1、高一年级数学期中试题 第 1 页,总 12 页 华中师大一附中华中师大一附中 2020202020212021 学年度上学期期中检测学年度上学期期中检测 高一年级数学试题高一年级数学试题 试卷总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、单选题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求. 1已知 A3,0,1 ,B4,3,1,则 AB 的真子集的个数为 ( ) A3 B7 C15 D31 2钱大姐常说“便宜没好货” ,她这句话中, “不便宜”是“好货”的 ( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知函数
2、 ( )f x的定义域为( 1,1) ,函数 ( )(21)g xfx ,则函数 ( )g x的定义域为 ( ) A( 1,1) B(0, 1) C( 3,1) D( ( 3), (1)ff 4若正实数 a,b 满足1ab,则 12 ab 的最小值为 ( ) A4 2 B6 C2 2 D3 2 2 5函数 2 ( )= 4f xxx的单调递减区间是 ( ) A(,2 B2,) C0,2 D2,4 6若关于x 的不等式 2 |1|2|1()xxaaa R的解集为空集, 则实数a 的取值范围是( ) A10a B01a C12a D1a 7 已知函数 ( )f x是定义在R 上的偶函数, 且在(0
3、,)上单调递减,( 2)0f , 则不等式 ( )0 xf x 高一年级数学期中试题 第 2 页,总 12 页 的解集为 ( ) A( , 2)(0,2) B(, 2)(2,) C( 2,0)(0,2) D( 2,0)(2,) 8已知函数 2 ( )2 +1,0,2f xxxx ,函数( )1, 1,1g xaxx ,对于任意 1 0,2x ,总存 在 2 1,1x ,使得 21 ()()g xf x成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A(, 3 B3,) C(, 33,) D(, 3)(3,) 二、多选题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有若干
4、个选 项符合题目要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分. 9已知 a,b,c 为互不相等的正数,且 22 2acbc,则下列关系中可能成立的是 ( ) Aabc Bcba Cbac Dacb 10下列各结论中正确的是 ( ) A “0ab ”是“ 0 a b ”的充要条件 B函数 2 2 1 2 2 yx x 的最小值为 2 C命题“1x , 2 0 xx”的否定是“ 0 1x, 2 00 0 xx” D若函数 2 1yxax有负值,则实数 a 的取值范围是2a 或2a 11定义域为 R 的函数 ( )f x满足()( )( )f xyf xf y ,且当0 x
5、 时, ( )0f x 以下结论正 确的是 ( ) A ( )f x为奇函数 B( )f x为偶函数 C ( )f x为增函数 D( )f x为减函数 12设定义域为 R 的函数 1 , 1 |1|( ) 1, 1 x xf x x ,若关于 x 的方程 2 ( )( )0f xaf xb有且仅 高一年级数学期中试题 第 3 页,总 12 页 有三个不同的实数解 x1,x2,x3,且 x1 x2 0), 若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功(乙工程队的整体报价比甲 工程队的整体报价更低) ,试求实数 a 的取值范围 22 (本题满分 12 分)若函数 ( )yf x 自变量的取
6、值区间为a, b时,函数值的取值区间恰为 2 2 , b a ,就称区间a, b为 ( )yf x 的一个“和谐区间” 已知函数 ( )g x是定义在R上的奇函数, 高一年级数学期中试题 第 6 页,总 12 页 当 (0,)x时,( )3g xx (1)求 ( )g x的解析式; (2)求函数 ( )g x在(0,)内的“和谐区间” ; (3)若以函数 ( )g x在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数( )yh x 的图像,是否存 在实数 m,使集合 2 ( , )|( )( , )|x yyh xx yyxm恰含有 2 个元素若存在,求出 实数 m 的取值集合;若不存在,说明理由 高
7、一年级数学试题参考答案 一、单选题 1C 2B 3B 4D 5D 6A 7A 8C 二、多选题 9BC 10AD 11 AC 12ABD 三、填空题 13-1,0,2 14 3 ,0 4 15二 16 1 2 a 或1a 四、解答题 17解: |1| 2 | 13Ax xxx , 2 分 26 |1 |24 4 x Bxxx x 4 分 (1) | 12ABxx 7 分 (2) |34BAxx 10 分 高一年级数学期中试题 第 7 页,总 12 页 18解: |2310Axxxa , 2 |20Bxxaxa . 2 2 17 20 24 aaa , 2 2aa. 2 |2Bx axa. 2
8、分 p 是 q 的充分条件,AB. 3 分 当1a 时,312a ,A ,不符合题意; 5 分 当1a 时,312a , |231Axxa ,要使AB, 则 2 1 2 312 a a aa 12a. 8 分 当1a 时,312a , |312Axax ,要使AB, 则 2 1 31 22 a aa a 1 1 2 a. 11 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 1 ,1)(1,2 2 . 12 分 19 (1)解法一:因为函数( )f x是定义在-1,1上的奇函数, 高一年级数学期中试题 第 8 页,总 12 页 则 00 11 f f ,得 0 1 2 n mn ,解得 2 0 m n
9、, 2 分 经检验2m ,0n 时, 2 2 1 x f x x 是定义在 1,1 上的奇函数. 3 分 法二: ( )f x是定义在 1,1 上的奇函数,则 fxf x , 即 22 11 mxnmxn xx ,则0n , 所以 2 1 mx f x x ,又因为 1 1f,得2m ,所以2m ,0n . 3 分 设 12 , 1,1x x 且 12 xx ,则 22 1212212112 12 222222 121212 222 (1)2(1)2()(1) 11(1)(1)(1)(1) xxx xx xxxx x f xf x xxxxxx 12 11xx 22 211 212 0,10,
10、(1)(1)0 xxx xxx 12 0f xf x 12 f xf x f x 在 1,1 上是增函数6 分 (2)由(1)知 2 2 1 x f x x , f x在 1,1 上是增函数, 又因为 f x是定义在1,1 上的奇函数, 由 2 110f af a ,得 2 11f afa , 7 分 2 2 111 111 11 a a aa , 10 分 高一年级数学期中试题 第 9 页,总 12 页 即 2 02 02 21 a a a ,解得01a 故实数a的取值范围是0,1) 12 分 20 (1)解法一:对任意的1,2x,恒有 2 2f xx,即 22 (1)2xaxx, 整理得
11、2 3(1)0 xax对任意的1,2x恒成立, 2 分 构造函数 2 3(1)g xxax,其中1,2x,则 max0g x,即 10 20 g g , 4 分 即 3(1)0 122(1)0 a a ,解得5a ,因此,实数 a 的取值范围是 5,. 6 分 解法二:对任意的1,2x,恒有 2 2f xx,即 22 (1)2xaxx, 整理得 2 3(1)0 xax对任意的1,2x恒成立, 2 分 max 1(3 )6ax 5 分 因此,实数 a 的取值范围是 5,. 6 分 (2) 2 2 2 1 1 (1) 24 a a f xxaxx 高一年级数学期中试题 第 10 页,总 12 页
12、2a 1 0 2 a 7 分 当 1 2 2 a ,即23a时,函数 yf x在 1 0, 2 a 上单调递增, 在 1,2 2 a 上单调递减,此时 2 1 1 24 a a g af ; 9 分 当 1 2 2 a ,即3a 时, yf x在0, 2上单调递增, 此时 222g afa 11 分 综上所述, 2 (1) ,23 ( ) 4 22,3 a a g a aa 12 分 21 (1)设甲工程队的总造价为 y 元, 则 7216 3006400144001800()14400(36)yxxx xx , 2 分 1616 1800()14400180021440028800 xx x
13、x , 4 分 当且仅当 16 x x ,即 x = 4 时等号成立 5 分 故当左右两侧墙的长度为 4 米时,甲工程队的报价最低,最低报价为 28800 元 6 分 (2)由题意可得 161800 (1) 1800()14400 ax x xx 对任意的3,6x恒成立 高一年级数学期中试题 第 11 页,总 12 页 故 2 (4)(1)xax xx ,从而 2 (4) 1 x a x 恒成立, 8 分 令1xt , 22 (4)(3)9 6 1 xt t xtt ,4,7t 又 9 6yt t 在4,7t为增函数,故 min 49 4 y. 11 分 所以 a 的取值范围为 49 (0,)
14、 4 12 分 22 (1)因为( )g x为R上的奇函数,(0)0g 又当 (0,)x 时,( ) 3g xx 所以,当 (,0)x 时, ( )()(3)3g xgxxx ; 3,0 ( )0,0 3,0 xx g xx xx 3 分 (2)设0ab, ( )g x在(0,)上递单调递减, 2 ( )3 2 ( )3 g bb b g aa a ,即, a b是方程 2 3x x 的两个不等正根 0ab 1 2 a b ( )g x在(0,)内的“和谐区间”为1,2 6 分 (3)设a, b为 ( )g x的一个“和谐区间”,则 22 ab ba ,a,b 同号 当0ab时,同理可求 (
15、)g x在(,0) 内的“和谐区间”为 2, 1 高一年级数学期中试题 第 12 页,总 12 页 1,23, ( ) 2, 13, h xx xx x 8 分 依题意,抛物线 2 yxm与函数( ) h x的图象有两个交点时,一个交点在第一象限, 一个交点在第三象限 因此,m 应当使方程 2 3xmx 在1,2内恰有一个实数根,并且使方程 2 3xmx ,在 2, 1 内恰有一个实数. 由方程 2 3xmx ,即 2 30 xxm在1,2内恰有一根, 令 2 ( )3F xxxm,则 (1)10 (2)30 Fm Fm ,解得31m ; 由方程 2 3xmx ,即 2 30 xxm在 2, 1 内恰有一根, 令 2 ( )3G xxxm,则 ( 1)30 ( 2)50 Gm Gm ,解得53m . 综上可知,实数 m 的取值集合为 3 12 分 (用图象法解答也相应给分)