1、第一单元 图形的变换 图形变换的基本方式是平平移移、对对称称和旋旋转转。 1 1、 轴轴对对称称: :如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合, 这样的图形叫做轴轴 对对称称图图形形,这条直线叫做对称轴。 (1)学过的轴对称平面图形:长长(正正)方方形形、圆圆形形、等等腰腰三三角角形形、等等边边三三角角形形、等等腰腰 梯梯形形 等腰三角形有 1 条对称轴, 等边三角形有 3 条对称轴, 长方形有 2 条对称轴, 正方形有 4 条对称轴, 等腰梯形有 1 条对称轴, 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 (2)圆圆有有无无数数条条对对称称轴轴。 (3)对对称称点点到到对对称称轴轴的的距距离离
2、相相等等。 (4)轴对称图形的特征和性质: 对应点到对称轴的距离相等; 对应点的连线与对称轴垂直; 对称轴两边的图形大小、形状完全相同。 (5)对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平平行行四四边边形形(除除棱棱形形)属属于于中中心心对对称称 图图形形。 2 2、旋旋转转:在平面内,一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较 做旋转,定点 O 叫做旋旋转转中中心心,旋转的角度叫做旋旋转转角角,原图形上的一点旋转后成为 的另一点成为对应点。 (1)生生活活中中的的旋旋转转:电电风风扇扇、车车轮轮、纸纸风风车车 (2)旋转要明确绕点,角度和方向。 (3)长长方方形形绕绕中中点点旋旋转
3、转 180 度度与与原原来来重重合合,正正方方形形绕绕中中点点旋旋转转 90 度度与与原原来来重重合合。 等等边边三三角角形形绕绕中中点点旋旋转转 120 度度与与原原来来重重合合。 旋旋转转的的性性质质: (1)图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动; (2 2)其其中中对对应应点点到到旋旋转转中中心心的的距距离离相相等等; (3)旋转前后图形的大小和形状没有改变; (4)两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转角; (5)旋旋转转中中心心是是唯唯一一不不动动的的点点。 3、对对称称和和旋旋转转的的画画法法:旋转要注意:顺时针、逆时针、度数 第二单
4、元 因数和倍数 1、整整除除:被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数。 整数与自然数的关系:整数包括自然数。 2、因因数数、倍倍数数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍倍数数,小数是大数的因因数数。 例:12 是 6 的倍数,6 是 12 的因数。 (1 1)数数 a a 能能被被 b b 整整除除,那那么么 a a 就就是是 b b 的的倍倍数数,b b 就就是是 a a 的的因因数数。因数和倍数是相互 依存的,不能单独存在。 (2 2)一一个个数数的的因因数数的的个个数数是是有有限限的的,其其中中最最小小的的因因数数是是 1 1,最最大大的的因因数数是是它它本本身身。 一个数的因数的求法
5、:成对地按顺序找。 (3 3)一一个个数数的的倍倍数数的的个个数数是是无无限限的的,最最小小的的倍倍数数是是它它本本身身。 一个数的倍数的求法:依次乘以自然数。 (4)2、3、5 的的倍倍数数特特征征 1) 个位上是 0,2,4,6,8 的数都是 2 2 的的倍倍数数。 2 2)一一个个数数各各位位上上的的数数的的和和是是 3 3 的的倍倍数数,这这个个数数就就是是 3 3 的的倍倍数数。 3 3)个个位位上上是是 0 0 或或 5 5 的的数数,是是 5 5 的的倍倍数数。 4 4)能能同同时时被被 2 2、3 3、5 5 整整除除(也也就就是是 2 2、3 3、5 5 的的倍倍数数)的的最
6、最大大的的两两位位数数是是 9 90 0,最最小小的的 三三位位数数是是 1 12 20 0。 同同时时满满足足 2 2、3 3、5 5 的的倍倍数数,实实际际是是求求 2 23 35 5= =3 30 0 的的倍倍数数。 5 5)如如果果一一个个数数同同时时是是 2 2 和和 5 5 的的倍倍数数,那那它它的的个个位位上上的的数数字字一一定定是是 0 0。 3、完完全全数数:除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完完全全数数。 如:6 的因数有:1、2、3(6 除外),刚好 1+2+3=6,所以 6 是完全数,小小的的 完完全全数数有有 6、28 等等 4:自然数按能不能被 2 整除
7、来分:奇奇数数、偶偶数数。 奇数:不能被 2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是 1、3、5、7、9 的数。 偶数:能被 2 整除的数叫偶数(0 0 也也是是偶偶数数),也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数。 最小的奇数是 1,最小的偶数是 0. 关关系系: 奇奇数数+ +、- -偶偶数数= =奇奇数数 奇奇数数+ +、- -奇奇数数= =偶偶数数 偶偶数数+ +、- -偶偶数数= =偶偶数数。 5、自然数按因数的个数来分:质质数数、合合数数、1 1、0 0 四四类类. 质质数数(或或素素数数):只只有有 1 1 和和它它本本身身两两个个因因数数。 合合数数:除除了了 1 1 和和它它本本身
8、身还还有有别别的的因因数数(至至少少有有三三个个因因数数:1 1、它它本本身身、别别的的因因数数)。 1 1:只有 1 个因数。“1 1”既既不不是是质质数数,也也不不是是合合数数。 最最小小的的质质数数是是 2 2,最最小小的的合合数数是是 4 4,连连续续的的两两个个质质数数是是 2 2、3 3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到,质质数数相相乘乘一一定定得得合合数数。 2 20 0 以以内内的的质质数数:有有 8 8 个个(2 2、3 3、5 5、7 7、1 11 1、1 13 3、1 17 7、1 19 9) 1 10 00 0 以以内内的的质质数数有有 2 25 5 个个:2、3、5
9、、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100 以内找质数、合数的技巧: 看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数,是的就是合数,不是的就是质数。 关系:奇数奇数=奇数 质数质数=合数 6、最最大大、最最小小 A 的最小因数是:1; A 的的最最大大因因数数是是:A; A 的最小倍数是:A; 最最小小的的自自然然数数是是:0; 最小的奇数是:1; 最最小小的的偶偶数数是是:0 0; 最最小小的的质质数数是是:2 2; 最最小小的的合合数数是是:4 4; 7、分分解解质质因因数数:把一个合数分解成多个
10、质数相乘的形式。 用短短除除法法分解质因数 (一一个个合合数数写写成成几几个个质质数数相相乘乘的的形形式式)。 比如:30 分解质因数是:(30=235) 8 8、互互质质数数:公公因因数数只只有有 1 1 的的两两个个数数,叫叫做做互互质质数数。 两个质数的互质数:5 和 7 两个合数的互质数:8 和 9 一质一合的互质数:7 和 8 两两数数互互质质的的特特殊殊情情况况: 1 和任何自然数互质; 相邻两个自然数互质; 两两个个质质数数一一定定互互质质; 2 2 和和所所有有奇奇数数互互质质; 质数与比它小的合数互质; 9、公公因因数数、最最大大公公因因数数 几几个个数数公公有有的的因因数数
11、叫叫这这些些数数的的公公因因数数。其其中中最最大大的的那那个个就就叫叫它它们们的的最最大大公公因因数数。 用短短除除法法求两个数或三个数的最大公因数 (除到互互质质为止, 把所所有有的的除除数数连连乘乘起 来) 几个数的公因数只有 1,就说这几个数互质。 如如果果两两数数是是倍倍数数关关系系时时,那那么么较较小小的的数数就就是是它它们们的的最最大大公公因因数数。 如如果果两两数数互互质质时时,那那么么 1 1 就就是是它它们们的的最最大大公公因因数数。 10、公公倍倍数数、最最小小公公倍倍数数 几个数公有的倍数叫这些数的公公倍倍数数。其中最小的那个就叫它们的最最小小公公倍倍数数。 用短短除除法
12、法求求两两个个数数的最小公倍数(除到互互质质为止,把所所有有的的除除数数和和商商连连乘乘起来) 用短短除除法法求求三三个个数数的最小公倍数 (除到两两两两互互质质为止, 把所有的除除数数和和商商连乘起来) 如果两数是倍数关系时,那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时,那么它们的积就是它们的最小公倍数。 1 11 1、求求最最大大公公因因数数和和最最小小公公倍倍数数方方法法 用 12 和 16 来举例 1、求法一:(列举求同法) 最大公因数的求法: 12 的因数有:1、12、2、6、3、4 16 的因数有:1、16、2、8、4 最最大大公公因因数数是是 4 4 最小公倍数的求法: 1
13、2 的倍数有:12、24、36、48、 16 的倍数有:16、32、48、 最小公倍数是 48 2、求法二:(分解质因数法) 12=223 16=2222 最大公因数是: 22=4(相同乘) 最小公倍数是: 22322= 48(相同乘不同乘) 第三单元 长方体和正方体 1、由 6 个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。 两两个个面面相相交交的的边边叫叫做做棱棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分 别叫做长方体的长、宽、高。 长长方方体体特特点点: (1)有 6 个面,8 个顶点,12 条棱,相对的面的面积相等,相对的棱的长度相等。 (2 2)一
14、一个个长长方方体体最最多多有有 6 6 个个面面是是长长方方形形,最最少少有有 4 4 个个面面是是长长方方形形,最最多多有有 2 2 个个面面是是正正 方方形形。 2、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正正方方体体(也也叫叫做做立立方方体体)。 正正方方体体特特点点: (1)正方体有 12 条棱,它们的长度都相等。 (2)正方体有 6 个面,每个面都是正方形,每个面的面积都相等。 (3)正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体,它是一种特特殊殊的的长长方方体体。 相不同点 同 点 面棱 长方体都有 6 个面,12 条棱, 8 个顶点。 6 个面都是长方形。 (有可能有两个相对的面是正方形) 。 相对的棱的长度都