2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市高二 （上） 期末数学试卷 （理学年黑龙江省齐齐哈尔市高二 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 1 | 2 Ax x， |(1)Bx ylnx，则(AB ) A |2x x B |12xx C 1 |0 2 xx D 1 |1 2 xx 2 （5 分）抛物线 2( 0)yax a的焦点F坐标为

2、( ) A 1 (0,) 2a B( 4 a ，0) C 1 (0,) 4a D( 2 a ，0) 3 （5 分）已知 0.3 2a ， 3 log 2b ， 2 log 0.3c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccba Dcab 4 （5 分）下列说法正确的是( ) A “( 0 ) 0f”是“函数( )f x是奇函数”的必要不充分条件 B若pq为假命题，则p，q均为假命题 C命题“ 0 (0,)x， 00 1lnxx”的否定是“(0,)x ，1lnxx” D “若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” 5 （5 分）为了研究某药品

3、的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压 数据（单位：)kPa的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17， 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第 三组中有疗效的人数为( ) 第 2 页（共 21 页） A6 B8 C12 D18 6 （5 分）古希腊数学家欧几里德在公元前 300 年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除 法如图，若输入m，n的值分别为 779，209，则输出的(m ) A17 B18 C19 D20 7 （

4、5 分）在区间 1，2上任取一个实数k，则直线(5)yxk与圆 22 1xy相交的概 率为( ) A 3 4 B 1 3 C 2 3 D 1 2 8 （5 分） “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可 以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1 1”问题它是 1742 年由数学家哥 德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当 好的成绩若将 8 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( 第 3 页（共 21 页） ) A 2 7 B 1 4 C 4 7 D 1 2 9 （5 分）设、是两个不同的平

5、面，m、n是两条不同的直线，有下列命题： 如果mn，m，/ /n，那么； 如果m，/ /n，那么mn； 如果/ /，m，那么/ /m； 如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么/ /； 其中正确的命题是( ) A B C D 10（5 分） 已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的表面上， 底面ABCD是矩形， 侧面PAD 底面ABCD，PAD为等腰直角三角形， 2 PAD ，24ABAD，则球O的表面积为( ) A20 B24 C80 D96 11 （5 分）已知椭圆 22 :1 164 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F的直线l与椭圆C 交于A，B两点，且AMMB

6、， 22 2OF MMOF ，则直线l的斜率为( ) A 1 3 B 1 3 C 3 4 D 3 4 12 （5 分）已知双曲线 22 :1 916 xy C，其左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M的坐标为(3,2)， 双曲线C上的点 0 (P x， 00 )(0yx ， 0 0)y 满足 11121 112 | FP FMFFFM FPFF ，则 1 PMF与 2 PMF 面积的差 12 ( PMFPMF SS ) A2 B2 C4 D6 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把正确答案写在答题卡相应题的横线把正确答案写在答

7、题卡相应题的横线 上上. 13 （5 分）某市共有 800 家企业，其中中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为n的样本，已知从国有企业中抽取了 12 家，那么n 14 （5 分） 已知一组数据 1 21， 2 21，21 n ， 的平均数为 4.8， 那么数据 1 ， 2 ， 第 4 页（共 21 页） ， n 的平均数为 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作x轴 的垂线与

8、C交于A，B两点， 1 FB与y轴相交于点D，若 1 BFAD，则双曲线C的渐近线 方程为 16 （5 分）如图，一个圆柱被与其底面成30角的平面所截，截口为椭圆，截面的上、下两 部分分别有球 1 O和球 2 O与之相切，切点分别为E、F，且两球均与圆柱的侧面相切，若圆 柱的一条母线l与两个球的公共点分别为A、B，与椭圆的公共点为P，4AB ，则球 1 O的 半径为 ；截口椭圆的离心率等于 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 222 b

9、acac （1）求角B的大小； （2）求sinsinsinABC的取值范围 18 （12 分）2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面 预选着陆区 在顺利完成月面自动采样之后， 成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨 道，并于 12 月 17 日1:59分精准返回着陆期间，历经 23 天、往返路程超过 76 万公里嫦 娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破 为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好， 某校航空航天社团在本校高一年级进行了 第 5 页（共 21 页） 纳新工作前五天的报名情况如表： 时间（第x天） 1 2 3

10、 4 5 报名人数y（人) 3 6 10 13 18 数据分析表明， 报名人数与报名时间具有线性相关关系 ybxa， 据此请你解决以下问题： （1）求y关于x的线性回归方程，并预测第 8 天的报名人数（结果四舍五入取整数） ； （2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团 成员 6 人，其中女生 2 名，男生 4 名，现欲从中任选 2 人作为面试评委，求选出的 2 人中恰 有一个男生和一个女生的概率 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx ， a ybx 19 （12 分

11、）已知 n a是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为 n S， 1 2a ，且 2 a， 4 a， 8 a 成等比数列 （1）求 n a和 n S； （2）若 1 ( 2) n a n n b S ，数列 n b的前n项和为 n T，且 1 n m T n 对任意的*nN恒成立， 求实数m的取值范围 20（12分） 已知点 0 (M x，3)在抛物线 2 :2(0)C xpy p上，F为抛物线C的焦点，| 4MF （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率为(0)k k的直线 1 l交抛物线C于A，B两点，过点F且与直线 1 l垂直 的直线 2 l交抛物线C于D，E两点，求|ABDE的最小

12、值 21 （12 分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AC， 1 CC的 中点， 1 2 2 ABBCAAAC （1）证明： 1 / /BC平面 1 A BD； （2）求二面角 1 DABE的余弦值 第 6 页（共 21 页） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 1 2 e ，F为椭圆的右焦点，P为椭 圆上的动点，|PF的最大值为 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）A，B分别为椭圆C的左、 右顶点， 过点F作直线交椭圆C于M，N两点， 直线AM、 BN交于点T，试探究点T是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线

13、方程，若不是，请 说明理由 第 7 页（共 21 页） 2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市高二 （上） 期末数学试卷 （理学年黑龙江省齐齐哈尔市高二 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 1 | 2 Ax x， |(1)Bx ylnx，则(AB ) A |2x x B |12xx C 1 |0 2 xx D 1 |1

14、2 xx 【解答】解： 1 |, |1 2 Ax xBx x， 1 |1 2 ABxx 故选：D 2 （5 分）抛物线 2( 0)yax a的焦点F坐标为( ) A 1 (0,) 2a B( 4 a ，0) C 1 (0,) 4a D( 2 a ，0) 【解答】解：当0a 时，整理抛物线方程得 2 1 xy a ， 1 2 p a 焦点坐标为 1 (0,) 4a 当0a 时，同样可得焦点坐标为 1 (0,) 4a 故选：C 3 （5 分）已知 0.3 2a ， 3 log 2b ， 2 log 0.3c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccba Dcab 【解答】解： 0

15、.30 221a ， 333 0log 1log 2log 31b， 22 log 0.3log 10c ， abc， 故选：C 4 （5 分）下列说法正确的是( ) A “( 0 ) 0f”是“函数( )f x是奇函数”的必要不充分条件 B若pq为假命题，则p，q均为假命题 C命题“ 0 (0,)x， 00 1lnxx”的否定是“(0,)x ，1lnxx” 第 8 页（共 21 页） D “若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” 【解答】解：(0)0f”推不出“函数( )f x是奇函数” ，反之也不成立，所以“(0)0f” 是“函数( )f x是奇函数”

16、的既不充分也不必要条件，所以A不正确； 若pq为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以B不正确； 命题“ 0 (0,)x， 00 1lnxx”的否定是“(0,)x ，1lnxx” ，所以C不正确； 若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” ，满足否命题的形式，所以D 正确； 故选：D 5 （5 分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压 数据（单位：)kPa的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17， 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图

17、已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第 三组中有疗效的人数为( ) A6 B8 C12 D18 【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第 二组的频率分别为 0.24，0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36， 所以第三组的人数：18 人， 第三组中没有疗效的有 6 人， 第三组中有疗效的有 12 人 故选：C 6 （5 分）古希腊数学家欧几里德在公元前 300 年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除 第 9 页（共 21 页） 法如图，若输入m，n的值分别为 779，209，则输出的(m

18、 ) A17 B18 C19 D20 【解答】解：由题意，输入m，n的值分别为 779，209， 第一次循环：779m ，209n ，152r 第二次循环：209m ，152n ，57r 第三次循环：152m ，57n ，38r 第四次循环：57m ，38n ，19r 第五次循环：38m ，19n ，0r 结束循环，此时19m 故选：C 7 （5 分）在区间 1，2上任取一个实数k，则直线(5)yxk与圆 22 1xy相交的概 率为( ) A 3 4 B 1 3 C 2 3 D 1 2 【解答】解：圆 22 1xy的圆心为(0,0)， 圆心到直线(5)yxk的距离为 22 |5 | 1 k k

19、 ， 要使直线(5)yxk与圆 22 1xy相交，则 22 |5 | 1 1 k k ，解得 1 2 k 1 2 第 10 页（共 21 页） 在区间 1，2上随机取一个数k，使(5)yxk与圆 22 1xy相交的概率为 11 () 1 22 2( 1)3 故选：B 8 （5 分） “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可 以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1 1”问题它是 1742 年由数学家哥 德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当 好的成绩若将 8 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的

20、概率为( ) A 2 7 B 1 4 C 4 7 D 1 2 【解答】解：将 8 拆成两个正整数的和， 基本事件有：178，268，358，448，538，628，178，共 7 个， 拆成的和式中，加数全部为质数包含的基本事件有：358，538，共 2 个， 则拆成的和式中，加数全部为质数的概率 2 7 p 故选：A 9 （5 分）设、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，有下列命题： 如果mn，m，/ /n，那么； 如果m，/ /n，那么mn； 如果/ /，m，那么/ /m； 如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么/ /； 其中正确的命题是( ) A B C D 【解答】解：由

21、，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知： 在中，如果mn，m，/ /n，则/ /或l，故不正确； 在中，m，/ /n，那么mn，满足直线与平面垂直的判断定理，故正确 在中，/ /，m，那么/ /m；满足直线与平面平行的判断方法，所以正确； 在中，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，如果两个平面相交，也可以满足 第 11 页（共 21 页） 条件，推出/ /；不正确，所以错误； 故选：B 10（5 分） 已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的表面上， 底面ABCD是矩形， 侧面PAD 底面ABCD，PAD为等腰直角三角形， 2 PAD ，24ABAD，则球O的表面积为( ) A20 B2

22、4 C80 D96 【解答】解：底面ABCD是矩形，侧面PAD 底面ABCD，PAD为等腰直角三角形， 2 PAD ， 故PA，AD，AB两两互相垂直，且2PAAD，4AB ， 四棱锥PABCD的顶点都在以PA，AD，AB为长宽高的长方体的外接球的表面上， 故球的半径为： 222 1 2246 2 R ， 球O的表面积为 2 424sR 故选：B 11 （5 分）已知椭圆 22 :1 164 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F的直线l与椭圆C 交于A，B两点，且AMMB， 22 2OF MMOF ，则直线l的斜率为( ) A 1 3 B 1 3 C 3 4 D 3 4

23、【解答】解：设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y， 将A，B两点的坐标代入椭圆方程可得： 22 11 22 22 1 164 1 164 xy xy ， 两式作差可得： 12121212 ()()()() 0 164 xxxxyyyy ， 因为AMMB，则M是AB的中点，所以 120 2xxx， 120 2yyy， 则 120 120 ()1 ()4 yyy xxx ，即 1 4 ABOM kk， 又 22 2OF MMOF ，所以 2 tan OM MOFk， 22 tan(2)tan2 AB MOFMOF k， 第 12 页（共 21 页）

24、 所以 2 21 14 OM ABOMOM OM k kkk k ，解得 1 3 OM k， 所以 3 4 AB k， 所以直线l的斜率为 3 4 ， 故选：C 12 （5 分）已知双曲线 22 :1 916 xy C，其左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M的坐标为(3,2)， 双曲线C上的点 0 (P x， 00 )(0yx ， 0 0)y 满足 11121 112 | FP FMFFFM FPFF ，则 1 PMF与 2 PMF 面积的差 12 ( PMFPMF SS ) A2 B2 C4 D6 【解答】解：双曲线 22 :1 916 xy C的3a ，4b ，5c ， 11121 1

25、12 | FP FMFFFM FPFF ， 11112 | cos| cosMFMFPMFMFF， 112 MFPMFF ， 1( 5,0) F 、 2(5,0) F，点(3,2)M， 1 | 2 17MF， 2 | 2 2MF ， 12 | 210FFc， 故由余弦定理可得 222 1122 12 112 |68 10084 cos 2| |2 2 17 1017 MFFFMF MFF MFFF ， 2 1212 15 cos2cos1 17 PFFMFF ， 2 1212 8 sin1 17 PFFcosPFF， 12 12 12 sin8 tan cos15 PFF PFF PFF ，

26、直线 1 PF的方程为 8 (5) 15 yx 把它与双曲线联立可得 16 (5,) 3 P， 1 34 | 3 PF， 12 1 sin 17 MFF， 1 1 34134 2 17 23317 S MPF ， 2 11616 2 233 PMF S ， 第 13 页（共 21 页） 12 3416 6 33 PMFPMF SS 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把正确答案写在答题卡相应题的横线把正确答案写在答题卡相应题的横线 上上. 13 （5 分）某市共有 800 家企业，其中中外合资企业 160 家，私营企业

27、 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为n的样本，已知从国有企业中抽取了 12 家，那么n 40 【解答】解：某市共有 800 家企业，其中中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家 用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为n的样本， 已知从国有企业中抽取了 12 家，则 12 800240 n ， 解得40n 故答案为：40 14 （5 分） 已知一组数据 1 21， 2 21，21 n ， 的平均数为 4.8， 那么数据 1 ，

28、2 ， ， n 的平均数为 1.9 【解答】解：设数据 1 ， 2 ， n 的平均数为x， 则数据 1 21， 2 21，21 n 的平均数为214.8x ， 解得1.9x 故答案为：1.9 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作x轴 的垂线与C交于A，B两点， 1 FB与y轴相交于点D，若 1 BFAD，则双曲线C的渐近线 方程为 2yx 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意， 设 1 F、 2 F的坐标分别为(,0)c，( ,0)c， 把xc代入 22 22 1 xy ab 得， 2 (

29、,) b A c a ， 2 ( ,) b B c a ， 直线 1 BF的方程为 2 () 2 b yxc ac ，令0 x ，则 2 (0,) 2 b D a ， 1 BFAD， 1 1 BFAD kk，即 22 2 2 1 2 bb b aa acc ，化简得 422 34ba c， 又 222 cba， 42 3( )4( )40 bb aa ，解得： 2 2 2 b a ， 2 2 2 3 b a （舍去） 2 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故答案为：2yx 16 （5 分）如图，一个圆柱被与其底面成30角的平面所截，截口为椭圆，截面的上、下两 部分分别有球 1 O和

30、球 2 O与之相切，切点分别为E、F，且两球均与圆柱的侧面相切，若圆 柱的一条母线l与两个球的公共点分别为A、B，与椭圆的公共点为P，4AB ，则球 1 O的 半径为 3 ；截口椭圆的离心率等于 第 15 页（共 21 页） 【解答】解：如图，在得到的截口曲线上任取一点P，得| |APPE，| |PFPB，所以 | | | 42PEPFAPPBBAa，且2|aEF，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点 E，F为焦点因为椭圆面与底面成30角，所以2sin603OE ，即则球 1 O的半径 为3 又22sin302EF ，22c，则该椭圆的离心率 1 2 c e a 三、解答题：共三、解答题：共 70

31、 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 222 bacac （1）求角B的大小； （2）求sinsinsinABC的取值范围 【解答】解： （1）因为 222 bacac， 由余弦定理可得 222 1 cos 22 acb B ac ， 由于(0, )B， 所以 3 B （2） 23333 sinsinsinsinsinsin()sincos3sin() 3322262 ABCAAAAA ， 因为 2 (0,) 3 A ，可得( 66 A ， 5 ) 6 ，可得 1 sin

32、() 1 26 A ， 所以 33 3 33sin() 622 A ，可得sinsinsinABC的范围是( 3， 3 3 2 18 （12 分）2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面 预选着陆区 在顺利完成月面自动采样之后， 成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨 道，并于 12 月 17 日1:59分精准返回着陆期间，历经 23 天、往返路程超过 76 万公里嫦 娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破 第 16 页（共 21 页） 为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好， 某校航空航天社团在本校高一年级进行了 纳新

33、工作前五天的报名情况如表： 时间（第x天） 1 2 3 4 5 报名人数y（人) 3 6 10 13 18 数据分析表明， 报名人数与报名时间具有线性相关关系 ybxa， 据此请你解决以下问题： （1）求y关于x的线性回归方程，并预测第 8 天的报名人数（结果四舍五入取整数） ； （2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团 成员 6 人，其中女生 2 名，男生 4 名，现欲从中任选 2 人作为面试评委，求选出的 2 人中恰 有一个男生和一个女生的概率 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx

34、 y b xxxnx ， a ybx 【解答】解： （1）由题意，计算 1 (12345)3 5 x ， 1 (26101318)10 5 y ， 所以 5 1 2 5 2 1 5 18753 1037 3.7 555910 5 i ii ii x yx y b xx ， 103.7 31.1aybx ， 所以y关于x的线性回归方程为3.71.1yx， 计算8x 时，3.7 8 1.128.529y ， 即可预测第 8 天的报名人数约为 29 人； （2）设社团成员 6 人中女生 2 名为A、B，男生 4 名为c、d、e、f， 现从中任选 2 人，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、

35、Bd、Be、Bf、cd、ce、 cf、de、df、ef共 15 种， 选出的 2 人中恰有一个男生和一个女生的基本事件是Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、 Bf共 8 种， 故所求的概率值为 8 15 P 19 （12 分）已知 n a是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为 n S， 1 2a ，且 2 a， 4 a， 8 a 第 17 页（共 21 页） 成等比数列 （1）求 n a和 n S； （2）若 1 ( 2) n a n n b S ，数列 n b的前n项和为 n T，且 1 n m T n 对任意的*nN恒成立， 求实数m的取值范围 【解答】解： （1）设数列 n a的

36、公差为0d ，由 2 a， 4 a， 8 a成等比数列，可得 2 428 aaa， 2 (23 )(2)(27 )ddd，化为： 2 20dd，又0d ，解得2d 22(1)2 n ann 2 (22 ) 2 n nn Snn （2）由题意可得： 2 111 ( 2)2 (1)1 nn n b n nnn ， 数列 n b的前n项和为 1 2(21)111111 121 2 122311 n n n T nnn ， 1 n m T n ， 1 (1) 2(2) n nnm 令 1 ( )(1) 2(2) n f nnn ， 则 1 (1)( )(3) 210 n f nf nn ，即(1)(

37、)f nf n， 数列 ( )f n单调递增 ( )minf nf（1）5 1 n m T n 对任意的*nN恒成立，5m 实数m的取值范围是(，5 20（12分） 已知点 0 (M x，3)在抛物线 2 :2(0)C xpy p上，F为抛物线C的焦点，| 4MF （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率为(0)k k的直线 1 l交抛物线C于A，B两点，过点F且与直线 1 l垂直 的直线 2 l交抛物线C于D，E两点，求|ABDE的最小值 【解答】解： （1）由抛物线的定义可得| 34 2 p MF ，解得2p ， 所以抛物线的方程为 2 4xy； （2）因为 12 ll， 1 l的斜率

38、为(0)k k， 第 18 页（共 21 页） 所以过点(0,1)F的直线 1 l的方程为1yxk， 所以DE的斜率为 1 k ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (D x， 3) y， 4 (E x， 4) y， 由 2 4 1 xy yx k ，可得 22 (42)10yy k， 22 (42)40k，即 2 0(0)kk恒成立， 又 2 12 24yy k，所以 2 12 |244AByyk， 同理可得 34 2 4 |24DEyy k ， 所以 22 22 44 | 48 2 4816ABDEk卥 kk ， 当且仅当 2 2 4 4k k ，即1k时，取

39、得等号 所以|ABDE的最小值为 16 21 （12 分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AC， 1 CC的 中点， 1 2 2 ABBCAAAC （1）证明： 1 / /BC平面 1 A BD； （2）求二面角 1 DABE的余弦值 第 19 页（共 21 页） 【解答】解： （）连接 1 B A与 1 A B交于点F，连接DF 因为 11 AA B B为平行四边形， 所以F为 1 AB的中点，又D为AC的中点， 所以 1 / /DFBC， 因为DF 平面 1 A BD， 1 BC 平面 1 A BD 所以 1 / /BC平面 1 A BD （2） 2 2

40、ABBCAC， 所以 222 ABBCAC 所以ABBC， 又因为 1 BB 底面ABC， 所以以点B为坐标原点建立空间坐标系如图所示 设 1 1ABBCAA，则2AC 第 20 页（共 21 页） 所以(0B，0，0)，(1C，0，0)，(0A，1，0)， 1 1 11 ( ,0),(1,0, ),(0,1,1) 2 22 DEA 设平面 1 A BD的法向量是 111 (,)mx y z， 1 (0,1,1)BA ， 1 1 ( ,0) 2 2 BD 由 1 0 0 m BA m BD 11 11 0 11 0 22 yz xy 令 1 1x ，得 1 1y ， 1 1z ， 所以(1,

41、1,1)m ， 设平面 1 A BE的法向量是 222 (,)nxyz， 1 (0,1,1)BA ， 1 (1,0, ) 2 BE 由 1 0 0 n BA n BE 22 22 0 1 0 2 yz xz 令 2 1x ，得 1 2y ， 2 2z ， 所以(1,2, 2)n 设二面角 1 DABE的平面角为，则 1223 coscos(,)cos, |339 m n m nm n m n 所以二面角 1 DABE的余弦值为 3 3 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 1 2 e ，F为椭圆的右焦点，P为椭 圆上的动点，|PF的最大值为 3 （1

42、）求椭圆C的标准方程； （2）A，B分别为椭圆C的左、 右顶点， 过点F作直线交椭圆C于M，N两点， 直线AM、 BN交于点T，试探究点T是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请 说明理由 【解答】解： （1）由题意可得 1 2 3 c a ac ，解得2a ，1c ， 所以 222 3bac， 故椭圆的方程为 22 1 43 xy ； （2）由题知，( 2,0)A ，(2,0)B，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 第 21 页（共 21 页） 设直线MN的方程为1xmy，代入椭圆的方程可得： 22 (43)690m ymy， 则 12 2 6 43 m yy m ， 12 2 9 43 y y m ， 设直线AM的方程为 1 1 (2) 2 y yx x 直线BN的方程为 2 2 2 2 y yx x 联立可得 12 21 (2)2 2(2) y xx xyx 又由 22 1 43 xy 可得 2 111 3 (2)(2) 4 yxx 由可得 2 112 12 121121 3 (2)(2)(2) (2)2 4 2(2)(2) xxx yxx xy yxy yx 2 1212 12 3()11 43 m y ym yy y y ， 则 21 23 x x ，解得4x ， 即T点在定直线4x 上