写:写数时,去掉分数线和分母,在分子后面写 “%”;读百分数时,先读百分号,再读百分号前面的数。 3.百分数和分数的区别与联系: 联系:都可以表示两个数量的倍比关系。 区别:意义不同,百分数只表示两个数量的倍比关系,不可以 表示具体数量,后面不能带单位名称;分数既可以表示具体的数量, 又可以表示两个数量的倍比关系,表示具体数量时可以带单位名 称。 百分数的分子可以是整数,也可以是小数,而分数的分子不 能是小数,只能是除 0 以外的自然数;百分数不可以约分,而分数一 般能通过约分化成最简分数。 任何一个百分数都可以写成分母是 100 的分数,而分母是 100 的分数不一定具有百分数
22、所表示的意义。 应用范围不同,百分数在生产和生活中,常用于调查、 统计、 分析和比较,而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。 在计算过程中,要注意部分与整体之间的关系。 二、合格率 1.合格率:合格的产品数量占产品总数的百分之几。 在写百分号时,两个 圆圈要写的小些,以免和 数字 0 混淆。 百分数表示的是两 个数的倍比关系,不表示 一个具体的值。 易错点: 判断:2 5 m 可以写成 40% m。() 分析:虽然分数可以 化为百分数,但当分数表 示具体数量时,不能化为 百分数,因为百分数不能 表示具体的数量,后面不 能加单位名称。 正解: 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！
23、第11页 2.小数化成百分数:可以先把小数化成分母是 100 的分数,再 改写成百分数;也可以先把小数的小数点向右移动两位,再在后面 添上“%”。 3.分数化成百分数:可以先把分数化成小数(除不尽时,通常保 留三位小数),再改写成百分数;也可以先把分数化成分母是100的 分数,再改写成百分数。 4.一些常见的百分率的意义和计算方法。 发芽率:发芽的种子数量占种子总数的百分之几。 发芽率=发芽种子数 种子总数 出米率:米的质量占稻谷质量的百分之几。 出米率= 米的质量 稻谷的质量 出勤率:出勤人数占应出勤人数的百分之几。 出勤率= 出勤人数 应出勤人数 及格率:及格人数占考试人数的百分之几。 及
24、格率=及格人数 考试人数 5.百分率的应用。 (1)求一个数是另一个数的百分之几的应用题的解题方法与 求一个数是另一个数的几分之几的应用题的解题方法相同,只是 要将计算结果化成百分数。 (2)求百分率问题的实质就是求一个数是另一个数的百分之 几,结果要化成百分数。 百分率一般指部分 占整体的百分之几,用部 分除以整体,最后的结果 要化成百分数,除不尽的 百分号前面一般保留一 位小数。 出勤率、成活率、合 格率、发芽率、及格率等 最高是 100%;完成率、 增 长率、 利润率等可以超过 100%。 计算合格率的方法 与求一个数是另一个数 的几分之几的方法相同, 只是结果用百分数表示。 百分数化成
25、小数,去 掉百分号后,千万不要忘 记把小数点向左移动两 位。 一位小数表示十分 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第12页 三、营养含量 1.百分数化成小数:把百分号去掉,同时把小数点向左移动两 位(位数不够时,用“0”补足)。 2.百分数化成分数:把百分数改写成分母是 100 的分数,能约 分的要约成最简分数。 3.“求一个数的百分之几是多少”的问题的解题方法:与“求一 个数的几分之几是多少”的问题的解题方法相同,都用乘法计算,即 用这个数乘百分之几。 4.在计算时,要根据具体情况,先把百分数转化成分数或小数, 再计算。 四、这月我当家 1.百分数的应用题与分数应用题的解题思路相同
26、,都要找准 单位“1”,单位“1”已知,求部分量,可以直接用乘法计算。 2.“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的解题方法:可以 根据等量关系式“单位1百分之几=已知量”列方程解答。 3.“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”也可以用除法计 算。 之几,两位小数表示百分 之几,三位小数表示千分 之几 当小数点向右移动 两位时,所得的数就扩大 到原来的 100 倍,再添上 百分号,又使它缩小到现 在的 1 100,所以数的大小是 不变的。 整数可以看作小数 部 分 为 0 的 小 数 。 如 2=2.0=2.00。 一个数的小数点,向 左移动两位,位数不够时 用“0”补足。 整数也可以看作
27、分 母是“1”的分数。如 5=5 1。 五数 据 处 理 一、扇形统计图 1.扇形统计图。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第13页 扇形统计图是以一个圆作为总体,表示各部分量占单位“1” 的量。 根据各部分量所占的百分比,用大小不同的扇形在这个圆中 表示部分量,所以称为扇形统计图。扇形所占的百分比越大,扇形 的面积就越大;扇形所占的百分比越小,扇形的面积就越小。 2. 扇形统计图的特点:能清楚地看出部分与整体之间的关 系,也就是部分占整体的百分比的大小。 3. 从扇形统计图中获取信息的方法:先与整体比较,看各部 分占整体的百分比是多少,再看各部分之间谁占的百分比大,在此 基础上仔
28、细分析,得出结论。 二、统计图的选择 选择统计图的方法:条形统计图便于看出数据的多少;折线统 计图便于看出数据的变化趋势,也能看出数据的多少;扇形统计图 能清楚地看出部分与整体及部分与部分之间的关系。 扇形统计图不能直接表示数量的多少。 条形统计图的特点与作用: 特点:1. 用一个单位长度表示一定的数量; 2. 用直条的长短表示数据的多少。 作用:能清楚地看出各数据的多少,便于相互比较。 折线统计图的特点与作用: 特点:1. 用一个单位长度表示一定的数量; 2. 用折线的起伏表示数据的增减变化情况。 作用:能清楚地看出数据的增减变化情况和数据的多少。 扇形统计图的特点与作用: 扇形统计图中,各
29、个 扇形占整个圆的百分比 之和应等于 100%,大于 100%或小于 100%都是 错误的。 为了区分扇形统计 图中的各种量,代表不同 量的扇形应涂有不同的 颜色。 在选择统计图时,要 根据题中数据的特点来 选择合适的统计图。 错 例 : 将 小 红 20062013 年身高的变 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第14页 特点:用整个圆的面积表示总体,用圆内的扇形面积表示各部 分量占总体的百分比。 作用:能清楚地看出各部分占总体的百分比及部分与部分之 间的关系。 三、身高的情况 分段整理、分析数据的方法:可以先把数据排列,并根据需要 把数据按一定的标准分段整理,再用统计图描述数据,
30、最后对数据 作出全面的分析,并解决问题。 四、身高的变化 1. 绘制复式折线统计图的方法和步骤:绘制复式折线统计图 的方法和步骤与绘制单式折线统计图的方法相同,只是在同一统 计图中用两种或两种以上的线表示不同的量,并要标明图例。 2.观察统计图的方法:通过运用横向观察、纵向观察、对比观 察等多种方法,从中获取更多信息,提出并解决问题及作出合理的 预测。 3.比较两组数据的方法: (1)比较两组数据中的最大值或最小值; (2)比较两组数据的平均值; (3)把两组数据分段比较。 1. 要按一定的标准对数据进行合理分段。 整理时注意不要遗 漏数据。 2.要分段整理数据,对整理后的数据进行分析。观察统
31、计图 时,不仅要看每个数据的大小,还要把数据进行比较。 在依据统计图解决问题时,要能够选择合适的统计量,进行比 较和分析不同数据的区别,并且能够预测它们的变化趋势。 化情况制成统计图,应绘 (A)统计图。 A. 条 形B. 折 线 C.扇形 分 析 : 将 小 红 20062013 年身高的变 化情况制成统计图,除了 想在统计图中看到小红 这几年来每一年的身高, 还想知道这几年来小红 身高的变化情况。 既能清 楚地看出数据的多少,又 能看出数据的变化情况 的是折线统计图,而条形 统计图只能清楚地看出 数据的多少。 正解:B 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第15页 六比 的 认 识
32、 一、生活中的比 1.生活中两个量之间存在倍比关系。 2. 比的意义:两个数相除,又叫作这两个数的比。 3.比的各部分名称:“”是比号,读作“比”。比号前面的数是比 的前项,比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项,所得的 商叫作比值。 4. 求比值的方法:用比的前项除以后项得到一个数,这个数 就是比值。比值可以是分数,也可以是小数或整数。 5. 比与除法、分数的关系: (1)比的前项相当于被除数、分子,比的后项相当于除数、分 母,比值相当于商、分数值,比号相当于除号、分数线。因为除数和 分母不能为 0,所以比的后项也不能为 0。 (2)用字母表示比与除法、分数三者之间的关系,可以表示为
33、ab=ab=a b(b0)。 6. 连比。三个或三个以上的数的关系也可以用比来表示。 例如:一个长方体的长、宽、高的比是 234(读作 2 比 3 比 4), 这样的比称为连比。 7. 比在生活中的应用。 (1)两个同类量进行比较时,它们的比值表示这两个数量之间 的倍比关系。 1.比表示两个数之 间的倍比关系。 2.比与除法、分数 之间可以相互转换,但 三者的意义不同。 3. 比是有序的,如 果颠倒比的顺序,就会 得到另一个比,表示的 意义也不同。 4. 比与除法、 分数 的区别:比表示一种关 系,除法是一种运算,分 数是一个数。 易混点:教材中所 讲的“比”与体育比赛中 的“比”意义不同。体
34、育 比赛中的“比”是记录比 赛双方得分的一种形 式,它可以记作 20,表 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第16页 (2)两个相关联的非同类量进行比较时,它们的比值表示一个 新的量,要加单位名称。 二、比的化简 1.最简整数比。 比的前项和比的后项都是整数,并且比的前项和后项的最大 公因数是 1。 2. 把一个比化成最简整数比的过程,叫作化简比。 3. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数,比值的大小 不变。 4. 比的前项和后项不能同时乘或除以 0 的原因。 (1)因为除数不能为 0,所以比的前项和后项不能同时除以 0。 (2)因为比的前项和后项同时乘
35、0 后,比的后项变为 0,而 0 不能 作比的后项,所以比的前项和后项也不能同时乘 0。 5.化简比的方法。 (1)整数比的化简方法: 方法一,先把比改写成分数的形式,再把这个分数进行约分,最 后改写成最简整数比; 方法二,把比改写成除法算式,根据商不变的规律,把被除数和 除数同时除以它们的最大公因数,求出商后再化成最简整数比; 方法三,把比的前项、后项同时除以它们的最大公因数,直接化 成最简整数比。 示一个队得2分,另一个 队得 0 分,而教材中的 “比”表示倍比关系。 易错点:因为除数 和分母不能为 0,所以比 的后项也不能为 0。 1.在化简比的过程 中必须保证比值不变, 且最后结果仍然
36、是两个 数的比。 2. 比的基本性质 与分数的基本性质、商 不变的规律是一样的。 3. 利用比的基本 性质解答有关比的实际 问题时,要注意的是比 的前项和后项同时乘或 除以同一个不为0的数, 而不是同时加上或减去 相同的数。 错例: 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第17页 (2)分数比的化简方法: 方法一:根据比与除法的关系,将比改写成除法算式,并求出结 果,商用最简分数表示,然后将最简分数转化成最简整数比的形式; 方法二:把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数,然 后按照整数比的化简方法化成最简整数比。 (3)小数比的化简方法: 方法一:根据比与除法的关系,将比改写成除法算
37、式,根据商不 变的规律,将被除数与除数同时扩大到原来的相同的倍数(0 除外), 从而化成整数比,然后按照整数比的化简方法化成最简整数比; 方法二:根据比的基本性质,先把比的前项和后项的小数点向 右移动相同的位数,将小数比化成整数比,然后按照整数比的化简方 法化成最简整数比。 6.化简比和求比值的区别。 (1)在计算依据上,化简比依据除法中商不变的规律、分数中分 数的基本性质及比的基本性质;求比值依据比值的意义。 (2)在计算方法上,化简比时可以改写成分数约分化简,也可以 改写成除法求商化简,还可以把比的前项和后项同时乘或除以同一 个不为 0 的数;求比值则是用比的前项除以比的后项。 (3)在结
38、果的表现形式上,化简比的最终结果是一个最简整数 比;求比值的最终结果是一个数,可以是分数、小数或整数。 三、比的应用 1. 按一定的比进行分配的意义。 选择:把 10 g 盐放入 90 g 水中,盐和盐水的 质量比是(A)。 A.19B.910 C.110D.101 分析:此题错在盐水 的质量应是盐和水的质 量和。 答案 A 中的 19 是盐和水的质量比,答 案 B 中的 910 是水和 盐水的质量比,答案 D 中的 101 是盐水和盐 的质量比。盐和盐水的 质量比应该是 10(10+90)=110。盐 水是由盐与水组成的, 判断时要正确理解“盐 水”等溶液的组成成分。 求比时,一般都要化成
39、最简整数比。 正解:C 1. 根据两个数的 比,可以求出其中一个 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第18页 在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比进 行分配,这种分配方法通常叫作按一定的比进行分配。 2.按一定的比进行分配问题的解法。 (1)按一定的比进行分配的问题,应先求出总量一共被平均分 成了几份,再找出各部分量占总量的份数,采用平均分的方法求出每 份具体的数量,最后用分数乘法求出各部分相应的具体数量; (2)先求出总量一共被平均分成了几份,再用相应的分数来表 示各部分量,最后用分数乘法来解答; (3)列方程解答,先设每份的量为 x,再用每份的量乘分成的份 数
40、,表示各部分量,最后根据“部分量+部分量=总量”列方程解答。 3.按一定的比进行分配解决问题方法的应用。 (1)已知总量及两个部分量间的比的关系,求部分量。 (2)已知一个部分量及两个部分量间的比的关系,求总量。 (3)已知一个部分量及两个部分量间的比的关系,求另一个部 分量。 数占这两个数总和的几 分之几。 2. 解决按比分配 的问题时,一定要注意 已知量所对应的份数是 多少,已知量已知量对 应的份数=一份量。 3. 解决按比分配 的问题时,不但要找准 分配的比,还要找准被 分配的量。需要注意的 是被分配的量一定是各 部分量的和。 4. 解决按比分配 的问题时,一定要找准 单位“1”的份数,
41、以便准 确确定分数的分母。 5. 在实际生活中, 要使分配方法更合理, 按比分配,这样才能使 结果公平合理。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第19页 数 学 好 玩 一、反弹高度 活动任务 篮球、乒乓球从高处落地后都会反弹。通过实验让两种球从 同一高度自由落下,测试哪种球会反弹高一些以及各自的反弹高 度是多少。 1.实验方案的内容。 (1)设计实验步骤。 (2)明确小组分工。 (3)收集并记录数据。 2.实验步骤。 (1)选一块靠墙的平地,在墙上量出三个高度并做上标记。 (2)选择篮球分别从这三个高度自由落下,在墙上标出球的反 弹高度,记录量得的数据,并求出每次反弹的高度是起始高
42、度的几 分之几。 (3)选择乒乓球分别从这三个高度自由落下,在墙上标出球的 反弹高度,记录量得的数据,并求出每次反弹的高度是起始高度的 几分之几。 3.分工。 以小组为单位进行实验。 在小组内部成员中,有落球人员、 测 量人员、观察人员和记录人员,大家分工明确,各司其职。 1.球从指定高度落 下时,要将球的上沿(或下 沿)与高度标记齐平。 2.要细心观察球的 反弹高度,并根据反弹的 最高点(或最低点)及时做 上标记,测量反弹高度时, 可以保留整厘米数。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第20页 4.收集并记录数据。 用米尺分别测量篮球、乒乓球每次下落前和反弹后的高度, 并列表记录。
43、 5.结论:不同的球从同一高度自由落下,其反弹高度一般不同; 同一种球从不同高度落下,其反弹高度也不相同。 6.在活动中,用到的知识和方法。统计的知识、分数的知识、 测量的方法等。 7.(1)足球落下的高度和反弹高度的关系。 可通过实验获得 数据。 (2)影响反弹高度的因素? 风的阻力、 场地的材质、 反弹的方 向、起始高度、空气的阻力、施加的力度、测试地点的情况等。 二、 看图找关系 问题 1:汽车行驶速度。 1.观察上图,横轴表示时间,横轴上的 1,2,3分别表示 1 分,2 分,3 分纵轴表示速度,纵轴上的 100,200,300分别表 示 100 米/分,200 米/分,300 米/分
44、表示点A的意思时,要根据 点A的位置联系横轴、纵轴的含义说。点A表示时间为 0.5 分, 汽车的速度为 200 米/分。汽车从横轴“0”的位置(解放路站)到“4” 的位置(商场站)之间共行驶了 4 分。 3.要及时记录实验 中的数据。 4.为 了保证数据的准确 性,可以多做几次实验。 用语言表述事件发 生的过程时,要特别注意 特殊时段发生的事件。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第21页 2.汽车速度的变化。汽车从解放路站到商场站共行驶了 4 分,速度在变化。 要根据折线走向的变化情况分段进行描述。 在第 1 分内,折线呈上升趋势,说明汽车的速度在上升。 1 分所对应的速 度为 4
45、00 米/分,说明汽车在第 1 分内的速度从 0 米/分增加到 400 米/分。在 1 分到 3 分之间是一条水平线段,说明汽车在匀速行驶, 速度保持不变,为 400 米/分。 在 3 分到 4 分之间,折线呈下降趋势, 说明汽车的速度在下降。从 3 分所对应的 400 米/分下降到 4 分 所对应的 0 米/分,汽车停止。 3.汽车从 1 分到 3 分行驶路程的大致变化情况。 在 1 分到 3 分之间是一条水平线段,汽车以 400 米/分的速度在匀速行驶,由 “路程=速度时间”可知,随着时间的推移,路程也在逐渐增加。 问题 2:足球场内的声音。 1.上图是对某足球比赛场内声音起伏情况的描述,
46、横轴表示 时间,纵轴表示音量,随着时间的变化,音量也在变化,音量的变化 与时间存在关联。 2.从观众开始进场到全部退场,一共经过了 2 时 45 分,即 165 分。 3.比赛开始前半时,足球场内的音量的变化:比赛开始前半 在数学上,可以用 图形来描述事件或行为。 随着时间的变化,事 件有时也会发生相应的 变化;有时随着周围环境 的变化,某事件也会相应 地变化。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第22页 时,足球场内的声音逐渐变大,从开始没有声音到逐渐变成声音 大。 4.上半场足球场内声音变得非常大的时间段,可能发生的事 情:上半场 20 分(即 19:50)时,足球场内的声音变得
47、非常大,可能是 主场球队进了球,球迷们在欢呼。 5.下半场足球场内音量的变化情况以及比赛的情形。如下 半场前半时比较安静直至 21:00,可能由于主场球队又进了球,球 迷们再次欢呼起来,声音再次变得非常大;声音慢慢地变小,直到 比赛结束,足球场内的音量迅速变得非常大,估计是主场球队的球 迷在欢呼。 6.比赛结束到观众全部退场的音量变化。 比赛结束时,足球场 内的声音迅速变得非常大,估计是主场球队的球迷在欢呼,到观众 全部退场,声音逐渐减小,直至恢复了无声的状态。 三、比赛场次(乒乓球比赛) 问题 1:一共要比赛多少场? 六(1)班 10 名同学进行乒乓球比赛,每两名同学之间要进行 一场比赛。
48、1.方案一:列表格找规律。 (1)列表格找规律,横格和竖格分别表示参赛的同学,横格上的 每名同学和竖格上的每名同学分别进行比赛,用“ ”表示比赛场数, 因为自己不能和自己比赛,也不能重复比赛,所以可以把表格的一 半去掉。 关于联络方式的问 题,可以采用画图的方法 来解决。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第23页 (2)比赛场数是从 1 开始的几个连续自然数的和,最后一个加 数为人数减 1。 2.方案二:画图找规律。 (1)把人数看作图形的顶点(端点),任意两点间能画多少条线 就代表有多少场比赛。 (2)画图找规律,用点表示同学,用两点之间的连线表示两名 同学之间的比赛,通过数连线
49、条数的方法来寻找比赛场数的规律。 两名同学时,只有 1 条线;3 名同学时,增加了 2 条线,1+2=3(条);4 名同学时,又增加了 3 条线,1+2+3=6(条);5 名同学时,再增加 4 条 线,1+2+3+4=10(条);从而发现规律,5名同学时,比赛场数为1到4 四个数的和;6 名同学时,比赛场数为 1 到 5 五个数的和,依此类 推,10 名同学时,比赛场数为 1 到 9 九个数的和,共 45 场比赛。 3.运用列表法和画图法从简单的情形开始对比赛场数进行 探究时,发现:如果2人参加比赛,只能进行1场比赛;如果3人参加 比赛,比赛场数为 1+2=3(场);如果 4 人参加比赛,比赛场数为 1+2+3=6(场)如果,n人参加比赛,比赛场数为 1+2+3+ +(n-1)=n(n-1)2。 问题 2:联络方式(需要多长时间通知完)。 1.画图找规律,用点表示联络的人数,通过数点的方法来寻 找联络方式的规律。 (1)规律 1:1 分能通知到两名同学;2 分能通知到 2+4=6(名)同 学 ;3 分 能 通 知 到 2+4+8=14( 名 ) 同 学 ;4 分 能 通 知 到 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第24页 2+4+8+16=30(名)同学;5 分能通知到 2+4+8+16+32=62 (名)同 学每增加 1
