1、1 十月联考理科数学试题十月联考理科数学试题 一、一、 单项单项选择题选择题 （本大题共本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分分 在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合|21Ax x=，3, 1,0,1,3B = ，则AB =（ ） A 3, 1 B 1,0,1 C 0,1 D 1,3 2. 已知i为虚数单位，复数 1 3i 3i z = + ，则z =（ ） A 1 B 2 C 2 2 D 10 3. 已知向
2、量()1,2a =，()2,bm= ，且( )/ / aba+，则m的值为（ ） A 1 B 1 C 4 D 4 4. 已知等差数列 n a的前n项为 n S， 2 6 n S=， 3 12 n S=，则 n S的值为（ ） A 2 B 0 C 3 D 4 5. 如图，在一个凸四边形ABCD内，顺次连接四边形各边中点, , ,E F G H而成的四边形 是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形. 如图，现有一个面积 为12的凸四边形ABCD，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 1111 ABC D，记其面积为 1 a， 四边形为 1111 ABC D对应的瓦里尼翁平行四边形为 2
3、222 A B C D，记其面积为 2, a，依次类 推，则由 此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形 4444 A B C D的面积为（ ） A 1 B 4 27 C 3 4 D 不确定 6. 已知coscos1 3 += ，则sin 3 = （ ） A 1 3 B 3 3 C 3 D 3 3 2 7. 在() 6 2 x yxy + 的展开式中， 34 x y的系数是（ ） A 20 B 15 2 C 5 D 25 2 8. 已知函数( )() 1 2sin 1 f xx x =+ ， 则函数( )f x在2,4上的所有零点的和为 （ ） A 6 B 8 C 6 D 8 二、二、 多项选择题多项
4、选择题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共计共计 20 分分在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9. 2019 年女排世界杯是由国际排联（FIVB）举办的第13届世界杯赛事，比赛于2019年9月 14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍. 最终，中国女排以11战全胜且只丢3局 的成绩成功卫冕本届世界杯冠军. 中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代 的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号. 以下是
5、本届世界杯比赛最终结 果的相关数据，记前6名球队中，每个队的胜场数为变量x，积分为变量y， （只列出了前 6名）. 排名 1 2 3 4 5 6 胜场数x 11 10 8 7 6 6 积分y 32 28 23 21 19 18 若y与x之间具有线性相关关系，根据表中数据可求得y关于x的回归直线方程为 2.59yxa=+，则下列说法正确的有（ ） A a的值为2.78 B a的值为2.1 C 若整队在此次比赛中获胜的场数是4，根据线性回归方程其得分为13分（精确到整数） D 由线性回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59分 10. 已知定义在R上的函数( )f x满足( )(
6、 )f xfx，则下列式子成立的是（ ） A ()()2019e2020ff B ()()e20192020ff C ( )f x是R上的增函数 D 若0t ，则有( )()etf xf xt+ 11. 已知椭圆() 22 22 :10 xy Cab ab +=的左、 右端点分别为 12 ,A A， 点,P Q是椭圆C上关 于原点对称的两点（异于左右端点） ，且 12 3 4 PAPA kk= ，则下列说法正确的有（ ） A 椭圆C的离心率不确定 B 椭圆C的离心率为 1 2 C 11 A PAQ kk的值受点,P Q的位置影响 D 12 cosAPA的最小值为 1 7 12. 如图， 已知,
7、a b是相互垂直的两条异面直线， 直线AB与,a b均相互垂直， 且2AB=， b a M A B P Q 3 动点,P Q分别位于直线,a b上， 若直线PQ与AB所成的角 4 =， 线段PQ的中点为M， 下列说法正确的是（ ） A PQ的长度为2 2 B PQ的长度不是定值 C 点M的轨迹是圆 D 三棱锥ABPQ的体积为定值 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分 ） 13. 已知函数( )e2 x f xx=，则函数( )f x在点( )()0,0f处的切线方程为_. 14. 已知点O为圆锥PO底面的圆心， 圆锥PO的轴截面为边长为2的等边三角形PAB， 则 圆
8、锥PO的外接球的表面积为_. 15. 如图是一公路隧道截面图， 下方ABCD是矩形， 且4mAB=，8mBC =， 隧道顶APD 是一圆弧， 拱高2mOP =， 隧道有两车道EF和FG， 每车道宽3.5m， 车道两边留有0.5m 人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6m的间隙，则此隧道允许通 行车辆的限高是_m.（精确到0.01m，517.141）. 16. 已知函数( ) ()() 1,0 1e,0 x axx f x axax = 有三个互不相同的零点 123 ,x xx，则a的 取值范围是_； 123 x x x的取值范围是_. 四、解答题四、解答题（本大题共本大题共
9、 6 小题，共计小题，共计 70 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤） 17. 给出一下两个条件：1 数列 n a为等比数列，且 1 3 2n nn aa + += ，2 数列 n a的首 项 1 2a =，且 1 2n nn aa + =. 从上面12 两个条件中任选一个解答下面的问题（如果选择 多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 2 log nn ba=，求数列 1 1 n n b b + 的前n项和 n T. 18. 如图，在A
10、BC中，AD是BAC的角平分线，5BD =，7AB =，120ADB=. （1）求AD的长； （2）求ADC的面积. 4 19. 某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动. 为了增加抽奖的趣 味性， 按如下的游戏形式进行抽奖. 如图， 在数轴点O处有一个棋子， 顾客有两次游戏机会， 在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前（右）进 一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后（左）走一位；若两粒骰子点数之和为5 到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为X，若2X =，则该顾客获得 价值100元的一等奖；若1X =，则该顾客获得价值
11、10元的二等奖；若0X =，则该顾客 不得奖. （1）求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率； （2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望. 20. 如图，四边形PBCA为直角梯形，PBPA，/PABC，ABAC， 3 PABABC = =，点D为BC上一点，且3BDCD=，如图，将PBA绕AB边翻折 形成三棱锥PABC. （1）证明：在三棱锥PABC中，ABPD； （2）求三棱锥PABC体积的最大值，并求此时PC与面ABC所成角的正弦值. 21. 已知点()1,0F，点P到点F的距离比点P到y轴的距离多1，且点P的横坐标非负， 点()()1,0Mmm. （1）求点P的轨迹C的方程； （2）过点M作C的两条切线，切点为,A B，设AB的中点为N，求直线MN的斜率. 22. 已知函数( ) 2 1 ln1 2 f xxax=+. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当1a =时，设函数( )f x的两个零点为 12 ,x x，试证明： 12 2xx+.
