1、 5 5 2 南师附中 2020-2021 学年度第一学期期中 高一数学 一、单项选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知全集U 1, 0,1, 2 ， A 1,1 ，则集合 U A （ ） A. 0, 2B. 1, 0C. 0,1D. 1, 2 2. “ x 1”是“ x2 5x 4 0 ”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“ x R, x2 x 1 0 ”的否定是（ ） A. x R, x2 x 1 0 C. x R, x2 x 1 0 B. x R,
2、x2 x 1 0 D. x R, x2 x 1 0 4. 已知 x2 x2 3 ，则 x x1 的值为（ ） A. B. 1 C. 2x x2 , 0 x 3 D. 1 5. 函数 f x 1 x , x 0 的值域为（ ） A. 3,1B. ,0C. ,1D. ,1 6. 下列四组函数中， f x 与 g x （或 g t ）表示同一个函数的是（ ） A. f x C. f x g x x x2 x 2 g x x 2 x 1 B. f x D. f x x g t g t t 2 7. 已知实数a 0,b 0 ，且 1 1 1 ，则a 2b 的最小值为（ ） A. 3 2 x3 a b 1
3、 B. 2 1 C. 4 D. 3 + 3 5 2 2 8. 函数 f x x2 1 的图像大致为（ ） A B C D. 3 x3 x2 t2 2 二、多项选择题：（本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 2 2 2 2 0, x为无理数 求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 设集合 A x x2 2x 0，则下列表述不正确的是（ ） A. 0 A B. 2 A C. 2 A D. 0 A 10. 下列四个条件中，能成为 x y 的充分不必要条件的是（ ） A. xt2 yt2 B. xt yt C. x
4、y D. 0 1 1 x y 11. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 若函数 f x 在,0和0, 上都单调递增，则 f x 在R 上单调递增； B. 狄利克雷函数 f x 1, x为有理数 在任意一个区间都不单调； C. 若函数 f x 是奇函数，则一定有 f 0 0 ； D. 若函数 f x 是偶函数，则可能有 f 0 0 ； 12. 已知a 1， b 1 ，且ab a b 1 ，那么下列结论正确的有（ ） A. a b 有最大值2 2 B. a b 有最小值2 2 C. ab 有最大值 1 D. ab 有最小值2 3 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把
5、答案直接填写在答题卡相应位置上 0, x 0 13. 已知 f x 1, x 0 3x 2, x 0 ，则 f f f 6 14. 已知函数 f x ax5 bx3 c 7 ， f 3 5 ，则 f 3 x 15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子 60 元/盒，桔子 65 元/盒，水蜜桃 80 元/盒，荔枝 90 元/ 盒， 为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到 120 元，顾客就少付 x 元， 每笔 订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80% . x 10 时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 元； 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不
6、低于促销前总价的七折（即 70%） ，则 x 的最 大值是 16. f x 为定义在R 上的偶函数， g x f x 2x 2 在区间0, 上是增函数，则不等式 f x 1 f x 2 4x 6 的解集为 9 2 3 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分） 2 已知a,b 均为正数，证明： a b a b b a 18. （本小题满分 12 分） 计算： 1 eln 2 4 2 5 32 ； lg 2 2 lg5 lg 20 log 3log 4 19. （本小题满分 12 分） 已知二次函数 f x 的值域为4, ，
7、且不等式 f x 0 的解集为1,3 求 f x 的解析式； 若对于任意的 x 2, 2 ，都有 f x 2x m 恒成立，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分 12 分） 某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一 D C 块面积为 100 平方米的矩形区域 ABCD 修建花圃，规定 ABCD 的每条边长不超过 20 米如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来 种花，且点 A, B, E, F 四点共线，阴影部分为 1 米宽的种草区 域设 AB x 米，种花区域 EFGH 的面积为 S 平方米 将 S 表示为 x 的函数； 求 S 的最大值 21. （本小题满分 12 分）
8、 已知集合 A y | y 4x x2 ，集合 B x | x2 x a a2 0 若 A B A ，求a 的取值范围； 在 A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围 22. （本小题满分 12 分） 设 f x x a （ x 0 ， a 为大于 0 的常数） x 若 f x 的最小值为 4，求a 的值； 用定义证明： f x 在 a, 上是增函数； 在的条件下，当 x 1时，都有 f x m m 1 恒成立，求实数m 的取值范围 x A E F B G H 1. 【答案】A； 【解析】由补集定义知选 A 2. 【答案】B； 【解析】因为1 是x x2 5x 4 0 的真子集，所以“ x
9、 1”是“ x2 5x 4 0 ”的充分不必要条件 3. 【答案】C； 【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选 C 4. 【答案】C； 【解析】由x x1 2 x2 x2 2 5 ，知 x x1 5. 【答案】D； 5 ，故选 C 【解析】当 x 0 时， f x 1 单调递减，范围为,0 ，当0 x 3 时， f x 2x x2 在0,1 上单调递 x 增，在1,3 上单调递减，范围是3,1 ，所以函数值域为,1 ，故选 D 6. 【答案】D； 【解析】A 选项， f x x ，故错误； B 选项，定义域不同，故错误； C 选项，定义域不同，故错误；
10、D 选项，是同一函数，故选 D 7. 【答案】B； 【解析】a 2b a 2b 1 2 1 1 a 2b 1 2 3 2b 1 a 2 2 2 1 ，当且仅当 a 1 8. 2 且b a b 1 2 时等号成立，故选 B 2 a b 1 【答案】A； 【解析】 f x 定义域为, 1 1,1 1, ，是奇函数，当 x 时， f x ，故选 A 9. 【答案】ABC； 【解析】 A 0, 2 ，故选 ABC 10. 【答案】ACD； 【解析】A 选项，若 xt2 yt2 ，则t2 0 ，则 x y ，反之不成立，A 正确； B 选项，当t 0 时， x y ，B 错误； C 选项，若 x y ，
11、由 y y ，则 x y ，反之不成立，C 正确； D 选项， f x 1 在0, 单调递减，若0 1 1 ，则 x y ，反之不成立，D 正确； x x y 故选 ACD 11. 【答案】BD； 【解析】A 选项，若 f x x, x 0 是一个反例，A 错误； 12. ln x, x 0 B 选项，在任意区间 I 上总可以取 x1 , x2 Q ，使 f x1 f x2 ，则 f x 在 I 上不单调，B 正确； C 选项， f x 1 是一个反例，C 错误； x D 选项， f x x2 符合要求，D 正确； 故选 BD 【答案】BD； 【解析】法一： 令a b s, ab t ，由题意
12、可得 s 2,t 1， t s 1， 由基本不等式 s 2 t ， 则t 1 2 ，由t 1 可得t2 2t 1 4t ，则t 3 2 ， a b 2 1取等； s 2 s 1 ，由 s 2 可得 s2 4s 4 0 ，则 s 2 2 ， a b 2 1取等； 故选 BD； 法二： 由ab a b 1 可得a 1b 1 2 ，令m a 1 0, n b 1 0 ， 则a b m n 2 2 2 2 2 ， m n 2 取等； ab m 1n 1 mn m n 1 3 m n 3 2 故选BD ， m n 2 取等； t 2 2 mn 2 2 13. b a b 2 3 3 【答案】5 ； 【解
13、析】 f f f 6 f f 0 f 1 5 14. 【答案】9 ； 【解析】 f 3 f 3 7 7 14 ， 所以 f 3 14 5 9 15. 【答案】130 ；15 【解析】 60 80 10 130 ； 由题意可知，购买总价刚好为120 元时，折扣比例最高， 此时有0.8120 x 0.7 120 ， 解得 x 15 16. 【答案】 , 3 ； 2 【解析】由 f x 为偶函数，可知 g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由 f x 1 f x 2 4x 6 ， 可知 f x 1 2 x 1 2 f x 2 2 x 2 2 ，即 g x 1 g x 2 ， 可知 x 1 x 2
14、 ，解得 x 3 . 2 17. 【答案】详见解析 【解析】法一：由基本不等式可得， 2 2 b a 2 a b 2 2a b ， b a b a 2 当且仅当 b b2 a 则原式得证 b ，即a b 时取等， a 2 2 法二： a b a 2 b2 a 3 b 3 b a b a 由 a 0,b 0 ，可得a b 0 ， b 0, a 0 ， ab 0 ， a b b2 a a a ， b 9 2 3 2 2 2 a 2 则 2 a b a 2 b2 2 a2 b2 2ab a b 2 ， b a 2 由 a b 0 可得 a b a b a a2 b2 a2 b2 b2 a2 a ba
15、 2 b2 a b 2 a b 法三： a b ， b a b a ab ab 2 2 由 a 0,b 0 可得 a b a b 0 即 a b a b b a b a 18. 【答案】 3 ； 3 2 【解析】 1 eln 2 4 2 2 3 2 3 ； 2 2 lg 2 2 lg5 lg 20 log 3log 4 lg 2 lg52 2 3 19. 【答案】 f x x2 2x 3 ； m 7 【解析】 设 f x ax2 bx c ，由题意可知： f 1 a b c 0 a 1 f 3 9a 3b c 0 ，解得b 2 ，即 f x x2 2x 3 ； f 1 a b c 4 c 3
16、m x2 4x 3 对 x 2, 2 恒成立， 令 g x x2 4x 3 ， 当 x 2, 2 ，可知 g x7,9 ， 故 m 7 20. 【答案】 S 102 200 x 5 x 20 ； S 的最大值为102 20 2 x 【解析】 因为 AB x ， 所以 AD 100 ， EF x 2 ， FG 100 1； x x 所以 S x 2 100 1 102 200 x x x 因为0 x 20, 0 100 20 ，解得5 x 20 ，所以 S 102 200 x 5 x 20 ； x x a2b2 5 32 b S 102 2 102 20 ，当且仅当 x 10 2 时取等 所以
17、S 的最大值为102 20 2 21. 【答案】 0 a 1 ； 1, 0 1, 2 ； 【解析】 因为 A 所以 B A ， 因为4x x2 4 ， 所以 A 0, 2 ； 集合 B 的不等式可化为x a 1x a 0 ， B ，即 0 ，解得a 1 ，符合； 2 B ，即a 1 时，此时0 a 2,0 1 a 2 ，解得0 a 1 且 a 1 ； 2 2 综上0 a 1 ； 集合 A 中有三个整数0,1, 2 ， B x | x a x a 1 0 ； 由 A B 中有且仅有两个整数，可得 B 中有0,1, 2 中的两个整数； a 1 a 即 a 1 时， B a,1 a ， 2 则 B
18、中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ， 若仅有0,1 ，则1 a 0,1 1 a 2 ，解得1 a 0 ； 若仅有1, 2 ，则0 a 1 ， 2 1 a 3 ，无解； a 1 a 即 a 1 时， B ，不满足题意； 2 a 1 a 即 a 1 时， B 1 a, a ， 2 则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ， 若仅有0,1 ，则1 1 a 0,1 a 2 ，解得1 a 2 ， 若仅有1, 2 ，则0 1 a 1 ， 2 a 3 ，无解； 综上，实数a 的取值范围是1, 0 1, 2 x 200 x 2 B A a a 6 6 x x x x 22. 【答案】 4； 证明见解析；
19、 【解析】 由基本不等式 f x 2 m 2 2 当且仅当 x 解得a 4 ； 任取 x1 , x2 a 时取等，所以2 4 a, ，设 x1 x2 ， f x f x x x a x x x x x1 x2 a ， 1 2 1 2 因为 x1 x2 ； 2 1 1 2 1 2 1 2 所以 x1x2 a, x1x2 a 0 ， 又因为 x1 x2 0 所以 f x1 f x2 0 所以 f x1 f x2 所以 f x 在 a, 上是增函数 得证； 原不等式可化为 x2 4 mx m 1 x2 5 6 即 m x 1 x 1 x 1 恒成立 因为 x 1 6 x 1 x 1 6 x 1 2 2 6 2 ， 当且仅当 x 1 即 x 1 6 时取等 所以m 2 2 6 a
