1、高一数学试卷 一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合 | 1 2Axx ，02|Bxx，则 R AB （ ） A. | 10 xx B. | 12xx C. |0 1xx D. | 11xx 2已知函数 1,1 ( ) 3,1 xx f x xx + + ，则 5 2 ff 等于（ ） A 9 2 B 5 2 C 3 2 D 1 2 3函数( )25 x g xx+的零点 0 x所在一个区间是（ ） A( 2, 1) B( 1
2、,0) C(0,1) D(1,2) 4.下列各组函数中，表示为同一个函数的是（ ） A. 2 1 1 x y x 与 1yx B. 1y 与 0 yx C. 2 ( ), ( )ln2lnf xg xxx D. y x 与log x a ya（0a且1a ） 5.若 60.7 2 11 ( ) ,6,log 23 abc ，则, ,a b c三个数的大小关系是（ ） A. cba B. acb C. cab D. bac 6.为了得到函数 e x y 3 ln的图像，只需把函数 xyln 的图像上所有的点 （ ） A. 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B. 向右平移 3
3、个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C. 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D. 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 7. 已知函数 y=f(x)的定义域为-8,1，则函数 2 12 x xf xg )( )(的定义域是（ ） A. , 22,3 U B. 9 , 22,0 2 U C. 8, 22,1 U D. 9 , 2 2 8. 若幂函数 ( )f x的图像过点(4,2)，则不等式 2 ( )f xfx的解集为（ ） A. (,0)(1,) B. (0,1) C. (1,) D. (,0) 9.已知23(1) ab k k且2abab ，则实数k
4、的值为（ ） A. 6 B. 18 C. 12 D. 9 10.函数 2 ( )2(1)2f xaxax在区间( ,4) 上为减函数，则a的取值范围为（ ） A. 1 0 5 a B. 1 5 a C. 1 0 5 a D. 1 0 5 a 11已知函数 2 2 4 ( )3f xx x +，( )2g xkx+，若对任意的 1 1,2x ，总存在 2 1, 3x ，使得 12 ( )()g xf x，则实数k的取值范围是（ ） A 1 ,1 2 B 1 2 , 3 3 C 1 ,1 2 D以上都不对 12.已知函数 2 2 44,0 log,0 xxx f x xx ，若互不相等的实数 1
5、x、 2 x、 3 x满足 123 f xf xf x，则 123 xxx的取值范围是（ ） A. 12,3 B. ,3 C. 12,3 D. 0,3 二、填空题 13. 函数 1 1 x ya (0a且1a )的图象恒过的定点是_. 14.设 A， B 是非空集合， 定义()ABx xABxAB且 已知集合 02Axx ， 0By y ，则 AB_. 15. 若函数 f x是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0,上是单调减函数.如果实数 t满足 1 lnln21ftff t 时，那么 t的取值范围是_. 16设定义域为R的函数 2 |lg |,0 ( ) 2 , x x f x xx x 0
6、 ，若关于x的函数 2 2( )2( ) 1yfxbf x+有8个不同 的零点，则实数b的取值范围是_ 三、解答题 17（本小题满分10分）计算： （1） 40 1 3 32 11 ( 4)0.25 22 + （2） 33 1 lg25lg2lg 0.1log 9 log 2 2 + 18. （本小题满分 12 分）已知函数 f（x） 2 1logx的定义域为 A， 函数 g（x） 1 2 x （1x0）的值域为 B （1）求 AB； （2）若 Cx|ax2a1且 CB，求 a的取值范围 19（本小题满分12分）已知函数 2 ( )1 21 x f x （1）判断并证明函数 ( )f x的奇偶
7、性 （2）判断并用定义法证明函数 ( )f x的单调性，并求不等式 2 (3 )(22)f xxfx的解集 20（本小题满分 12 分）已知函数124)( 1 aaxf xx （1）若2a，求不等式0)(xf的解集； （2）求函数)(xf在区间2 , 1上的最小值 ah 21（本小题满分 12 分）某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的 原材料成本为 0.5 万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间t（单位：天）之间的关系满足图 1，珠 宝的预计销量（件）与加工时间t（天）之间的关系满足图 2原则上，单件珠宝的加工时间不能超 过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利
8、润的三分之一，其他成本忽略不计算 （1）如果每件珠宝加工天数分别为 5，13，预计销量分别会有多少件？ （2） 设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为S（万元） ， 请写出纯利润S（万元） 关于加工时间t（天） 之间的函数关系式，并求纯利润S（万元）最大时的预计销量 注：毛利润总销售额 原材料成本，纯利润毛利润 工人报酬 22（本小题满分 12 分）如果函数)(xf在定义域内存在区间ba,，使得该函数在区间ba,上的 值域为a2,b2，则称函数)(xf是该定义域上的“和谐函数”. （1）判断函数) 1(log)( 2 xxf是不是“和谐函数”，并说明理由； （2）若函数 ) 1(1)( 2 xtxx
9、g 是“和谐函数”，求实数t的取值范围. 高一数学试卷答案 1. 【答案】A【解析】【分析】先求B R ,再求出 R AB得解. 【详解】集合02|Bxx，则2Bx x R 或0 x 而 | 12Axx ，则 | 10ABxx R .故选：A. 2【答案】C【解析】 1,1 ( ) 3,1 xx f x xx + + ， 551 3 222 f + ， 5113 1 2222 fff +故选 C 3【答案】B【解析】函数( )25 x g xx+单调递增，且 1 ( 1)250g ， (0)10g ， ( 1)(0)0gg ，函数 ( )g x在( 1,0) 内存在唯一的零点故选B 4.【答案
10、】D【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 【详解】对于A， 2 1 1 1 x yx x 定义域为1x x ， 1yx 定义域为 R，两个函数的定义域 不同，所以两个函数不是同一个函数，A 错； 对于B，函数 0 1yx，定义域为 0 x x ，函数1y 的定义域为 R， 两个函数的定义域不同， 所以两个函数不是同一个函数，B 错； 对于C，函数 2 ( )lnf xx定义域为 0 x x ，函数 2lng xx定义域为0 ，定义域不同 不是同一函数； 对于D，log x a yax，（0a且1a ），两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以两个 函数表示同一个函数
11、.故选：D 5.【答案】A【解析】【分析】利用指数，对数函数的单调性即可判断出大小关系. 【详解】解： 06 11 ( )( ) 2 1 2 a ， 0.70 6610b ， 22 3 1 loglog 10c ， 所以cba，故选：A. 6.【答案】D【解析】解：因为 y=lnx 的图象只要向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度， 即可以得到 y=ln(x-3)-1= e x3 ln,选择 D. 7. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据题意得出 821 1 20 x x ， 解出该不等式组可得出函数 yg x 的定义域.【详解】由于函数 yf x的定义域为8,1，由题意得
12、821 1 20 x x ，解得 9 0 2 x且2x， 因此，函数 21 2 fx g x x 的定义域是 9 , 22,0 2 U，故选：B. 8. 【答案】C【解析】【分析】先求出 2 1 )(xxf ，再解不等式)()( 2 xfxf 得解. 【详解】设幂函数的解析式为( )f xx，幂函数 ( )f x的图象过点(4,2)，2 4 ， 1 2 ， 1 2 ( )f xx ， ( )f x的定义域为0,)，且单调递增， 2 ( )f xfx等价于 2 0 x xx ，解得1x ， 2 ( )f xfx的解集为(1,). 故选：C. 9.【答案】B【解析】【分析】由23(1) ab k
13、k，知 23 log,logak bk，利用对数的运算性 质代入2abab 运算，由此能求出k. 【详解】解：23(1) ab k k， 23 log,logabkk， 11 log 2,log 3 kk ab ， 2abab ， 21 2log 3log 2log 9log 2log 181 kkkkk ba ，18k . 故选：B. 10.【答案】D【解析】【分析】根据a取值讨论是否为二次函数，然后根据二次函数的性质建立不 等关系，最后将符合条件的结果求并集 【详解】解：当0a时，( )22f xx ，符合题意 当0a时，要使函数 2 ( )2(1)2f xaxax在区间( ,4) 上为减
14、函数 0 1 0 1 54 a a a a ，综上所述 1 0 5 a，故选：D 11【答案】C【解析】1, 3x， 2 1,3x ， 2 2 4 ( )31,2f xx x + 当0k 时， ( )2,22g xkk + ，12k +，得1k 当0k 时， ( )2g x 满足题意 当0k 时， ( )22,2g xkk+ 122k+得 1 2 k 1 ,1 2 k 故选 C 12.【答案】C【解析】【分析】作出函数 yf x的图象，设 123 xxx，设 123 f xf xf xt，可得出直线yt与函数 yf x图象的三个交点的横坐标分别为 1 x、 2 x、 3 x，利用对称性得出 2
15、3 xx的值，并结合图象得出实数t的取值范围，从而可得出 1 x的 取值范围，由此得出 123 xxx的取值范围. 【详解】作出函数 yf x的图象，设 123 xxx，设 123 f xf xf xt， 由图象可知，当04t 时，直线y t 与函数 yf x图象的三个交点的横坐标分别为 1 x、 2 x、 3 x， 二次函数 2 44yxx+的图象关于直线2x对称，则 23 4xx， 由于 1 04f x，即 21 0log4x，得 1 116x ，解得 1 161x ， 123 123xxx .因此， 123 xxx的取值范围是12,3 .故选：C. 13. 【答案】1,2【解析】【分析】
16、根据指数函数的性质，令 20 x ，即可求出所过定点.【详 解】令10 x ，求得1x，2y ， 可得函数 2 1 x ya (0a且1a )的图象恒过的定点1,2，故答案为:1,2. 14. 【答案】 0 2， ) 【解析】 由已知 Ax|0x2， By|y0， 又由新定义 ABx|x(AB) 且 x(AB)，结合数轴得 AB02，) 15. 【答案】 1 0, e e 【解析】【分析】由题意知原不等式可化为 1 lnln=ln+ ( ln )21ftfftftf t ，即 ln= ( ln )1ftftf，根据单调性可得ln1t ，解不等式即可. 【详解】原不等式等价于: lnln21ft
17、ftf， f x为偶函数lnlnftft， ln1ftf， f x为偶函数，且0,上单减，ln1ln1tt 或ln1t ， 1 0,te e .故答案为: 1 0, e e 16【答案】 3 2 2 b 【解析】令( )tf x， 2 22ytbtt+，作出 ( )f x图像如图所示： 1 x y O 12 342 1 如图可知：当01t 时， ( )tf x 有四个交点， 要使关于x的函数 2 2( )2( ) 1yfxbf x+有8个不同零点 则 2 221ytbt+有两个根 1 t， 2 t且 1 01t， 2 01t 令 2 ( )221g ttbt+，由根的分布可得 2 480 (0
18、)10 (1)230 2 01 2 2 b g gb b + ，解得 3 2 2 b 17【答案】（1）3；（2） 1 2 【解析】（1）原式4 1 0.5 4 +3 5 分 （2）原式 1 9 10 3 1 lg5lg2lglog 2 + 1 12 2 + 1 2 10 分 18.【答案】（1）AB2（2） 3 . 2 ， 【解析】【分析】（1）根据根式有意义的条件及指数函数的性质可得集合A，B，再进行集合的运 算即可. （2）先根据集合C，结合CB，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a的取值范围 【详解】（1）由题意得：函数f（x） 2 1logx有意义， 则 2 10 10 x l
19、ogx ，即 10 1 1 x x ，解得x2， Ax|x2，2 分 又g（x） 1 2 x 单调递减，By|1y2，4 分 AB26 分 （2）由（1）知： |12ByyCB又， 当21aa ，即1a时：C ，满足题意；8 分 当21aa ，即1a 时：要使CB则 1 212 a a 10 分 解得 3 1 2 a11 分 综上， 3 . 2 a ，12 分 19【解析】解：（1） ( )f x是奇函数， 证明如下： ( )f x的定义域为R，关于原点对称， 21 ( ) 21 x x f x ，1 分 211 221 ()( ) 211 221 xxx xxx fxf x ，3 分 所以
20、( )f x为奇函数4 分 （2） ( )f x在(,) 上为增函数 证明：任取 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 则 12 2112 12 222(22 ) ( )() 2121(21)(21) xx xxxx f xf x ，6 分 1 x， 2 (,)x ，且 12 xx， 12 220 xx ， 1 210 x ， 2 210 x ， 12 ( )()0f xf x 即 12 ( )()f xf x ， ( )f x在(,) 上为增函数，9 分 ( )f x在(,) 上为增函数且 2 (3 )(22)f xxfx， 2 322xxx， 21x ，11 分 即 2 (3 )(
21、22)f xxfx的解集为| 21xx 12 分 20解：（1）当 a=2 时，由03242)( 2 xx xf， 可得321 x ，2 分 解得3log0 2 x， 所以不等式 f(x)0 的解集为)3log, 0( 2 ；4 分 （2）令 x t2 ，因为 1x2,所以 2t4, 令)42(012)( 2 taatttg， 则1)()( 22 aaattg5 分 当2 a时，g(t)在2,4上为增函数， 所以agtgah35)2()()( min ,7 分 当4 a时，g(t)在2,4上为减函数， 所以agtgah717)4()()( min ,9 分 当42 a时，g(t)在2,a上为减
22、函数,在（a,4上为增函数， 所以1)()()( 2 min aaagtgah,11 分 4,717 42 , 1 2,35 )( 2 aa aaa aa ah12 分 21解：（1）预计订单函数( )()f t tN为 45,010 ( ) 55,1055 tt f t tt ；2 分 f(5)=20+5=25;3 分 f(13)=-13+55=42;4 分 每件珠宝加工天数分别为 5，13，预计订单数分别为 25 件，42 件5 分 （2）售价函数为( )1.55g tt； 利润函数为 2 (1.550.5)(45),010 3 ( ) 2 (1.550.5)(55),1055 3 ttt
23、 s t ttt 剟 ， s(t) (3)(45),010 (3)(55),1055 ttt ttt 剟 2 2 41715 ,010 52165 ,1055 ttt ttt 剟 ；7 分 当010t 时， 2 ( )41715s ttt的最大值为(10)585s；9 分 当1055t 时， 2 ( )(52t 165)s tt 的最大值为(26)841585s；11 分 故利润最大时，26t ，此时预计的销量为 26 件12 分 22解：（1）函数 2 ( )log (1)f xx的定义域为( 1,) ，且在( 1,) 上单调递增； 考察函数 22 2 ( )( )log ( +1)F xf
24、 xxxx，( 1,)x ； 因为 2 (0)log 1 00F，取0a ，则( )0F a ，即 2 ( )f aa；2 分 2 (1)log 2 10F ，取1b，则( )0F b ，即 2 ( )f bb； 因为( )f x在 , a b上单调递增；4 分 所以( )f x在区间 , a b上的值域为 ( ),( )f af b，即为 22 ,a b； 所以函数 2 ( )log (1)f xx是( 1,) 上的“和谐函数”；5 分 （2）因为( )g x在1,)单调递增； 因为函数 2 ( )1(1)g xxt x 是“和谐函数”； 所以存在 , 1,)a b ，使得函数在区间 , a b上的值域为 22 ,a b； 即 2 ( )g aa， 2 ( )g bb 因此 2 ( )g xx，即 22 1xtx 在1,)上至少有两个不相等的实数根；7 分 令 2 1xu ，0u ，方程可化为 2 1uut ； 即 2 10uut 在0, )上至少有两个不相等的实数根；9 分 记 2 ( )1h uuut ，( )h u的对称轴为直线 1 2 u ； 所以；解得 3 1 4 t ，11 分 即 t 的取值范围为 3 (,1 4 12 分
