1、准考证号_姓名_ （在此卷上答题无效） 三明市三明市 2020-2021 学年第一学期普通高中期末质量检测学年第一学期普通高中期末质量检测 高三数学试题高三数学试题 （考试时间：2021 年 1 月 7 日下午 15:00-17:00 满分：150 分） 本试卷共 5 页. 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核考生要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓
2、名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试在试 题卷上作答，答案无效题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求
3、的. 1.已知集合41Mxx， 2 60Nx xx，则MN （ ） A.43xx B.42xx C.21xx D. 13xx 2.已知 i 是虚数单位，若复数 5 43 z i ，则 z 的共轭复数z （ ） A. 43 55 i B. 43 55 i C. 43 55 i D. 43 55 i 3.中国清朝数学家李善兰在 859 年翻译代数学中首次将“function”译做“函数” ，沿用至今.为什么这么 翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数.”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个 法则， 使得取值范围中的每一个值 x， 有一个确定的 y 和它对应就行了， 不管这个对应的法
4、则是公式、 图象、 表格还是其它形式.已知函数 f x由下装给出，则( ( 2) 1)f f 的值为（ ） x 0 x 02x 2x y 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 4.某校的辩论社由 4 名男生和 5 名女生组成，现从中选出 5 人组成代表队参加某项辩论比赛.要求代表队中 至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ） A.80 B.81 C.120 D.125 5.已知实数 x，y 满足 10 30 3 xy xy x ，则2xy的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 6.若12a，则( ) | a f xx x 的图象可能是（ ） A. B. C.
5、 D. 7.设非零向量a，b的夹角为.若| | 2|ba，且(2 )(3)abab，则等于（ ） A.30 B.60 C.120 D.150 8.已知( )2sin()(0)f xx 在区间 1 3 , 2 2 是单调函数，若 1 2 2 f ，且 3 (0)0 2 ff .将曲 线 yf x向右平移 1 个单位长度，得到曲线 yg x，则函数( )2yxg x在区间4,4上的零点个 数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得
6、3 分. 9.设 m，n 是两条直线，是两个平面，以下判断正确是（ ） A.若m，则m B.若m，m，则 C.若m，n，则mn D.若m，则m 10.2020 年 11 月 23 日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县等 9 个县退出贫困 县序列，至此，贵州全省 66 个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽.某研究性 学习小组调査了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对他们过去 7 年（2013 年至 2019 年）的家庭收入情况分别进 行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如下： 表据上图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均
7、纯收入（以下分别简称“甲” 、 “乙” ）情况的判断，正确的是 （ ） A.过去 7 年， “甲”的极差小于“乙”的极差 B.过去 7 年， “甲”的平均值小于“乙”的平均值 C.过去 7 年， “甲”的中位数小于“乙”的中位数 D.过去 7 年， “甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率 11.设 F 是抛物线 2 4yx的焦点，过 F 且斜为3的直线与抛物线的一个交点为 A.半径为FA的圆 F 交抛 物线的准线于 B，C 两点，且 B 在 C 的上方，B 关于点 F 的对称点为 D.以下结论正确的是（ ） A.线段 CD 的长为 8 B.A，C，F 三点共线 C.CDF为等边三角形 D
8、.四边形 ABCD 为矩形 12.设 cossin ( ) xx f xee其中 x表示不超过x的最大整数.如2.62，3,24 .以下结论正确的是 （ ） A. f x是偶函数 B. f x是周期函数 C. f x的最小值是 2 e D. f x的最大值是2e 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知曲线 3 1 3 yxx在2x 处的切线与直线2ykx垂直，则实数k _. 14.已知0a ，0b ，且1ab，则 12 ab 的最小为_. 15.双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线的方程为2yx，则该双曲线的离心率为_， 若 E
9、 上的点 A 满足 212 AFFF，其中 1 F、 2 F分别是 E 的左，右点，则 12 sinAFF_. 注：本小题第一空答对得 2 分，第二空答对得 3 分. 16.已知直三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为2 3，底面为等边三角形.若球 O 与该三棱柱的各条极都相切， 则球 O 的体积为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在 cos1 3sin aA bB ， ()s i ns i n ()s i nb cB cA BaA， 2 s i nt a naB bA这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答
10、该问题. 问题：已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若_，且 31 2 cb ，求 B 的大 小. 注：如果选择多个条件分别解答，按笫一个解答计分 18.（12 分） 设 n S为数列 n a的前 n 项和，已知 1 2a ， 1 20 nn Sa . （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，设数列 2 1 nn b b 的前 n 项和为 n T，证明： 3 4 n T . 19.（12 分） 某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相同的 4 个白球和 4 个黑球装 入不透明的箱子中搅拌均匀，每次从箱子中随机摸出 3 个
11、球，记下这 3 个球的颜色后放回箱子再次授拌均 匀.如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多，则该次游戏得 3 分，否则得 1 分.假设在每次游戏中，每个 球被模到的可能性都相等.解决以下问题： （1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为，求的分布列及其数学期望； （2）如果顾客当天在该商场的逍费满一定金额可选择参与 4 次或 5 次游戏，当完成所选择次数后的游戏的 平均得分不小于 2 时即可获得一份奖品.若某顾客当天的消费金额满足条件，他应如何选择游戏次数才会有 更大的获奖概率？说明理由. 20.（12 分） 如图， 在四棱PABCD中，1ADBDBC，2ABCD，PAPB， 平面PBD 平面
12、ABCD. （1）求证：PDAB； （2）已知二面角PACD的余弦值为 6 6 .线段 PC 上是否存在点 M，使得 BM 与平面 PAC 所成的角为 30？证明你的结论. 21.（12 分） 已知 A 是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个顶点 1 F， 2 F分别是 C 的左， 右焦点， 12 AFF是面积为3 的等边三角形. （1）求 C 的方程； （2）若过点0,2P的直线交 C 于不同的两点 M，N，求PMPN的取值范围. 22.（12 分） 已知函数 2 ( )() 4 x a f xxaeaR. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 设 2 1 ()(
13、)(1 ) 2 x gxf xeax， 若( )g x有两个不同的极值点 1 x， 2 x， 且 1212 g xg xxx 恒成立，求实数的取值范围. 明市明市 2020-2021 学年第一学期普通高中期末质量检测学年第一学期普通高中期末质量检测 高三数学参考答案及评分细则高三数学参考答案及评分细则 评分说明：评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制定相应的评分细则查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一
14、步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数只给整数分数.选择题和填空题不给中间分选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题共
15、 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9.CD 10.ACD 11.BCD 12.BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13. 1 3 14.32 2 15.3； 1 2 16. 32 3 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.选择 在ABC中，根据正弦定理， sinsin ab AB ，即 sin sin aA
16、bB . 所以由 cos1 3sin aA bB ，得 sincos1 sin3sin AA BB ， 因为0B，则sin0B ， 所以3sincos1AA. 则 31 2sincos1 22 AA ，即 1 sin 62 A . 又因为0A，即 5 666 A . 所以 66 A ，则 3 A . 选择 在ABC中，因为ABC，则ABC， 所以sin()sin()sinABCC. 所以由()sinsin()sinbcBcABaA， 得()sinsinsinbcBcCaA. 根据正弦定理， sinsinsin abc ABC ， 所以 22 ()bc bca， 即 222 bcabc. 根据余
17、弦定理， 222 1 cos 22 bca A bc ， 又因为0A，所以 3 A . 选择 由2 sintanaBbA，得 sin 2 sin cos A aBb A ， 即2 sincossinaBAbA， 在ABC中，根据正弦定理， sinsin ab AB ， 所以2sinsincossinsinABABA， 因为,(0, )A B，sin0A，sin0B ， 所以2cos1A，即 1 cos 2 A. 所以 3 A . 不妨设2b ，由 31 2 cb ，得31c . 由 222 bcabc，得 222 2( 31)2( 31)a 解得6a . 所以 sin2 sin 2 bA B
18、a . 因为ba，所以0 3 B ，所以 4 B . 18.（1）由 1 20 nn Sa ，得 1 2 nn Sa 则当2n 时， 1 2 nn Sa -得 11nnnn SSaa . 所以 1nnn aaa ，即 1 2 nn aa . 又因为 1 2a ，且 212 242aaa， 所以 n a是公比为 2 的等比数列. 所以2n n a . （2）由知 2 log 2n n bn， 则 2 111 11 (2)22 nn b bn nnn . 所以 11111111 1 2324352 n T nn 1111 1 2212nn 31113 42124nn 19.（1）依题意，的取值为
19、0，1，2，3. 因为 03 44 3 8 1 (0) 14 C C P C ， 12 44 3 8 3 (1) 7 C C P C . 21 44 3 8 3 (2) 7 C C P C ， 30 44 3 8 1 (3) 14 C C P C . 所以的分布列为 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 1331 ( )0123 147714 E 3 2 . （2）依题意，在一次游戏中，得 3 分的概率为 1 ( )(2)(3) 2 P APP. 设 n 次游戏中，得 3 分的次数为 X，则 1 , 2 XB n . 所以 11 ()1 222 kn k k k n n n
20、C P XkC . 若该顾客选择完成 4 次游戏，由3(4)8XX，得2X ， 其获奖的概率为 234 444 4 111 (2)(3)(4) 216 P XP XP XCCC； 若该顾客选择完成 5 次游戏，由3510XX，得 5 2 X ， 其获奖的概率为 345 555 5 11 (3)(4)(5) 22 P XP XP XCCC. 因为 111 162 ，所以该顾客应选择完成 4 次游戏，会有更大的获奖概率. 20.（1）因为1ADBDBC，2ABCD， 所以四边形 ABCD 是平行四边形，且ADBD. 因为平面PBD 平面 ABCD，平面PBD平面ABCDBD，AD 平面 ABCD，
21、 所以AD 平面 PBD，所以ADPD. 因为PAPB，所以PADPBD. 所以90PDBPDA ，即BDPD. 又因为ADBDD，所以PD 平面 ABCD. 因为AB 平面 ABCD，所以PDAB. （2）设0PDt t. 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DB，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 则(1,0,0)A，(0,1,0)B，( 1,1,0)C ，(0,0,0)D，(0,0, )Pt. 所以(1,0,0)DA ，( 2,1,0)AC ，( 1,0, )APt . 设平面 PAC 的一个法向量为 000 ,mxyz 由 mAC mAP ，得 0 0 m AC m A
22、P ，即 00 00 20 0 xy xtz . 取 0 1z ，得 0 xt， 0 2yt，即( ,2 ,1)mtt. 取(0,0,1)n 为平面 ACD 的一个法向量. 则 2 1 cos, | | 51 m n m n mn t . 因为二面角PACD的余弦值为 6 6 . 所以 2 16 6 51t ，解得1t ，所以(0,0,1)P. 假设这样的点 M 存在，设PMPC，其中01. 由( 1,1, 1)PC ，得(, ,)PM . 则(, 1,1)BMBPPM . 设 BM 与平面 PAC 所成的角为， 则 2 |1 sincos,| | | 6342 BM m BM m BMm .
23、 因为30，所以 2 11 2 6342 ，解得 2 3 . 所以，存在这样的点 M，即当 2 3 PMPC时，BM 与平面 PAC 所成的角为30. 21.（1）依题意，A 是 C 短轴的端点. 因为 12 AFF是面积为3的等边三角形，所以 112 2AFFF. 设 12 2FFc，则1c ，且 2222 11 AFOAOFbca. 所以2a 所以 22 3bac， 即 C 的方程为 22 1 43 xy . （2）当 l 的斜率存在时，设其方程为2ykx. 联立 22 43 2 xy ykx ，消去 y 得： 22 (2) 1 43 xkx . 整理得： 22 431640kxkx. 由
24、0 ，即 22 (16 )4 4430kk ，得 2 1 4 k . 设 11 ,M x y， 22 ,N xy. 则 12 2 16 43 k xx k ， 12 2 4 0 43 x x k . 则 2 22 111 |21PMxykx. 同理 2 2 |1PNkx. 则|PMPN 2 12 1kxx 2 2 16 1| 43 kk k . 2222 2 22 22 (16 )116 444 (|) 4343 kkkk PMPN kk . 令 2 43tk，则4t ，且 2 43kt ， 2 441kt ， 则 22 22 2 444 32 1 43 kk tt k . 由4t ，得 11
25、 0 4t . 因为 2 ( )321f xxx 在 1 , 3 单调递减，且(0)1f， 15 416 f . 则 51 1 16 f t ，所以 2 5(|)16PMPN. 所以5 | 4PMPN. 当 l 的斜率不存在时，M，N 即为 C 短轴端点，且都在 P 的下方. 此时| (23)(23)4PMPN. 综上，|PMPN的取值范围是( 5,4. 22.（1）因为 2 ( ) 4 x a f xxae，所以( )1 x fxae . 当0a 时，因为0 x e ，所以( )0fx，此时( )f x的单调递增区间为(,) . 当0a 时，令( )0fx，得 1 lnx a . 当 1 l
26、nx a 时，( )0fx，当 1 lnx a 时，( )0fx. 此时，( )f x的单调递增区间为 1 ,ln a ，( )f x的单调递减区间为 1 ln, a . （2）因为 2 2 1 ( ) 24 xx a g xeaeax，所以 2 ( ) xx g xeaea. 依题意， 2 0 40 a aa ，解得4a . 因为 1 x， 2 x是 g x的极值点，所以 1212 xxxx eeeea，则 12 lnxxa. 12 g xg x 1122 22 22 12 11 2424 xxxx aa eaeaxeaeax 1212 2 22 12 1 22 xxxx a eea eea
27、 xx 121212 2 2 12 1 2 22 xxxxxx a eee ea eea xx 2 22 1 2ln 22 a aaaaa lnaaa. 所以，由 1212 g xg xxx，可得lnlnaaaa. 因为4a ，ln0a .所以等价于 ln a a a . 令( ) ln x xx x ，则 2 22 ln1(ln )ln1 ( )1 (ln )(ln ) xxx x xx ，(4,)x 因为 2 2 13 (ln )ln1ln0 24 xxx ，所以( )0 x. 所以( )x在(0,)单调递增，且 2 (4)4 ln2 . 所以， 2 ( )4, lnln2 a aa a . 所以的取值范围是 2 ,4 ln2 .
