1、 【六年级奥数教程】 第 26 讲 获胜对策 获胜对策是指在数学游戏中按指定的规则轮流进行，怎样才能获胜的方法，获胜的关键是设 计一种可操作的不受外界干扰的策略 采用一般的分析和倒推的方法常常可以帮助我们发现其中的规 律，找出取胜的方法 例 1 有一筐橘子共 68 个，甲、乙两人轮流从中拿走 1 个或 2 个橘子规定谁拿到最后一个橘 子，谁获胜如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？ 思维点拨 甲要取胜，甲必须先拿到第 68 个橘子才行依此向前倒推，甲先拿到第 65 个，第 62 个，第 59 个第 5 个，第 2 个. 例 2 甲、乙两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报 1 个或 2 个数，
2、例如第 1 个人可以报 1，第 2 个人可以报 2 或 2，3；第 1 个人也可以报 1，2，第 2 个人可以报 3 或 3，4这 样连续报下去，谁报到 36，谁就胜请问：甲怎样才能获胜，是先报还是后报？ 思维点拨 我们从后面往前想，假如甲报 35，乙报 36，乙获胜，假如甲报 34，那么乙报 35，36， 乙也获胜因此，甲要想获胜，必须先报 33，要报 33，必须先报 30依次类推，第 1 步必须先报 3 例 3 有分别装 10 根和 14 根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时在两盒 中取，也不能不取规定取到最后火柴者为胜问：甲先取时是否有必胜的策略？ 思维点拨 甲要取胜，
3、关键是让乙面临平衡态，这里的平衡态是两堆火柴相等 例 4 在黑板上写有 109 个数：1，2，3，4，108，109，甲先擦掉其中一个数，然后乙再擦去 一个数，如此轮流下去若最后剩下两个数互质，则甲胜；否则乙胜按此规则，甲必胜的策略是什 么？ 思维点拨 甲先擦去 109， 剩下的 108 个数， 分为108 2 54(个)数对：(1， 2)，(3，4)， ， (105， 106)，(107，108)，可见每一对数中的两个数互质，如乙擦去某一对中的一个数，甲接着擦去这对中 的另一个数，这样乙、甲轮流地擦，总是一对数一对数地，最后剩下的一对数必然互质. 例 5 n 个“”排成一行，甲、乙两人轮流改
4、写“”为“”，每次只准改一个或相邻的两 个，先得全部“”者胜，若甲先改，请问：甲是否有必胜的策略？ 思维点拨 若 n1，甲必胜；若 n2，甲也必胜；若 n3，甲先改第 2 个“”为“”，这时 剩下的两个“”不相邻，且关于“”对称，甲必胜；若 n4，甲先改第 2，3 个“”为“”， 这时剩下的两个“”不相邻，且关于中间的“”对称，甲必胜以此类推，甲有必胜的策略， 例 6 有三堆棋子，每堆分别有 1 个、3 个、9 个棋子，甲、乙两人轮流从这些棋子中取走(不再 放回)棋子规定： (1)轮到谁取，谁至少取走 1 个棋子；来源:学。科。网Z。X。X。K (2)每次只能从同一堆取走棋子，取走的数目不限(
5、也可以把这堆全部取走)； (3)最后一个取到棋子者胜来源:学科网 问：是先取者有必胜的把握还是后取者有必胜的把握？ 思维点拨 若三堆棋子数出现 1 个、2 个、3 个这种情形，谁先拿谁输，因为不论先取的人怎样 取棋子，后取者都可以造成两堆同样多的情形而获胜因此，先 取者应设法使这三堆棋子数出现 1 个、2 个、3 个这种情形. 课内练习 1有一筐苹果共 80 个，甲、乙两人轮流从中拿走 1 个或 2 个苹果规定谁拿到最后 1 个苹果， 谁就获胜如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？ 2甲、乙两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报 1 个或 2 个数，而且必须报 1 个或 2 个 数，比如：第
6、1 个人报 1，第 2 个人接着报 2 或 2，3；第 1 个人报 1，2，第 2 个人就接着报 3 或 3， 4这样继续下去，谁报出 66，谁就获胜，问：甲怎样才能获胜，是先报还是后报？ 3在装有 12 根和 18 根的两盒火柴中，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时在两盒中 都取，也不能不取规定取到最后火柴者为胜，问：甲先取时是否有必胜的策略？ 4在黑板上写下数：2，3，4，2008甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数(甲先擦，乙后 擦)如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜问：谁获胜？必胜的策略是什么？来源:学,科,网 5甲、乙两人轮流在一张长方形桌面上放壹分、贰分、伍分硬币规定每人
7、每次只能放一枚， 硬币平放不能有重叠部分，放好的硬币不再移动，只要桌面上能放下去，这三种硬币要多少个有多少 个， 谁放了最后一枚使得对方再也找不到地方放上一枚硬币就算赢了 那么放第一枚硬币的必胜策略 是什么？ 来源:学,科,网Z,X,X,K 6有三堆棋子，每堆分别有 2 个、3 个、10 个棋子甲、乙两人轮流从三堆中的一堆拿走一个 或几个棋子(甚至把这堆棋子拿光)，但每次不准一个不拿，也不准从这堆拿几个，从那堆拿几个，谁 拿到最后一个棋子，谁就获胜，那么先取棋子的人若想胜，应采取怎样的策略？来源:学科网 ZXXK 来源:学_科_网Z_X_X_K 课外作业 1一堆棋子有 98 个，甲、乙两人轮流
8、从中任取，每次取的个数不超过 2 个(可取 1 或 2 个)，谁 拿到最后一个棋子，谁获胜，如果甲先拿，那么他有无必胜的策略？ 来源:学_科_网 2甲、乙两人轮流报数，规定每次报数都是不超过 8 的自然数把两人报的数累加起来，谁先 得到 88，谁就获胜，问：甲怎样才能获胜，是先报还是后报？ 3有两堆火柴，由两人轮流从其中任意一堆火柴中取出一根或几根，每次至少要取出一根，而 且不能同时从两堆里取，谁最后把火柴取完，谁就获胜，那么，怎样才能确保获胜？ 4在黑板上写下数：2，3，4，2n1，2n2，甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数(甲先 擦，乙后擦)，如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜问：谁
9、必胜？必胜的策略是什么？ 5黑板上写有 1998，1999，2000，2001，2096，2097，甲，乙两人轮流划掉任意相邻的 4 个数，如果甲划过后乙不能划了，则算甲胜，甲必胜的策略是什么？ 来源:学科网 ZXXK 6现有三堆棋子，每堆分别有 17 个、15 个、3 个棋子甲、乙两人轮流从三堆中的一堆拿走一 个或几个棋子(甚至把这堆棋子拿光)， 但每次不准一个也不拿， 也不准从这堆拿几个， 从那堆拿几个， 谁拿到最后一个或几个棋子，谁就获胜，那么先取棋子的人若想取胜，应采用怎样的策略？ 7有一个 33 的棋盘方格以及 9 张大小与小方格相同的卡片，在每一张卡片上分别写有 1，3， 4，5，
10、6，7，8，9，10 这几个数，甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到 9 格中的一格，由甲方 计算上、下两行 6 个数字的和，乙方计算左、右两列 6 个数字的和，和数大的一方为胜试问：甲方 (先取的一方)一定 能胜吗？ 8甲、乙两人抓棋子，共有棋子 2005 个规定最多抓 3 个，最少抓 1 个，谁抓到最后一个棋子 就算输，若甲先抓问：乙是否有必胜的策略？来源:Z.xx.k.Com 9 一筐苹果共 85 个， 甲、 乙两人轮流从中取出 1 个或 2 个， 规定谁拿到最后一个苹果谁就获胜 甲 想获胜，应如何做？ 10.甲、乙两人轮流在 2004 粒棋中取走 1 粒、3 粒、5 粒或 7 粒棋子，
11、甲先取，取到最后 1 粒者 为胜甲、乙两人谁能获胜？ 你知道吗 小华对小强说： “如果你把自己的年龄乘以 67然后把乘积的市两位数字告诉我，我就能马 上猜出你的年龄来 ” 小强不信，要试一试，就说我的年龄乘上 67 的末两位数字是 05你说我几岁?小华立刻说 你 15 岁，小强一听，果然正确！ 你知道，小华为什么那么快就猜出小强的年龄吗？ 因为任何一个两位数乘以 201.所得积的末两位仍是原来这个两位数，现在被猜的人把 自己的年龄乘以 67,我再把他的积的市两位乘 13就相当于把他的年龄乘以 201,而取末 两位，正是被猜的人的年龄.小强年龄是 15 岁，15671005，取丰两位 05315
12、.做乘以 3 的乘法可以口算，所以很快就能说出来! 第 26 讲获胜对策 培优教程 例 1 683222，甲先拿，拿 2 个，以后无论乙拿几个，都确保每次和乙拿的和是 3 个， 这样甲定能获胜 例 2 36312.甲要获胜，甲必须后报，且每次报的数的个数和乙报的个数合起来是 3 个，则 甲一定获胜 例 3 甲先取，并从 14 根火柴的盒中取出 4 根，使两盒火柴相等，然后乙取几根，则甲就在另 一盒中取几根，甲必取到最后的火柴，因而获胜， 例 4 甲先擦去 109.剩下 108 个数按顺序配对：(1，2)(3，4)，(5，6)，(107，108)，乙 擦一个数，甲就擦配对的另一个数，最后的两个数
13、必然互质 例 5 当 n 为奇数时，甲先改中间的那个 “”为“”，以此为对称中心，然后每当乙改动 时，甲都取其中心对称上的“”作改动，甲必胜 当 n 为偶数时，甲先改中间两个“”为“”，以此为对称中心，然后每当乙改动时，甲都取 其中心对称上的“”作改动，甲必胜所以甲有必胜的策略 例 6 先取者有获胜的策略，先取者先从 9 个一堆中取走 7 个，使三堆的棋子数为 1，3，2，这 样最后能获胜 针对性训练 课内练习 1甲先拿，确保拿到第 2 个，第 5 个，第 8 个第 77 个，最后拿第 80 个 2(1)甲必须后报；(2)乙报 a 个数 (1a2)则甲就报(3a)个数，甲最终必胜 3甲先从装有
14、 18 根火柴的盒中取走 18126(根)，使两盒火柴数相等，然后，乙从某一盒中 取多少根，甲就从另一盒中取同样的根数，这样，乙始终面临两盒数量相等的火柴，甲必取到最后的 火柴，故甲必胜 4甲必胜甲先擦去 2008，剩下的 2006 个数顺序配对：(2，3)，(4，5)， (2004，2005)， (2006，2007).乙擦去一个数，甲就擦去配对的数，最后剩下的一对数必然互质 5获胜者必先放，且将第一枚硬币放在对称中心上乙若在某处放得下壹分、贰分、伍分中的 任一硬币，则甲必定根据中心对称找出另一可放下同样硬币的地方由于桌面大小是有限的，最终是 乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜 6甲先从 10
15、 个一堆中取走 9 个，使三堆棋子数成为 2，3，1 型，这时不论乙怎样取棋子，甲都 可以造成两堆棋子同样多的情形而最终获胜 课外作业 1有甲先拿，确保拿到第 2 个，第 5 个第 95 个，最后拿第 98 个 2(1)甲必须先报； (2)甲必须第 1 次先报到 7，以后根据对方报的数再报“凑够 9”的数，这样甲必先得到 88 3(1)若两堆火柴的根数相等，获胜的策略是：让对方先取；每次对方在一堆中取走几根火 柴，你就在另一堆中也取走几根火柴这样，每次你都给对方留下相同根数的两堆火柴，最后对方不 得不将一堆中的火柴取完，而你可以拿走另一堆中的全部火柴而获胜 (2)若两堆火柴的根数不相等，获胜的
16、策略是：先从多的一堆火柴中，取走两堆相差的根数， 给对方留下数量相等的两堆火柴；按照(1)的方法取胜 4 甲必胜 甲先擦去 2n2， 剩下 2n 个数， 即 2n22(对)， 按顺序配 n 对： (2， 3)， (4， 5)(2n， 2n1)乙擦去一个数，甲就擦去配对的数，最后剩下的一对数必互质 5. 19982097 这 100 个连续的自然数，最中间的一组是 2046，2047，2048，2049 这四个数甲 要保证必胜，第一步应划掉 2046，2047，2048，2049，然后不管乙如何划，再到甲划时，甲只要与 乙关于 2046，2047，2048，2049 对称地划，则甲必胜 6(1)
17、甲先在 17 个棋子的一堆中取走 5 个，17512(个)，1284，158421，32 1，这样三堆棋子符合两两配对的要求 (2)若乙取完后变成 12，6，3.1284，642，321.甲在 12 个棋子那一堆中取走 7 个， 这样三堆棋子数就为 5，6，3，而 541，642，321，符合两两配对的要求 (3)若乙把棋子数取成 5，2，3，甲接着取成 1，2，3，则甲必胜 7因为 11039，如图，甲应先将 1 放进 B 格，接下来，如果乙把 10 放进 D 格，甲再把 9 放进 A 格，这时无论乙怎样放，C 格中一定放大于或等于 3 的数，因而甲一定获胜，如果乙将 3 放进 A 格，甲只
18、需将 9 放进 C 格，甲也一定获胜 8.200545011若甲先抓，无论甲抓几个，乙总能使自己抓的和甲抓的和为 4，这样各 自抓了 501 次后剩下 1 个，这时轮到甲取，不得不取最后 1 个而以失败告终，所以甲先取必输，乙后 取必胜其取胜的策略是使自己所取的数始终保持与甲先取的数的和为 4 9有办法，甲应先取 1 个，然后乙取，无论乙取 1 个还是 2 个，甲始终保持与乙拿的和为 3 个， 这样甲必能拿到最后 1 个而获胜 10.乙必胜2004 是偶数，因为只能取 1，3，5，7 粒，都是奇数粒，所以取偶数次才能取到偶 数，甲先取只能一直取到奇数粒，乙后取，取到的都是偶数来源:Z&xx&k.Com
