1、2020-2021 学年度第一学期期末学业水平诊断学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学高三数学 注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上. 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求. 1.已知集合04Pxx， lg3Qx yx ，则PQ（ ） A.34xx B.34xx C. 03xx D.03xx 2.已知命
2、题:pxR ，0 xx，则p为（ ） A. 0 xR， 00 0 xx B. 0 xR， 00 0 xx C.x R，0 xx D.x R，0 xx 3.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 52S ， 4 22S ，则 7 a （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品.如图所示， 现有棱长为 2cm 的正方体水晶一块， 将其裁去八个相同的四面体， 打磨成某饰品， 则该饰品的表面积为 （单 位：cm2） A.124 3 B.164 3 C.123 3 D.163 3 5.若3cos28sin5，则t
3、an（ ） A. 2 5 5 B. 2 5 5 C. 5 3 D. 2 5 5 6.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 2m为半径，B为公园入口，道 路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，10OAm，100ABm，现计划从B处起修 一条新路与道路AC相连， 且新路在池塘的外围， 假设路宽忽略不计， 则新路的最小长度为 （单位： m）（ ） A.100 2 B.100 3 C.150 2 D.150 3 7 如图所示，平面向量OA，OB的夹角为 60，22OBOA，点P关于点A的对称点Q，点Q关 于点B的对称点为点R，则PR为（ ） A.3 B.2 3
4、 C.4 D.无法确定 8.已知函数 cos ,0 ,0 x x f x kx x ， 若方程 0f xfx有n个不同的实根，从小到大依次为 1 x， 2 x， 3 x， n x，则下列说法错误 的是（ ） A. 123 0 n xxxx B.当1n 时， 1 k C.当3n且0k 时， 3 3 1 tan x x D.当 1 2 x 时，3n 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9 将函数cos 2 3 yx 的图象向左平移 4 个单位长度得到函数 f x
5、图象，则（ ） A.sin 2 3 yx 是函数 f x的一个解析式 B.直线 7 12 x 是函数 f x图象的一条对称轴 C.函数 f x是周期为的奇函数 D.函数 f x的递减区间为 5 , 1212 kkk Z 10.已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，过F且斜率为2 2的直线交抛物线C于A、B两点，其 中A在第一象限，若3AF ，则（ ） A.1p B. 3 2 BF C.以AF为直径的圆与y轴相切 D.3OA OB 11.已知0a，0b，下列命题中正确的是（ ） A.若2ab，则lglg0ab B.若20ab ab ，则29ab C.若2ab，则 115 22 a ba
6、b D.若 111 123ab ，则146 6abab 12 已知函数 e1 x fxx， 1 lng xxx，则（ ） A.函数 f x在R上无极值点 B.函数 g x在0,上存在唯一极值点 C.若对任意0 x，不等式 2 lnf axfx恒成立，则实数a的最大值为 2 e D.若 12 0f xg xt t，则 12 ln 1 t xx 的最大值为 1 e 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 1 F， 2 F为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F作x轴的垂线交C于A、B两 点，若 12 2ABFF，则C的离心率为
7、 . 14 已知数列 n a满足 1 2a ， * ,N mnm n aaam n ，用 x表示不超过x的最大整数，则数列 2 log n a的前 10 项和为 . 15.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最 新高度为 8848.86 米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先 在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张 角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物 高度，如图所示，已知该建筑
8、物CP垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为 200m，60PAB， 45PBA，30PAC，则该建筑物CP的高度为 （单位：m）. 16.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球 缺的高，球缺的体积公式 2 3 3 VRh h ，其中R为球的半径，h为球缺的高若一球与一棱长为6的 正四面体的各棱均相切，则该球的半径为 ，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半 球）的体积为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在3 coss
9、in 2 AC abA ，cos3 sinabCcB， 222 22cosacabcabcC这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，2b， ，求ac的最大值. 注：如果选择多个条件分解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S， 1 1a ， 2 13 9 S . （1）求数列 n a的通项公式； （2）令21 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. 19.（12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M为线段PC
10、的中点， PDAD，N为线段BC上的动点. （1）证明：平面MND平面PBC； （2） 当点N在线段BC的何位置时， 平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为 30？指出点N的位 置，并说明理由. 20.（12 分） 在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O， 飞机降落曲线大致为 32 yaxbx，其中x（单位：m）表示飞机距离着陆点的水平距离，y（单位：m） 表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时的竖直高度为 4500m，距离着陆点的水平距离为 0 x， 飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲绯
11、与平方向的有线相切. （1）用x分别表示a和b： （2） 若飞机开始降落时的水平速度 150m/s， 且在整个降落过程中水平速度保持不变， 另外， 基于安全考虑， 飞机在降落过程中的竖直加速度 yt（即y关于降落时间t（单位：s）的导函数 y t的导数）的绝对值 不超过 1m/s2，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离 0 x的最小值. 21.（12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 1 F， 2 F为椭圆C的左，右焦点，过 1 F斜率不为零的 直线 1 l交椭圆于P，Q两点， 2 F PQ的周长为 8. （1）求椭圆C的方程 （2）设A为椭圆C的右
12、顶点，直线AP，AQ分别交直线 2: 4lx 于M，N两点，试判断以MN为直 径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由. 22.（12 分） 已知函数 1 x f xeax（aR，e为自然对数的底数） （1）若 f x在定义域内有唯一零点，求a的取值范围； （2）若 2x f xx e在0,上恒成立，求a的取值范围. 2020-2021 学年度第一学期学年度第一学期期末期末学业水平诊断学业水平诊断 高三数学高三数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、单项选择题 B B C A D A B D 二、多项选择题 9.BD 10.BCD 11.ACD 12.AD 三、填空题 13.2 1
13、14.29 15. 1003 1 16. 3 2 ， 3 34 12 四、解答题 17.解：若选：由已知得3sinsinsinsin 2 B ABA， 即 3sin2sincos 222 BBB . 化简得 3 cos 22 B ，因为0,B，所以 26 B ， 3 B . 又 222 1 cos 22 abc B ac ， 所以 22 42acacac，当且仅当ac时取等号， 故4ac，即ac的最大值为 4. 若选：由已知得sinsincos3sinsinABCCB， sinsincos3sinsinBCBCCB， sincoscossinsincos3sinsinBCBCBCCB， 化简得
14、cos3sinBB，即 3 tan 3 B ，因为0,B，所以 6 B . 由 222 3 cos 22 abc B ac ， 可得 22 342acacac，当且仅当ac时取等号， 故84 3ac ，即ac的最大值为84 3. 若选：由已知22cos2cosacacBabcC， 即2coscosacBbC， 又2sinsincossincosACBBC， 所以2sincossincoscossinsinsinABBCBCBCA. 所以 1 cos 2 B ，因为0,B，所以 3 B . 由 222 1 cos 22 acb B ac ， 得 22 42acacac，当且仅当ac时取等号， 故
15、4ac，即ac的最大值为 4. 18.解： （1）设数列 n a的公比为q， 于是 22 31 13 11 9 Saqqqq ， 解得 1 3 q 或 4 3 q ， 因为0q ，所以 1 3 q ， 所以 1 1 3 n n a . （2）由（1）可得， 1 21 3 n n n b ， 221 572121 3 3333 n nn nn T ， 21 1352121 33333 n nn nn T ， 两式相减可得， 21 222221 3 33333 n nn n T 22 21 33 3 1 3 1 3 n n n 1 121 4 33 nn n ， 所以 1 2 6 3 n n n
16、T . 19.解： （1）因为PD 底面ABCD，BC 面ABCD，所以PDBC， 又CDBC，PDCDD，所以BC 平面PCD， 又DM 平面PCD，所以DMBC， 因为在PDC中，PDAD，M为PC的中点，所以DMPC， 又PCBCC，所以DM 平面PBC， 又DM 平面DMN，所以平面MND 平面PBC； （2）设1PD ，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直 角坐标系Dxyz，设,1,0N，则1,0,1AP ，0,1,0AB ，,1,0DN， 1 1 0, 2 2 DM . 设 111 ,mx y z为平面PAB的一个法向量， 则有 0 0 m
17、AP m AB ，即 11 1 0 0 xz y ，令 1 1x ，可得1,0,1m ， 设 2 , xx nx y z为平面MND的一个法向量， 则有 0 0 n DN n DM ，即 22 22 0 11 0 22 xy yz ，令 2 1x ，可得；1,n ， 因为平面MND与平面PAB夹角为30，所以 3 2 m n m n ，. 即 2 13 2 2 12 ，解得 1 2 ， 故N为线段BC的中点. 20.解： （1）设 32 f xaxbx. 则 2 32fxaxbx， 由题意可知， 0 0 4500 0 f x fx ，即 32 00 2 00 4500 320 axbx axb
18、x 解得 3 0 9000 a x ， 2 0 13500 b x . （2）由（1）可知， 32 32 00 900013500 ( )f xxx xx ， 0 0,xx， 设飞机降落时间为t，则 0 150 xxt， 则 32 00 32 00 900013500 150150y txtxt xx ， 0 0,150 x t ， 2 0 3 0 607500000 150y ttx t x ， 0 3 0 607500000 300yty ttx x ， 0 0,150 x t ， 当0t 或 0 150 x 时， yt取最大值 2 0 607500000 x ，故 2 0 6075000
19、00 1 x ， 可得 0 4500 30 x . 所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为4500 30米. 21.解：由题意48a，2a，因为 1 2 c a ，所以1c， 而 222 abc，所以3b ， 故椭圆的方程为： 22 1 43 xy ， （2）由（1）知 1 1,0F ，设 1 l的方程为：1xty，代入 22 1 43 xy 得： 22 34690tyty， 设 11 ,P x y， 22 ,x y，则 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t ， 因为 11 1xty，所以 11 11 23 AP yy k xty ， 所以直线AP的方程
20、为： 1 1 2 3 y yx ty ， 令4x，得 1 1 6 3 M y y ty ， 所以 1 1 6 4, 3 y M ty ， 同理可得 2 2 6 4, 3 y N ty ， 若以MN为直径的圆过长轴上定点H，则0MH NH， 设,022H mm ，则 1 1 6 4, 3 y MHm ty ， 1 2 6 4, 3 y NHm ty ， 于是 2 12 12 36 40 33 y y m tyty 对任意实数t恒成立， 所以 2 12 2 1212 36 40 39 y y m t y yt yy ， 而 2 12 2 2 1212 22 9 36 36 34 9 96 39 3
21、9 3434 y y t t t y yt yy tt tt 所以 2 49m， 解得1m或7m， 因为22m ，所以1m. 22.解： （1） x fxea， 当0a， 00 f ， f x在R上单调递增， 又 1 110fa e ， 110fea ，由零点存在定理知，函数 f x在R上有唯一零点，符合 题意. 当0a，令 0fx得lnxa， 当,lnxa ， fx， f x单调递减，ln ,xa， 0fx， f x单调递增， 所以 ln min lnln1ln1 a f xfaeaaaaa . 设 ln10g aaaaa，则 1ln1lng aaa ， 当01a时， 0g a， g a单调
22、递增， 当1a 时， 0g a， g a单调递减， 所以 max 10g ag，故1a ， 综上，实数a的取值范围为 01a aa或. （2） 2ex f xx对0,x恒成立，即 2 11 x xeax对0,x恒成立， 记 2 1e11e xx h xxxx， 当1a 时，设函数 1 x m xx e，则 0 x m xxe，因此 m x在0,单调递减， 又 01m，故 1m x ， 所以 111h xx m xxax ； 当01a时，设函数 1 x n xex ，则 10 x n xe ，所以 n x在0,单调递减， 且 00n，故1 x ex. 当01x时， 2 11h xxx， 2 2 1111xxaxxaxx ， 取 0 541 2 a x ，则 0 0,1x， 2 000 1110 xxax ，故 00 1h xax， 当0a，取 0 51 2 x ，则 0 0,1x ， 2 0000 1111h xxxax . 综上，a的取值范围为1,.
