1、数学试题卷 第 1 页 共 6 页 机密机密 启用前启用前 株洲市 2021 届高三年级教学质量统一检测（一） 数学试题 班级：_ 姓名：_ 准考证号：_ （本试卷共6页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的 答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后
2、，只交答题卡 第第 卷卷 一、选择题一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 ） 1已知全集为N，集合 12 234=， =A,B, ,，则图中阴影部分所表示的集合是 A1 B 3 4 , C 2 D1234，, , 2 3 13 i i + = A1 B1 Ci Di 3 若 5 (12)2ab=+ ( , a b为有理数） ，则a = A25 B25 C40 D41 4 由我国引领的5G时代已经到来，5G的 发展将直接带动包括运营、 制造、 服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP增长产生直接贡献，并通过产
3、业间 的关联效应和波及效应， 间接带动国民经 济各行业的发展， 创造岀更多的经济增加 值 如图是某单位结合近年数据， 对今后 几年的5G经济产出所做的预测结合下 图，下列说法不 正确的是 （第 1 题图） （第 4 题图） 设备制造商设备制造商信息服务商信息服务商 运营商运营商 年份年份203020292028202720262025 20242023202220212020 0 15000 20000 25000 5000 10000 30000 5 5G经济产出亿元经济产出亿元 数学试题卷 第 2 页 共 6 页 A5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长
4、较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 5由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是 A24 B 12 C10 D6 6某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示图中 的ABCD为矩形， 弧CED为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图 中阴影部分）的面积为 A 2 10 3 3 3 +()cm B 2 8 (3 3)cm 3 + C 2 (42 3)cm+ D 2 (22 3)cm+ 7已知 ABCDEF 为正六边形，若A、D为椭圆W的焦点，且B、C、E、F都在椭圆 W上，则
5、椭圆W的离心率为 A3 1- B 2 1- C 3 1 2 - D 3 2 +1 8区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域在区块链技术中，若密码的长度 设定为256比特，则密码一共有 256 2种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行 256 2次运算现在有一台机器，每秒能进行 11 2.5 10次运算，假设机器一直正常运转， 那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（参考数据：lg20.3010） A 83 4.5 10秒 B 65 4.5 10秒 C 17 4.5 10秒 D 7 2.8 10秒 二、选择题二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选
6、项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 ） 9已知函数( )sincosf xxx，若( )g x是( )f x的导函数，则下列结论中正确的是 A函数( )f x的值域与( )g x的值域相同 B若 0 x是函数( )f x的极大值点，则 0 x是函数( )g x的极小值点 C把函数( )f x的图象向右平移 2 个单位，就可以得到函数( )g x的图象 D函数( )f x和( )g x在区间(,) 4 4 上都是增函数 E 1cm 2 3cm 3cm D C B A （第 6 题图） 数学试题卷 第 3 页 共 6 页 10在正方体 1111 ABC
7、DABC D中，点P在线段 1 AD上运动，则下列命题正确的是 A异面直线 1 C P和 1 CB所成的角为定值 B直线CD和平面 1 BPC相交 C三棱锥 1 DBPC的体积为定值 D直线CP和直线 1 AB可能相交 11已知0,a 0b ，设 22 ab M ab + = + ， 22 ab N ab = + ，则下列说法正确的是 AM有最小值，最小值为 1 BM有最大值，最大值为2 CN没有最小值 DN有最大值 ，最大值为 2 2 12假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空 间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被 捕食者，后者为捕食者现在我们来研究捕食者 与被捕食者之间理想状态下
8、的数学模型假设捕 食者的数量以(t)x表示，被捕食者的数量以(t)y 表示下图描述的是这两个物种随时间变化的数 量关系，其中箭头方向为时间增加的方向下列 说法不 正确的是 A若在 1 t、 2 t时刻满足：，则 B如果(t)y数量是先上升后下降的，那么(t)x的数量一定也是先上升后下降 C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值 第第 卷卷 三、填空题三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ） 13已知数列 n a的前n项和为 2 n Sn=，则 10 a=_ 14在直角边长为3的等腰直角A
9、BC中，EF、为斜边BC上的两个不同的三等分点， 则AE AF= 15函数( )f x为奇函数，当0 x 时， 2 ( )f xx=若2 ( )(1)f af a+，则a的取值范 围为 16以ABC为底的两个正三棱锥PABC 和QABC内接于同一个球，并且正三棱锥 PABC的侧面与底面ABC所成的角为45，记正三棱锥PABC和正三棱锥 QABC 的体积分别为 1 V和 2 V，则 1 2 = V V （注：底面为正三角形且顶点 在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥） 12 ( )= ( )y ty t 12 ( )= ( )x tx t 30252015105 0 x(t)捕食者 捕食者（
10、万万） 被捕食者被捕食者（万万）y(t) 100 50 （第 12 题图） 数学试题卷 第 4 页 共 6 页 M N A B A1 B1 C1 C 四、解答题四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17 （本小题满分10分） 在 31sinB cosB=+，2bsinA atanB= ，()a c sinA csinC bsinB+=这三个 条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 已知ABC的内角ABC、 、所对的边分别是abc、 、， 2,a =3b = ， 若 求角B的值与ABC的面积（注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解
11、答计分 ） 18 （本小题满分12分） 由整数构成的等差数列 n a满足 3 5a,= 124 2a aa= （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b的通项公式为2n n b =，将数列 n a， n b的所有项按照“当n为奇 数时， n b放在前面；当n为偶数时， n a放在前面”的要求进行“交叉排列” ，得 到一个新数列 1 : n cb , 1 a , 2 a , 2 b , 3 b , 3 a , 4 a , 4 b，求数列 n c的前43n+项 和 43n T + 19 （本小题满分12分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 B BCC为正方形，点M、N分
12、别是 11 AB、AC 的中点，AB 平面BCM （）求证： 1 /A N平面BCM； （）若 11 A ABB是边长为 2 的菱形，求直线 1 AN与平面 1 MCC所成角的正弦值 （第 19 题图） 数学试题卷 第 5 页 共 6 页 频率/组距频率/组距 0.020 0.015 0.010 0.005 0 204060 80 100 时间时间 20 （本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点(1,0)F，且与直线1x = 相 切设动圆的圆心Q的轨迹为曲线 （）求曲线的方程； （）过点F的两条直线 12 ll、与曲线相交于ABCD、 、 、四点，且MN、分别 为A
13、BCD、的中点设 12 ll、的斜率依次为 12 kk、，若 12 1kk+= ，求证： 直线MN恒过定点 21 （本小题满分12分） 2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公 司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午 9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通 过该收费站点， 它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示， 其中时间段 9:209:40记作区20 40)，9:4010:00记作40 60)，10:0010:20记作 6080)，10:2010:40记作80100)，
14、例如：10点04分，记作时刻64 （） 估计这600辆车在9:2010:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值 （同一 组中的数据用该组区间的中点值代表）； （）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从 这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:2010:00之间通过的车 辆数为X，求X的分布列； （第 21 题图） 数学试题卷 第 6 页 共 6 页 （）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布 2 ( ,)N，其中可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过 该收费站点的时刻的平均值近似代替， 2 用样本的方差近似代替（同一组中 的数据用该组区间的中点值代表）假如4日全天共有1000辆车通过该收费 站点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数） 附：若随机变量T服从正态分布 2 ( ,)N，则 ()0.6827PT， (22 )0.9545PT， (33 )0.9973PT 22 （本小题满分12分） 已知函数( )ln(1) 1 x f xexaxx=+ （）若0a =，求( )f x的最小值； （）函数( )f x在0 x =处有极大值，求a的取值范围
