1、一小手艺展示分数乘法 一、分数乘法的意义 1.分数乘整数的意义:求几个相同(分数)加数和的简 便运算。 2.一个数乘分数的意义:表示这个数的几分之几是多 少。 例如:6 5 12,表示 6 的 5 12的和。 2 7 7 8,表示 2 7的 7 8是多少。 二、分数乘法的计算法则 1.分数乘整数的计算方法:分子与整数相乘,分母不 变。 例如: 6 5 12= 65 12 =5 2 2.分数乘分数的计算方法:用分子相乘的积作分子,分 母相乘的积作分母。 例如: 2 7 7 8= 27 78= 1 4 (1)分数化简的方法:分子、分母同时除以它们的最大 公因数。 (2)在乘的过程中约分,是把分子、
2、分母中,两个可以同 时约分的数先画去,再分别在它们的上、 下方写出约分后的 数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后 的结果才是最简分数) 三、分数乘法的特点 比较积和因数的大小: (1)一个数(0 除外)乘比 1 大的数,积就大于这个数。 (2)一个数(0 除外)乘比 1 小的数,积就小于这个数。 (3)一个数(0 除外)乘 1,积就等于这个数。 四、倒数 1.倒数的意义。 乘积是 1 的两个数互为倒数。倒数表示两个数之间的 关系,这两个数是相互依存的,不能单独存在。 2.求一个数倒数的方法。 (1)求一个数的倒数(0 除外),就是把这个数的分子、分 母交换位置。 (2)求小数的
3、倒数的方法:把小数化为分数后再交换位 置。 3.1 的倒数是 1,0 没有倒数。 4.真分数的倒数一定大于 1,假分数的倒数小于或等 于 1,一个非 0 自然数的倒数一定小于 1。 例如:2 33,表示:3 个 2 3 相加 的和。 注意:得到的结果要化到最 简。 分数乘整数时,可以把分数 看作分母是 1 的假分数,进行约 分计算。 分子、 分母是互质数的分数 叫作最简分数。 如2 3、 3 4都叫作最简分数。 0与任何数相乘的积都等于 0。 如果几个不为 0 的数与不 同分数相乘的积相等,那么与大 分数相乘的因数反而小,与小分 数相乘的因数反而大。 强调:互为倒数,即倒数是两 个数的关系,它
4、们互相依存,倒数 不能单独存在。 找单位“1”的量:在含有分数 (分率)的语句中,感悟哪个是整 体,把谁给平均分了,分率前面对 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第1页 五、解决实际中的分数乘法问题 1.分数应用题一般解题步骤。 (1)找出含有分率的关键句。 (2)找出单位“1”的量。 (3)根据线段图写出等量关系式:单位“1”的量对应分 率=对应量。 (4)根据已知条件和问题列式解答。 2.乘法应用题有关概念。 (1)乘法应用题的解题思路:已知一个数,求这个数的几 分之几是多少? (2)找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意 “的”前“比”后的规则。当句子中的单位“1”不
5、明显时,把原来 的量看作单位“1”。 3.分数的连乘。 解决分数连乘时,先找出具体的数量,一般是单位“1”,再 看比较量与单位“1”的关系,确定另一个单位“1”;最后根据第 三种量与单位“1”的关系计算。 注:可以通过画图的方法找到整体量,也就是单位“1”。 画图时,先找出单位“1”,再把单位“1”平均分成分母份数, 最后把分子的份数表示出来。 如公牛有 30 头,母牛的头数相当于公牛的 7 10,小牛的头 数相当于母牛的16 21,小牛有多少头? 要求小牛的头数,就要知道母牛的量;母牛的头数又和 公牛的头数有关,先画一条线段,表示公牛的头数,再画一条 线段,表示母牛的头数,根据小牛和母牛的关
6、系,画出表示小 牛的头数。 可得:小牛的头数=公牛头数 7 10 16 21。 应的量就是单位“1”对应的量,找 关键词“占”“是”“比”字后面的量是 单位“1”。 线段图是分析问题的最佳 方法,先确定第一个单位“1”,根据 第一个单位“1”确定第二个单位 “1”,再表示出未知量。线段图可 以直观表示出数量关系。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第2页 二摸球游戏可能性 一、有些事情的发生是确定的,有些是不确定的 可能性 可能?不确定? 不可能 一定 ?一定? 二、事件发生的机会(或概率)有大小 可能性 大数量多 小数量少 三、客观事件中,“不可能”出现的现象用数据表示为 “可能性
7、是 0”;客观事件中,“一定能”出现的现象用数据表示 为“可能性是 1”;当可能性是相等的时候,用数据表述是“2” 四、典例 思路分析: (1)任意摸出一个球,有 2 种结果,摸到白球的可能性 小。 (2)任意摸出 2 个球,有 3 种结果:2 蓝,2 白,1 蓝 1 白。 答案: (1)有 2 种结果;摸到白球的可能性小。 (2)任意摸出 2 个球,有 3 种结果。 画图表示如下: 有些事件发生的结果可以 预测,有些不可以预测。 事件发生的可能性是有大 有小的,可能性的大小与事件的 基础条件及发展过程等许多因 素有关。 本题考查的是可能性大小 的判断,解决这类题目要注意具 体情况具体分析。用
8、到的知识点 为可能性等于所求情况数与总 情况数之比。 解决生活现象的推理、判断 的过程,先要掌握出现逻辑推理 问题的解决方法,如排除法、 假设 法、图解法等,并加以应用。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第3页 三布艺兴趣小组分数除法 一、分数除法 1.分数除法的意义与整数除法的意义相同:已知两个 因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 2.一个数除以不为 0 的数等于乘这个数的倒数。 3.比较商与被除数的大小。 除数小于 1,商大于被除数; 除数等于 1,商等于被除数; 除数大于 1,商小于被除数。 4.分数四则混合运算的运算顺序。 (1)先算乘除,再算加减,有括号的先算括
9、号里面的,同 级运算从左到右; (2)分数连除运算可转化成连乘运算,能约分的先约分, 再计算; (3)在进行分数运算时,运用运算律可以使计算简便。 5.运用分数除法解决问题。 知识点一:“已知一个数的几分之几是多少,求这个数” 的问题的解法。 方程解法:找出单位“1”,设未知量为x;找出题中的数量 关系式;列出方程。 算术法:(1)找出单位“1”; (2)找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几; (3)列除法算式,即已知量已知量占单位“1”的几分之 几=单位“1”的量。 知识点二:“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多 少,求这个数”的问题。 解题方法: (1)用方程解:把一个数设为未知量
10、x,根据题目中的数 量关系列出方程。 (2)算术法解:把一个数看作单位“1”,先计算出已知量占 单位“1”的几分之几, 已知量已知量占单位“1”的几分之几 =单位“1”的量 。 知识点一、二总结: (1)找单位“1”的关键词。 (2)已知单位“1”用乘法,未知单位“1”用除法。 知识点三:“已知一个数是另一个数的几分之几与这两 个数的和,求这两个数”的问题的解法。 解题方法: (1)用方程解:找到题中数量间的等量关系,设单位“1”的 量为x,列出方程。 (2)用算术法解:找到题中的单位“1”,计算出两个数的和 占单位“1”的几分之几,两个数的和两个数的和占单位“1” 分数除法算式中出现小数 时
11、要先化成分数、假分数,再计 算。 在进行分数运算时,可运用 运算律使计算简便。 解决分数除法问题的关键 是找准单位“1”,求单位“1”时用具 体的数除以它所占的分率,得出 的就是比较量。 基本的数量关系: 比较量标准量=分率。 用方程解决问题时,未知量 用x代替,参与列式。 基本的数量关系: 分率对应的比较量分率= 标准量。 用方程解与用算术法解的 不同点:用方程解未知量参与列 式;用算术法解未知量不参与列 式。 基本的数量关系: 两个数的和(1+一个数是 另一个数的几分之几)=另一个 数 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第4页 的几分之几=单位“1”的量。 知识点四:工程问题。
12、解决工程合修天数问题的方法: 一设:设这项工程为具体的数量或者单位“1”; 二列:根据“工作总量两队工作效率之和=工作时间” 列式; 三算:计算并验算写答。 二、典例讲解 例 1学校组织爬山活动,小明上山平均每小时走 2.4 千米。原路返回,下山平均每小时走 3.6 千米。小明上山、 下山的平均速度是多少? 思路分析:把路程看作单位“1”,那么小明上山走了 12.4= 5 12(时),下山走了 13.5= 2 7(时)。 根据平均速度的公 式:(上山路程+下山路程)(上山时间+下山时间)=平均速 度。 答案: (1+1)( 5 12+ 2 7)= 168 59 (千米) 答:小明上山、下山的平
13、均速度是168 59 千米。 例 2一批货物,第一次运走总数的1 5,第二次运走总数 的1 4,还剩下 143 吨。这批货物有多少吨? 思路分析: 量、率的对应关系: 货物的总质量“1”,第一次运走 的质量 1 5;第二次运走的质量 1 4;两次共运走的质量 1 5 + 1 4;还剩下 143 吨 1-1 5- 1 4。 答案: 143(1-1 5- 1 4) =14311 20 =260(吨) 答:这批货物有 260 吨。 解决工程问题,把工作总量 看作单位“1”,然后按照份数计算。 把上山和下山的总路程看 作单位“1”,来回的路程就是 1+1=2,除以时间和就是平均速 度。 量、 率对应关
14、系的训练是解 较复杂分数应用题的重要环节。 根据应用题的已知条件发挥联 想,找出各种量、率间接的对应 关系,为正确解题铺平道路。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第5页 四人体的奥秘比 一、比值的意义 1.比式中,比号()前面的数叫作前项,比号后面的项 叫作后项,比号相当于除号。 2.比的前项除以后项的商叫作比值,比值通常用分 数、小数和整数表示。 3.求几个数的连比的方法。 如已知甲数与乙数的比是 56,乙数与丙数的比是 87,求甲、乙、丙三个数的连比。 解题时,可先把两个比排列成下面竖式的形式,再在两 个空位上填入左边或右边相邻的数(为了与比的项相区别, 用括号括起来),最后将
15、每一竖行的两个数相乘,就得出了 甲、乙、丙这三个数的连比。如果这个连比中各项都含有 除 1 以外的公因数,就用各项上的数除以公因数,直到它们 的最大公因数是 1 为止,从而将这一连比化简。 甲乙丙 56 87 (58)48(76) 404842 化简:202421 4.比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分 数的形式,读作几比几。 1220 读作:12 比 20 比和比值的区别:比值是一个数,通常用分数表示,也可 以是整数、小数。 5.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同 的数(0 除外),比值不变。 6.化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。 (1)化简整数比:找前项和
16、后项的最大公因数,前项、后 项同时除以最大公因数,化成最简整数比。 (2)化简分数比:找前项和后项分母的最小公倍数,前 项、后项同时乘最小公倍数,再化简整数比。 (3)化简小数比:把小数转化成整数,再化简整数比。 (4)整数和整数的比:前、后项除以它们的最大公因数; (5)整数和分数的比:前、后项乘分母,再化简; (6)整数和小数的比:先把前、后项化成整数,再化简; (7)小数和分数的比:把小数化成分数,再按分数与分数 的比化简,或者把分数化成小数,再按小数和小数的比来化 简。 求比值:写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当 于商,不是比。 7.比和除法、分数的区别: 两个数相除又叫作两
17、个数 的比。 比的后项不能为 0。 连比时,先求出相同量的两 个数的最小公倍数,再根据比的 基本性质计算出另外两种量的 数,最后把几种量的比化简成最 简整数比。 比是一个式子,表示两个数 的关系,可以写成比,也可以写成 分数的形式。 运用比的基本性质可以化 简比。 根据比的前项和后项的特 点可以用不同的方法化简比。 有些比的单位不同,化简时 先统一单位。如 3 米50 厘米 =300 厘米50 厘米=61。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第6页 除法被除数 除号 () 除数不 能为 0 商不变的性 质 除法是一种 运算 分数分子 分数线 () 分母(不 能为 0) 分数的基本 性
18、质 分数是一个 数 比前项 比号 () 后项(不 能为 0) 比的基本性 质 比表示两个 数的关系 用语言描述:比的前项相当于除法的被除数,相当于分 数的分子;比号相当于除号,相当于分数线;比的后项相当于 除法的除数,相当于分数的分母;比值相当于除法的商,相当 于分数的值。 二、按比分配 1.意义。 在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照 一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫作按比分 配。 2.解决按比分配应用题的方法: (1) 转化法: 分率? ? ? 转化比转化倍数 一般是把几个数的比转化成几个数分别占总数的几 分之几,再根据分数乘法的意义,求出这几个数。 (2) 把比化为分数
19、,用分数来解答: 找出已知数量部分的份数; 求另外部分占已知数量的 几分之几;用分数乘法求出另一部分是多少。 (3) 用比的知识来解答: 求出部分之间的份数差; 求出每个部分占份数差的几 分之几;用分数乘法求出每个部分是多少。 3.典例讲解。 (1)甲、乙、丙三人合租一辆车运送同样的货物从 A 地 到 B 地,甲在全程的1 3处卸货,乙在行程刚好一半的地方卸 货,只有丙运到终点,共付运费 440 元,他们该怎样分摊运费 比较合理? 思路分析: 此题要分配的总量是 440 元,根据甲在全程的1 3处卸货, 乙在行程刚好一半的地方卸货,只有丙运到终点,可得出 甲、乙、丙三人合租这辆车需按照卸货地点
20、的远近分摊运 费,运费的比是1 3 1 21,即 236,先求出总份数,再分别 求出甲、乙、 丙分摊的运费占总运费的几分之几,进而分别 求得甲、乙、丙分摊的运费。 答案: 商不变性质:被除数和除数 同时乘或除以相同的数(0 除外), 商不变。 分数的基本性质:分子和分 母同时乘或除以相同的数(0 除 外),分数的大小不变。 方法:首先求出各部分占总 量的几分之几,然后求出总数的 几分之几是多少。 按比分配的方法解决实际 问题的一般步骤: 第一种类型的按比分配应 用题的解题步骤可以总结为(1) 求平均分得的总份数; (2)求每 个部分占总数量的几分之几;(3) 用分数乘法求出每部分是多少。 按比
21、分配应用题: 题型 1:已知各种量,求比。 题型 2:已知比和其中一个 量,求其他量。 题型 3:已知比和总量,求每 一份的量。 这是按比分配的基本 题型,也是小学阶段能解决的比 的基本问题。 看成份数时,要注意份数与 分量之间要对应准确。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第7页 甲、乙、丙分摊运费的比:1 3 1 21=236 总份数:2+3+6=11(份) 甲分摊的运费:440 2 11=80(元) 乙分摊的运费:440 3 11=120(元) 丙分摊的运费:440 6 11=240(元) 答:他们应该按照卸货地点的远近分摊运费比较合理, 甲分摊的运费是 80 元,乙分摊的运费
22、是 120 元,丙分摊的运 费是 240 元。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第8页 五完美的图形圆 一、圆的定义 感知圆的特征:以前学过长方形、 正方形、 平行四边形、 梯形、三角形等,都是由线段围成的平面图形,而圆是由曲 线围成的一种平面图形。 二、圆的各部分名称 1.圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心, 通常用字母O表示。 2.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫作半径。 一 般用字母r表示。 把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是 圆的半径。 3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。 一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 三、圆的主要特征 1.
23、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所 有的半径都相等,所有的直径都相等。 2.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的 2 倍,半径的 长度是直径的1 2。用字母表示为 d=2r或r=? 2。 3.如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够 完全重合,这个图形是轴对称图形。 圆是轴对称图形且有无 数条对称轴。 4.画圆的方法: (1)用手指画圆。以大拇指为圆心,以食指与大拇指之 间的距离为半径,旋转一周所形成的图形就是圆。 (2)用线绳、图钉和笔画圆。用图钉固定线绳的一端作 圆心,将笔系在线绳的另一端,拉直绳子作半径,旋转线绳一 周所形成的图形就是圆。 (3)用圆规画圆。将圆规的一个针脚
24、固定在本上作圆 心,用圆规两脚间的距离作半径,旋转圆规一周所形成的图 形就是圆。 (4)用物体的圆形面画圆。按住物体的圆形面,用笔在 物体的圆形面的圆周上画一圈,所形成的图形就是一个圆。 四、圆的周长的认识 1.围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 2.周长与圆的直径有关,圆的直径越长,圆的周长就越 大。 五、 圆周率的意义及圆的周长公式 1.圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺 0 刻度 线对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。 2.发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个 固定数。 3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一 个固定的数,我们把它叫作圆周率。用字母(pi)表示。 4
25、.一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些,这个比值 圆与其他平面图形不同的, 圆是曲线图形,其他图形是线段 图形。 直径和半径的关系只能在 同圆和等圆中。 用字母表示:d=2r 不能说直径是圆的对称轴。 因为对称轴是一条直线。 圆心决定圆的位置,半径决 定圆的大小。 半径越大,画出的圆越大。 我们通常选用圆规画圆,既 便捷又准确。 可以用绳测法或滚动法找 出圆的直径和周长的关系。 世界上第一个把圆周率算 出来的人是我国的数学家祖冲 之。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第9页 是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环小数。在计 算时,一般取 3.14。 5.圆的周长公式:C=dd =
26、 C 或C=2r r = C 2。 6.区分周长的一半和半圆的周长: (1)周长的一半:等于圆的周长2。计算方法:2r 2,即 r。 (2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。 计算 方法:r+2r,即 5.14r。 7.正方形里最大的圆与正方形的关系。 两者联系:正方形的边长=圆的直径,圆的面积=78.5% 正方形的面积。 8.画法: (1)在正方形里画最大的圆。 画出正方形的两条对角线;以对角线的交点为圆 心,以边长为直径画圆。 (2)长方形里最大的圆。 两者联系:宽=直径 画法: 画出长方形的两条对角线;以对角线的交点为圆 心,以宽为直径画圆。 五、常用的 3.14 的倍数 3.142
27、=6.283.143=9.42 3.144=12.56 3.145=15.73.146=18.84 3.147=21.98 3.148=25.123.149=28.26 3.1412=37.68 3.1414=43.963.1416=50.24 3.1418=56.52 3.1424=75.363.1425=78.5 3.1436=113.04 3.1449=153.863.1464=200.96 3.1481=254.34 六、圆的面积公式 把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的大小 并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面 积。 圆的面积推导: 圆可以切拼成近似的长方形,长
28、方形的面积与圆的面 积相等(即S长方形=S圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长 在判断时,圆周长与它直径 的比值是倍,而不是 3.14 倍。 一个图形的周长就是围成 这个图形一周的长,具体情况要 具体分析。 在长方形或正方形内画最 大圆,关键是以对角线的交点为 圆心,以到正方形的边长或长方 形宽的距离为半径。 记忆常用3.14的倍数,可以 使平时的计算快捷、正确。 圆的面积与以它的半径为 边长的正方形的面积的关系:以 正方形的边长为半径画的圆,正 方形的面积实际就是这个圆半 径的平方,因此得出“圆的面积是 它半径平方的 3 倍多一些”圆的 面积大约等于半径半径3。 注意:切拼后的长方形的
29、周 长比圆的周长多了两条半径。C 长方形=2r+2r =C圆+d。 周长相等的平面图形中,圆 的面积最大;面积相等的平面图 形中,圆的周长最短。 要求圆的面积只要知道圆 的半径或者知道圆的半径的平 方。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第10页 方形的长是圆周长的一半(即a=C2=r)。 S长方形=a b S圆=rr =r 2 所以,S圆=r 2。 七、圆环的意义及面积的计算 1.圆环的意义:以同一点为圆心,半径不相等的两个圆 组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。 2.圆环中半径较大的圆叫作外圆,半径较小的圆叫作 内圆。 外圆半径与内圆半径的差叫作环宽,两圆中间的部分 的大小叫作圆
30、环的面积。 3.外圆的半径=内圆半径+1 个环宽;外圆的直径=内圆 直径+2 个环宽。 4.求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面 积,还可以利用乘法分配律进行简便计算。S圆环=S外圆-S内 圆=R 2-r2= (R 2-r2)。 5.几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长 (如图)。 几个直径和为n的圆的面积直径为n的圆的面积。 八、扇形的认识 1.扇形是由“一条弧”和“经过这条弧两端的两条半径” 所围成的图形。 扇形是所在圆上的一部分,AOB是圆心角;扇形是由 两条半径和圆上一段曲线围成的。 2.扇形与三角形的区别。 扇形是由两条半径和一条弧围成的图形;三角形是由 三条线段围成的
31、图形。尽管有的图形的两条边也是圆的半 径,但是第三条边不是弧,而是线段,这样的图形不能称为扇 形,它是三角形。弧是圆的一部分,是曲线,而线段是直线的 一部分。 圆环的意义: 两个同心圆形成一个圆环。 设小圆和大圆(或内圆和外 圆)的半径和直径分别为r和R。 (Rr) 同样大小的外圆,内圆越小, 圆环的面积越大。 半圆环的面积=它所在的圆 环面积的一半。 单独一个圆,半径(直径)越 大,周长就越大,面积也越大;如 果两个圆的半径相等,那么它们 的周长就相等,面积也相等。 在同一个圆中,扇形的大小 与这个扇形的圆心角的大小有 关,圆心角大的扇形大,圆心角小 的扇形小。 在同圆或等圆中,圆心角越 大
32、,扇形越大;反之,圆心角越小, 扇形就越小。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第11页 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第12页 六中国的世界遗产分数四则混合运算 分数四则混合运算 1.运算顺序: (1) 同级运算,从左到右。 小技巧:可以随便调换位置,但要连同数字前面的运算 符号一起调换。 对于二级运算,遇“”先变“”,除数变倒数,“一线到底” 约分到最简分数。 所谓“一线到底”,在加减法中,先通分再计 算;在乘除法中,遇“除” 变“乘”,一次性约分,约到不能再约分 为主。 (2)异级运算,先乘除,后加减。 (3)有括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的, 最后算
33、中括号外面的。 2.简便运算。 在分数四则混合运算中,可以同时运用整数运算律,使 计算简便。 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法分配律:a(b+c)=ac+bc 3.审题技巧。 分数乘法的意义在文字题中是个“陷阱”,如比 5 吨多4 5 是多少吨? 这道题中的“比 5 吨多4 5”不是“差比”,而是“倍比”,一不小 心就会列成 5+4 5,正确的列式为 5+5 4 5。 4.用方程解文字题是一种顺向思维的列式,在解决问 题过程中可以把未知数用x代替,找出等量关系,然后把x 作为已知量参与运算,
34、最终得到等式求出未知量。 典例讲解 修一条路,第一天修了全长的1 3,第二天修了全长的 1 4,第 二天比第一天多修了 300 米,这条路长多少米? 思路分析: 根据“第一天比第二天多修了 300 米”可以列出等量关 系式,即“第一天修的长度-第二天修的长度=300 米”把全长 看作单位“1”,列出方程计算。 答案: 在第一级运算中,某两分数 直接相加或相减得整数的情况 除外。 除了学过的运算,还可以用 下面的方法简算。 减法的性质: a-b-c=a-(b+c) 或a-(b+c)=a-b-c 除法的性质: abc=a(bc)或 a(bc)= abc 正确区分分数和分率,才能 解答正确。 首先判
35、断单位“1”的量:知道 单位“1”的量(用乘法),不知道单 位“1”的量(用除法),为确定解题 方法奠定基础;然后会把“比”字句 转化成“是”字句;最后能将省略式 的分率句换说成比较详细的句 子的能力。 未知数的设法: 在分数应用题中,我们设单 位“1”为x; 在有比的问题中,设 1 份数为x;在有和的问题中,设其 中任意一个为x都可以,比如说 两个班共有50人,设其中一个班 有x人。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第13页 解:设这条路长x米。 1 3x- 1 4x=300 1 12x=300 x=300 1 12 x=3600 答:这条路长 3600 米。 5.分数应用题主要
36、讨论的是以下三者之间的关系: (1)分率:表示一个数是另一个数的几分之几,这几分之 几通常称为分率。 (2)标准量:解答分数应用题时,通常把题目中作为单位 “1”的那个数,称为标准量。(也叫单位“1”的数量) (3)比较量:解答分数应用题时,通常把题目中同标准量 比较的那个数,称为比较量。(也叫分率对应的数量) 6.分数应用题的分类。 (1)求一个数的几分之几是多少。(解这类应用题用乘 法) 这类问题特点是已知一个看作单位“1”的数,求它的几 分之几是多少,它反映的是整体与部分之间关系的应用题。 (2)已知一个数的几分之几是多少,求这个数。(解这类 应用题用除法) 这类问题特点是已知一个数的几
37、分之几是多少的数 量,求单位“1”的量。 (3)求一个数是另一个数的几分之几。(解这类应用题 用除法) 这类问题特点是已知两个数量,比较它们之间的倍数 关系。 7.稍复杂的分数问题: (1)已知甲数,乙数比甲数的几分之几多(或少)多少,求 乙数。 (2)已知总数,甲是总数的几分之几,乙是总数的几分之 几,求甲、乙的和或者差。(两种关系式,两种思路) (3)已知总数,其中甲是总数的几分之几,求剩下的。(两 种关系式,两种思路) (4)已知甲数和乙数比甲数多(或少)几分之几,求乙数。 (两种关系式,两种思路) (5)已知一个数的几分之几是多少,求这个数,既可以用 除法计算,也可以列方程解答。 解决
38、分数应用题时: 先要弄清两个概念:带单位 的分数和不带单位的分数。 带 单位的分数,如3 4吨,叫数量,表示 一个物体的具体的数量。 不带单 位的分数,如3 4,叫分率,它表示一 个数的几分之几。 应用题解题思路: 第一步:确定单位“1”。 找 单位“1”的方法:找到题中不带单 位的分数的那句话,“谁”的几分之 几,那个“谁”就是单位“1”。 第二步: 确定乘除法 。(1)题中直接或间 接告诉单位“1”的或可直接算出 单位“1”的,用乘法;(2)题中单位“1” 是未知的,用除法。 第三步:列式。 第四步:检查 。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第14页 七体检中的百分数百分数(一
39、) 一、百分数的认识 1.百分数的意义。 (1)表示一个数是另一个数的百分之几。 (2)百分数是指两个数的比,因此也叫百分率或百分 比。 (3)百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”,百分 数后面不能带单位名称。 2.百分数和分数的主要联系与区别。 (1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。 (2)区别。 意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表 示具体的数量,所以不能带单位;分数既可以表示具体的 数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。 百分数的分子可以是整数,也可以是小数,如 2.5%; 而分数的分子不能是小数,只能是除 0 以外的自然数。 百分数的读法和分数的读法大
40、体相同,也是先读分 母,后读分子,但要注意读百分数的分母时,不能读成一百 分之几,而只能读作“百分之几”。 3.百分数的写法。 通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表 示。如 5%,20%。 4.百分数、分数、小数的互化。 (1)小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后 面添上百分号。 如 0.23、5、0.026 三个数字化成百分数是 23%、 500%、2.6%。 (2)百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉 百分号。 如 20%,56%,3.7%三个数字化成小数是 0.2、0.56、 0.037。 (3)百分数化成分数:先把百分数化成分数,再把百分数 改写成分母
41、是 100 的分数,能约分要约成最简分数。 如 25%、40%,化成分数是 25%= 25 100= 1 4、40%= 40 100= 2 5。 (4)分数化成百分数。 用分数的基本性质,把分数的分母扩大或缩小成 分母是 100 的分数,再写成百分数形式。 如2 5化成百分数形式: 2 5= 220 520= 40 100=40%。 先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数), 再把小数化成百分数。 百分数表示两个数的关系, 不表示一个具体的数,所以不能 有单位。 百分号前面的数相当于分 数的分子,百分号后面的数相当 于分数的分母。 百分数的分子部分可以是 小数、整数,可以大于 100,小
42、于 100 或等于 100。 在进行分数、小数和百分数 互化的过程中,不能改变原来数 的大小。 比较百分数、分数和小数的 大小时,要先将这些数转化成相 同的数,再进行比较。 最后结果要 写成原数进行比较。 当分数的分子除以分母不 能得到有限小数时,化成百分数 就是一个近似数。 如发芽率、 出勤率、 合格率、 成活率、中奖率、命中率、出生 率、死亡 率、优秀率、及格率、 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第15页 如3 4化成百分数形式: 3 4=34=0.75=75%。 二、常用百分率的计算 合格率= 合格产品数 产品总数 100%;成活率= 成活的棵数 总棵数 100%; 烘干率=
43、 烘干后的质量 烘干前的质量100%;发芽率= 发芽种子数 种子总数 100%; 达标率= 达标学生人数 学生总人数 100%; 含水率= 烘干前的质量烘干后的质量 烘干前的质量 100%。 三、解决百分数问题的方法 1.求一个数是另一个数的百分之几。 计算方法:把另一个数看作单位“1”,用一个数除以单位 “1”。 即一个数另一个数;最后的结果化成百分数。 2.“求数 A 比数 B 多(或少)百分之几?”的实际问题。 已知条件:数 A、数 B; 求:两数差的百分数; 解题方法:(大数-小数)单位“1”。 3.“数 A 比数 B 多(或少)百分之几,求数 A 是多少?”的实 际问题。 已知条件:
44、数 B、 两数和(差)的百分数。 求:数 A(非单位“1”) 解题方法:数 B(1+百分数)两数和的方法 数 B(1-百分数)两数差的方法 4.“数 A 比数 B 多(或少)百分之几,求数 B 是多少?”的实 际问题。 已知条件:数 A、两数和(差)的百分数 求:数 B(单位“1”) 解题方法: 数 A(1+百分数)两数和的方法 数 A(1-百分数)两数差的方法 出油率、出错率、入学率、含盐 率、含糖率、增长率、近视率、 收视率等最大不会超过 100%。 增 长率可以大于 100%。 实际生活中,人们常用增加 了百分之几、减少了百分之几、 节约了百分之几等来表示增加 或减少的幅度。 口诀:“一减一 除”。(两数的差单位“1”=百分 之几) 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第16页
