1、第 1 页 共 12 页 第第 7 章章 单元检测单元检测 一单项选择题：本大题共一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1sin600 tan240的值是（ ） A 3 2 B 3 2 C 1 3 2 D 1 3 2 【答案】B 【解析】由诱导公式得sin600tan240sin 180360tan 18060 sin60tan60 33 3 22 . 2已知点 P 33 (sin,cos) 44 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为( )
2、A 4 B 3 4 C 5 4 D 7 4 【答案】D 【解析】由 sin 3 4 0，cos 3 4 0 知，角 是第四象限的角，tan 3 cos 4 3 sin 4 1， 0,2)， 7 4 3为了得到函数sin 2 6 yx 的图象，可以将函数 cos2yx 的图象（ ） A向右平移 6 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向左平移 3 个单位长度 【答案】B 第 2 页 共 12 页 【解析】由 2 sin 2cos(2)cos( 2)cos2() 62633 yxxxx ，即为了得到函数 sin 2 6 yx 的图象，可以将函数 cos2yx 的图
3、象向右平移 3 个单位长度. 4下列函数中是奇函数的是（ ） A sinyxx B |cosf xxx C sinf xxx D |cosf xxx 【答案】A 【解析】对选项 A，因为 sinfxxxf x ，所以函数 sinyxx 为奇函数； 对选项 B，因为 cosfxxxf x ，所以函数 cosf xxx为偶函数； 对选项 C，因为 sinsinfxxxxxf x，所以函数 sinf x xx为偶函数； 对选项 D，因为 coscosfxxxxxf x ，所以函数 cosf xxx为偶函数. 5已知函数( )sin() 32 m f xx 在0,上有两个零点，则实数m的取值范围为（
4、） A 3,2 B3,2 C3,2 D 3,2 【答案】B 【解析】 第 3 页 共 12 页 函数( )sin() 32 m f xx 在0,上有两个零点，sin() 3 yx 与 2 m y 在0,上有 2个交点， 当0 x 时， 3 sin 32 y ，结合图象知： 3 1 22 m ，即32m 6已知a是实数，则函数 ( )1sinf xaax 的图象不可能是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由题知， ( )1sinf xaax 若 0, ( )1af x ，选项 C满足；若0 | | 1a ， sin |,|aaxaa ， ( )1 |,1 |f xaa ，其中1 | |
5、0a ，1 | | 2a ，函数周期 2 2 | T a ，选项 A 满足；若| | 1a ， sin |,|aaxaa ， ( )1 |,1 |f xaa ，其中1 | | 0a ，1 | | 2a ，函数周期 2 2 | T a ，选项 B 满 足；若| | 1a ，则 ( )1sin0,2f xaax ，且周期为2而选项 D 不满足以上四种情况，故图象不可能 是 D 7若 5 sin 13 ，且为第四象限角，则tan的值等于（ ） A12 5 B 12 5 C 5 12 D 5 12 【答案】D 【解析】 5 sin 13 ，且为第四象限角, 2 12 cos1 sin 13 ，则 si
6、n5 tan cos12 8下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是（ ） 第 4 页 共 12 页 Af(x)=cos 2x Bf(x)=sin 2x Cf(x)=cosx Df(x)= sinx 【答案】A 【解析】因为 sin|yx 图象如下图，知其不是周期函数，排除 D；因为coscosyxx，周期为2，排 除 C，作出cos2yx图象，由图象知，其周期为 2 ，在区间(,) 4 2 单调递增，A正确；作出sin2yx的 图象，由图象知，其周期为 2 ，在区间(,) 4 2 单调递减，排除 B，故选 A 二多项选择题：本大题共二多项选择题：本大题共 4 小题，每
7、小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分全对得分全对得 5 分，少选得分，少选得 3 分，多选、分，多选、 错选不得分错选不得分 9在单位圆 22 :1O xy上任取一点,P x y，圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O逆时针旋 转到OP所成的角为，记 , x y关于 的表达式分别为 xf， yg，则下列说法正确的是（ ） A x f是偶函数， yg是奇函数 B x f在, 2 2 为增函数， yg在, 2 2 为减函数 第 5 页 共 12 页 C 1fg对于0, 2 恒成立 D函数 2 1tf对于0, 2 恒成立 【答案】AC 【解析】依题意 cos ,sinxy所以 xf是偶函
8、数， yg是奇函数，A 选项正确； xf 在, 2 2 先增后减， yg在, 2 2 为增函数，所以 B 选项错误； cossinfg借助单位圆中的三角函数线， 可以证明 C 正确； 22costf，0, 2 ， 2cos0,2t，所以 D 选项错误 10已知函数 sinf xA x（0,0A）在1x 处取得最大值，且最小正周期为 2，则下列说法 正确的有( ) A函数 1f x是奇函数 B函数1f x是偶函数 C函数2f x在 0,1上单调递增 D函数3f x是周期函数 【答案】BCD 【解析】因为 sinf xAx在1x 处取得最大值，所以有2() 2 kkZ ， 又因为 sinf xAx
9、的最小正周期为 2，所以有 2 2,0 ， 因此 sinsin2cos 2 f xAxAxkAx 选项 A： 设( )1cos (1)cosg xf xAxAx ，因为 ()cos ()cos( )gxAxAxg x ， 第 6 页 共 12 页 所以m是偶函数，故本选项说法不正确；选项 B： 设( )1cos (1)cosh xf xAxAx，因为( )cos ()cos( )hxAxAxh x ， 所以( )1h xf x是偶函数，故本选项说法正确；选项 C： 设( )2cos (2)cosm xf xAxAx，因为0,1x，所以0,x，又因为0A ，所以函 数( )2m xf x在0,1
10、上单调递增，故本选项说法正确；选项 D： 设( )3cos (3)cosn xf xAxAx，函数 ( )n x最小正周期为： 2 2 ，所以本选项说法正确 11已知 (0, ) ， 1 sincos 5 ，则下列结论正确的是（ ） A , 2 B 3 cos 5 C 3 tan 4 D 7 sincos 5 【答案】ABD 【解析】 1 sincos 5 2 21 sincos 5 即 22 1 sin2sin coscos 25 24 2sin cos 25 ， (0, ) ，sin0，cos0，, 2 ，A 选项正确； 249 sincos12sin cos 25 ， 7 sincos
11、5 ，D 选项正确； 加得 4 sin 5 ，减得 3 cos 5 ，B 选项正确； 4 sin4 5 tan 3 cos3 5 ，C 选项错误 第 7 页 共 12 页 12已知函数 cos 6 f xx ，则（ ） A2为 f x的一个周期 B yf x的图象关于直线 4 3 x 对称 C f x在 , 2 上单调递减 Df x 的一个零点为 3 【答案】AD 【解析】根据函数 cos 6 f xx 知最小正周期为2，A正确；当 4 3 x 时， 443 coscos0 3362 f ，由余弦函数的对称性知，B错误；函数 cos 6 f xx 在 5 , 26 上单调递减，在 5 , 6
12、上单调递增，故C错误； 7 cos 6 f xx ， 73 coscos0 3632 f ，故D正确. 三填空题：本大题共三填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13若函数 2 ( )cossin(0)f xxaxb a的最大值为 0，最小值为4，则实数2ab_. 【答案】2 【解析】 2 sinsin)1(xaxfbx ，令sin ( 11)txt ，则 2 1( 11)tatbyt ，函 数的对称轴为 2 a t ， 当1 2 a ，即2a时， 110,2, 114,2, aba abb 当10 2 a ，即02a时， 2 ()()10 22 aa
13、 ab 且114ab ，此时方程组无解； 2, 2, a b ，所以22ab 第 8 页 共 12 页 14已知函数sin 3 x y 在区间0, t上至少取得 2 次最大值，则正整数t的最小值是 【答案】8 【解析】由题意，函数sin 3 x y ，可知最小正周期为 2 6T w ，可得 515 42 T ， 又由函数sin 3 x y 在区间0, t上至少取得 2 次最大值，如图所示，则满足 15 2 t ， 又因为 * tN，所以正整数t的最小值为8 15关于函数 4sin 2 3 f xxx R，有下列命题： （1） 4 3 yfx 为偶函数；（2）要得到函数 4sin2g xx 的图
14、象，只需将 f x的图象向右平移 3 个单位长度； （3） yf x的图象关于直线 12 x 对称； （4） yf x在0,2内的增区间为 5 0,12 和 11 ,2 12 其中正确命题的序号为_ 【答案】（2）（3） 【解析】 47 4sin 2 33 fxx 不为偶函数， f x的图象向右平移 3 个单位长度得 2 4sin 24sin2( ) 33 yxxg x ，4sin4 1263 f ，所以 yf x的图象关于直线 12 x 对称； 11311 ,22, 12323 xx 时 yf x有增有减所以正确命题的序号为（2） （3） 16函数 2 2 sincos2 ( ) 2cos
15、xxxx f x xx 的图象关于点 成中心对称，记函数的最大值为M，最小值为 N，则MN 【答案】(1,0) 2 第 9 页 共 12 页 【解析】 2 sin ( )1 2cos xx f x xx ，记 2 sin ( ) 2cos xx g x xx ，易证( )g x为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)中 心对称，( )g x的最大值和最小值之和为0，所以( )f x的图象关于点(1,0)，且2MN 四解答题：本大题共四解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 1
16、0 分） 已知是第三象限角， f sincos 2tan tansin . （1）化简 f； （2）若 31 cos 25 ，求 f的值； （3）若1920 ，求 f的值. 【解析】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，化简得 sincostan sincostan cos tansintansin f . （2）由诱导公式，得 33 coscossin 22 ，且 31 cos 25 ， 所以 1 sin 5 ，又因为是第三象限角，所以 2 2 6 cos1sin 5 ， 所以 2 6 ( )cos 5 f . （3）因为1920 ，则 1920cos1920cos1920ff 1 cos
17、5 360120cos120 2 . 18（本小题满分 12 分） 第 10 页 共 12 页 已知 sin()3sin() 2 ( ) 11 2cos()cos(5) 2 f . （1）化简 ( )f ； （2）已知tan3，求 ( )f 的值 【解析】（1） cos3sincos3sin ( ) 32sincos 2coscos 2 f ； （2） 1 3tan10 ( )2 2tan15 f 19（本小题满分 12 分） （1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角； （2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【解析】（1）设扇形的圆心角大
18、小为(rad)，半径为r，则由题意可得： 2 1 28,4 2 rrr 联立解得：扇形的圆心角2 （2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得240rl ， 扇形的面积 2 1 (10)100100 2 Slrr 当10r 时 S 取最大值，此时20l ，此时圆心角为2 l r ， 当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100 20（本小题满分 12 分） 已知 3sin 21 4 f xx （1）求 f x的图象是由 sinyx 的图象如何变换而来？ 第 11 页 共 12 页 （2）求 f x的最小正周期、最大值及其对应的x的集合 【解析】（1）将函数 sinyx
19、 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 3倍，得到函数 3sinyx 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到函数 3sin2yx 的 图象，再把所得函数的图象向左平移 8 个单位长度，得到函数3sin(2) 4 yx 的图象，最后把所得函 数的图象向下平移 1 个单位长度，得到函数( )3sin(2) 1 4 f xx 的图象 （2）对于函数( )3sin(2) 1 4 f xx ，它的最小正周期为 2 2 T ， 由22 42 xk ，kZ，求得 8 xk ，kZ， 此时 ( )f x的最大值为3 12 ，即对应的x的集合为, 8 x x
20、kk Z 21（本小题满分 12 分） 已知tR，函数 2 sin2 sin2yxtxt有最小值 ( ) t ，求 ( ) t 的解析式 【解析】设sinxm，则 1,1m ， 222 ( )22()2g mmtmtmttt， 所以1t 时， ( )g m在 1,1 上单调递增， ( )( 1)12241tgttt ； 11t 时， 2 ( )( )2tg ttt； 1t 时，( )g m在 1,1上单调递减，( )(1)1 221tgtt ； 综上， 2 1,1, ( )2 , 11, 41,1. t tttt tt 22（本小题满分 12 分） 函数sin0,0,0 2 yAxA 在0,7
21、x内只取到一个最大值和一个最小值，且当 第 12 页 共 12 页 x 时， max 3y；当6x时， min 3y . （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3） 是否存在实数m， 满足不等式 22 sin23sin4AmmAm？若存在， 求出m的 范围（或值）；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 由题意， 可得3A ， 1 65 2 T， 所以10T， 所以 21 5T ， 所以 1 3sin 5 yx . 由点,3在函数图象上，得3sin3 5 ， 因为0 2 ，所以 3 2510 ，所以 13 3sin 510 yx . （2）当 13 22 25102 kxkk Z时，即10410kxkkZ 时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为104 ,10kkkZ. （3）由题意，实数m满足 2 2 230 40 mm m ，解得12m . 因为 2 2 23144mmm ，所以 2 0232mm ，同理 2 042m ， 由（2）知函数在4 , 上单调递增，若 22 sin23sin4AmmAm， 只需 22 234mmm ，即 1 2 m 成立即可， 所以存在 1 ,2 2 m ，使 22 sin23sin4AmmAm成立.
