1、 1 2021 届高三年适应性考试模拟考 数学试题 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分) 1已知集合 A1,0,1,2，Bx|02- 2 1，b1 且 ab(ab)1，那么( ) Aab 有最小值 22 2 Bab有最大值 22 2 Cab有最小值 32 2 Dab 有最大值 1 2 11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过P所 作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( ) A1 B2 C3 D4 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现了数列：1，1，2，3，5，8， 2 该数列的
2、特点是： 前两项均为 1， 从第三项起， 每一项都等于它前面两项的和 人们把这个数列 n f 称为斐波那契数列. 将数列 n f中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记为 n g，则下列 结论正确的有( ) A. 2019 2g B. 22 212322202221 0ffffff C. 1232019 2688gggg D. 2222 123201920182020 2ffffff 第卷(非选择题 共 90分) 三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分) 13.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有算数书 、 九章算术 、 周髀算经 、 孙子算 经等，有 3 名中学生
3、计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本） ，要求每 人至少阅读一种古典数学著作， 每种古典数学著作有且只有一人阅读， 则不同的阅读方案的总数有 _种.（用数字作答） 14. 已知数列 n a中， 37 2,1aa若 1 n a 为等差数列，则 5 a 15张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之 五 . 已 知 三 棱 锥ABCD的 每 个 顶 点 都 在 球O的 球 面 上 ，AB 底 面BCD ， 32BCCDABCDBC，且，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为_. 16.已知函数 2 31, x f xxxg xe，若关于x的
4、不等式 f xmg x的解集中恰好有一 个整数，则实数 m 的取值范围是_. 四、解答题四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题 满分 10 分） 在 222 2bacac， 3 c o ss i naB bA， s i nc o s2BB 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_， 3 A ，2b，求ABC 的面积 18.（12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 2 , nn S Snn nN .数列 n b为等比数列，且 14 11aa，分别 为数列 n b第
5、一项和第二项. （1）求数列 n a与数列 n b的通项公式； （2）若数列 1 11 n nnn c a ab ，设数列 n c的前 n 项和为 n T，证明： 113 244 n T. 19.(12 分)如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BEFC，CEFFCB90 ， AD 3，EF2. (1)求证：AE平面 DCF； (2)当 AB的长为何值时，二面角 AEFC的大小为 60 . 20.（12分）已知函数 x aexxxfsin)(，其中a为实数，e是自然对数的底数 (1)若 a1，证明：f (x)0； (2)若 f (x)在(0，)上有唯一的极值点，求实数 a的
6、取值范围 21.(满分 3 12分)2015年，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医 学奖以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法目前，国 内青蒿人工种植发展迅速调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿 度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合 格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标xyz的值评定人工种植的青蒿的长势等级 ：若4，则长势为一级；若23，则长势为二级；若01，则长势为三级，为了了解 目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工
7、种植地，得到如下结果 种植地编号 A1 A2 A3 A4 A5 (x，y，z) (0,1,0) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) 种植地编号 A6 A7 A8 A9 A10 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,2) (2,0,1) (2,2,1) (0,2,1) (1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人 工种植地中任取一块，其综合指标为n，记随机变量Xmn，求X的分布列及其期望 22. .(满分 12 分)已知椭圆E： 22 22 1
8、0 xy ab ab 经过点 3 1, 2 P ，且离心率 1 2 e . （1）求椭圆E的方程； （2）若M，N是椭圆E上异于P的两点，直线PM，PN的斜率分别为 1 k， 2 k且 12 1kk ， PDMN，D为垂足.是否存在定点Q，使得DQ为定值？若存在，请求出Q点坐标及定值.若 不存在，请说明理由. 2021 届高三年适应性考试模拟考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B B B C D C CD AC AB AB 4 13. 36 14. 4 3 15 1010 16. - ,- 2 ee（ 部分客观题解析部分客观题解析 8.C 连接
9、 A，B 与左右焦点 F， F 的连线，由120AFB， 由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF为平行四边形，60FAF， 在三角形AFF中， 2 222 2cos3FFAFAFAF AFFAFAFAFAF AF， 所以 2 2 2 33 2 AFAF AFAFFFAF AF ，即 2 2 1 4 AFAFFF 即 22 1 44 4 ac，可得 1 2 c e a ，所以椭圆的离心率 1 ,1 2 e 10ab1(ab) 2 ) 2 ( ba (当且仅当 ab1 时取等号)， 即(ab)24(ab)40 且 ab2，解得 ab22 2， ab 有最小值 22 2，知 A 正确； 由 ab(a
10、b)1，得 ab1ab2 ab(当且仅当 ab1 时取等号)， 即 ab2 ab10 且 ab1，解得 ab32 2， ab 有最小值 32 2，知 C 正确 11.解析：选 AB 圆 C 的方程为 x2y24x0，则圆心为 C(2,0)，半径 R2. 设两个切点分别为 A，B，则由题意可得四边形 PACB 为正方形，故有 PC 2R2 2， 圆心到直线 yk(x1)的距离小于或等于 PC2 2， 即|2k0k| k21 2 2，解得 k28，可得2 2k2 2， 实数 k 的取值可以是 1,2.故选 A、B. 12.对于 A 选项： 123456789101112 11,2,3,1,0,1,
11、12310gggggggggggg， ， 数列 n g 是以 6 为最小正周期的数列，又20196 336+3 ，所以 2019 2g，故 A 选项正确； 对于 C 选项： 1232019 3361+1+2+3+1+0 + 1+1+22692gggg， 故 C 选项错误； 对于 B 选项：斐波那契数列总有： +2+1+nnn fff， 12 nnn fff 0)()()()()()( 21222221202222212321 2 212220 2 222321 ffffffffffffffff， 故 B 正确； 对于 D 选项： 2 12+2+1112 + nnn fffffff f， 2 2
12、2312321 fffff ff f， 2 33423432 fffff ff f， 2 +112121nnnnnnnn ffffffff 。 所以 2222 1232019 ffff 122312343220182019201820172019202020192018 +f ff ff ff ff fffffffff 20192020 ff，故 D 选项错误. 17解：选 222 2bacac 由余弦定理 222 22 cos 222 acbac B acac ，因为0,B，所以 4 B 3 分 由正弦定理 sinsin ab AB 得， 2 sinsin 34 a ，所以3a 6 分 因为
13、 3 A ， 4 B ，所以 5 12 C ，所以 62 sin 4 C 8 分 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC 10 分 选3 cossinaBbA，由正弦定理得3sincossinsinABBA，因为sin0A，3 分 所以3cossinBB，所以tan3B ，因为0,B，所以 3 B ， 6 分 因为 3 A ， 3 B ，所以 3 C ， 8 分 所以 3 2 ABC S 10 分 选sincos2BB，则2sin2 4 B ，所以sin1 4 B ， 2 分 因为0,B，所以 5 , 444 B ，所以 42 B ，所以 4 B 4 分 5 由正弦定理得
14、sinsin ab AB ， 2 sinsin 34 a ，所以3a 6 分 因为 3 A ， 4 B ，所以 5 12 C ，所以 62 sin 4 C 8 分 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC 10 分 19.(12分)(1)证明 过点 E作 EGCF，垂足为点 G，连接 DG， 可得四边形 BEGC 为矩形， 又四边形 ABCD 为矩形， ADBCEG，ADBCEG， 四边形 ADGE 为平行四边形， AEDG， 2分 又 DG平面 DCF，AE平面 DCF， 3 分 AE平面 DCF. 4 分 (2) 解 BCCD，平面 ABCD平面 BEFC，交线为BC，
15、CD平面 BEFC. 以 C 为原点，分别以 CB，CF，CD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 ABa， BEb，CFc，（bc ） 则 C(0,0,0)，A( 3，0，a)，B( 3，0,0)，E( 3，b,0)，F (0，c,0)， 5分 因为EF ( 3，cb,0)，CE( 3，b,0)， 且EF CE0，|EF|2， 所以 3bcb0， 3cb22， 解得 b3，c4， 所以 E( 3，3,0)，F (0,4,0)， 7 分 （用平面几何或三角函数知识求得（用平面几何或三角函数知识求得 BE=3，CF=4 的，请参照评分的，请参照评分.） 设 n(x，y，z)
16、与平面 AEF 垂直， 则 n AE 0， n EF 0， 即 3yaz0， 3xy0， 令x1，解得n) 33 , 3, 1 ( a ， 9分 又因为AB平面BEFC，BA (0,0，a)， 10 分 所以BAn,cos|BA n| |BA |n| 3 3 4a227 1 2， 11分 得到a9 2，当 AB9 2时，二面角 AEFC的大小为60 . 12 分 20.（12分） (1)证明 a1时， x exxxfsin)(， 令 g(x)exx，则 g(x)ex1， 1分 当 x0 时，g(x)0 时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数， 函数g(x)的极小值也是最小值为1)0(g，
17、 3 分 所以 g(x)g(0)1，而xsin1，所以 exxxsin，即 f (x)0. 5分 (2)解 f (x)在(0，)上有唯一的极值点等价于 f(x) x aex1cos0 在(0，)上有唯一的变号 零点， f(x)0 等价于 a x e x1cos ， 6分 设 h(x) x e x1cos ，x(0，)， 6 h(x) x e xx1cossin x e x) 4 sin(21 ， 7 分 x(0，)，) 4 5 , 4 ( 4 x， 当 0x 2时， ) 4 3 , 4 ( 4 x， 2 2 ) 4 sin( x，h(x)0，h(x)在) 2 , 0( 上为减函数， 当 2x0
18、，h(x)在), 2 ( 上为增函数， 函数h(x)的极小值也是最小值为 2 1 ) 2 ( e h， 10 分 又 h(0)0，h() e 2 ， 11 分 所以当0 2 a e 时，方程 a x e x1cos 在(0，)上有唯一的变号零点， 所以 a 的取值范围是)0 , 2 e 12分 21.解：(1)由表可知：空气湿度指标为0的有A1； 空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10； 空气湿度指标为2的有A4，A6，A7. 所以空气湿度的指标z相同的概率PC 2 6C 2 3 C210 153 45 2 5.5分 (2)计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表： 编号
19、 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3 其中长势等级是一级的(4)有 A2，A3，A4，A6，A7，A9，共 6 个，长势等级不是一级的(4)有 A1，A5，A8，A10，共 4 个 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5. P(X1)C 1 3 C 1 2 C16 C14 1 4，P(X2) C13 C11C12 C12 C16 C14 7 24， P(X3)C 1 3 C 1 1C 1 2 C 1 1C 1 1 C 1 2 C16 C14 7 24， P(X4)C 1 1 C 1 1C 1 2 C 1 1 C1
20、6 C14 1 8，P(X5) C11 C11 C16 C14 1 24，10分 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 4 7 24 7 24 1 8 1 24 所以E(X)11 42 7 243 7 244 1 85 1 24 29 12.12分 22. 解： （1）由 1 2 c e a ，得2ac， 22 4ac， 2222 3bacc. 1 分 因为 2 22 3 12 1 ab ， 所以 2 22 3 12 1 43cc ， 2 分 解得： 2 1c ， 2 3b ， 2 4a . 3 分 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy . 4 分 （2）方法一： 设 11 ,
21、M x y， 22 ,N x y，由题意得直线MN的斜率一定存在，直线MN的方程为ykxm， 则 联立 22 1 43 xy ykxm ，消y得： 222 4384120kxkmxm， 6 分 2222 644 434120k mkm ，得： 22 430km， 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 7 分 1221 12 12 1212 33 33 11 22 22 1111 yxyx yy kk xxxx 1221 12 33 11 22 11 kxmxkxmx xx 7 121212 1212 3 2(23) 2 1 kx xmxxk x
22、xm x xxx 2 222 2 22 412388 2(23) 4324343 4128 1 4343 mkmkm kmkm kkk mkm kk 2 22 24126129 412843 kkmmk mkmk . 由 12 1kk 得： 22 81023120kkmmmk， 9 分 即(223)(4)0kmkm， 当2230km ，直线 33 (1) 22 ykxkk x 过定点 3 1, 2 P ，舍去. 当40km，直线4(4)ykxkk x过定点4,0T. 此时， 222 433 120kmk，得 11 22 k，存在直线过定点4,0T. 11 分 当Q为P，T的中点，即 5 3 ,
23、 2 4 Q ，此时 2 2 1133 5 (4 1)0 2224 PDQT . 12 分 方法二： 由方法一得 22 81023120kkmmmk. 由mykx代入得： 22 810 ()2()3() 120kk ykxykxykxk， 222 2108(104312)230 xxkyxyxkyy， 令 2 2 21080 1043120 230 xx yxyx yy ，解得： 4 0 x y 或 1 3 2 x y （舍去）. 当直线过定点4,0T时，4mk， 222 433 120kmk，得 11 22 k， 当Q为P，T的中点，即 5 3 , 2 4 Q ，此时 2 2 1133 5 (4 1)0 2224 PDQT .
