1、2021届高考理科数学模拟卷（全国卷）届高考理科数学模拟卷（全国卷） 一、选择题一、选择题 1.若 2 () 33 kk Z，则 2 的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.x轴上 D.y 轴上 2.已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2件检查，其次品数为，已知 16 (1) 45 P且该 产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( ) A.10% B.20% C.30% D.40% 3.已知等差数列 n a的前 n项和为 53 ,8,6 n SaS,则 107 SS的值是( ) A.24 B.48 C.60 D.72 4.已知点(2,0), (0, 2)AB
2、，若点 P在函数yx的图象上，则使得PAB的面积为 2的点 P的个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知数列 n a中, 11 1,3, nnn aaaS 为其前 n项和,则 2 017 S( ) A.3 009 B.3 025 C.3 010 D.3 024 6.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 12 ,O O,过直线 12 O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的 正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.12 2 B.8 2 C.12 D.10 7.已知椭圆 22 2 1(02) 4 xy b b ，直线1xy与椭圆交于,P Q两点，若OPOQ，则椭圆的离心 率为( )
3、A. 6 7 B. 7 7 C. 42 7 D. 2 7 7 8.已知奇函数 f x在R上是增函数,若 2 1 log 5 af , 2 log 4.1bf, 0.8 2cf,则, ,a b c的 大小关系为( ) A. abc B. bac C. cba D. cab 9.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点,E F分别为 11 ,AB AB的中点，则三棱锥CDEF的 外接球体积为( ) A.17 17 6 B. 31 31 16 C. 41 41 48 D. 67 67 56 10.若函数 log2 a yax 为增函数，则函数logayx的大致图象是( ) A. B.
4、 C. D. 11.已知数列 n a 的前 n项和为 n S，且 1 22 n n S ，数列 n b 满足 2 1 nn ba n ，若对于任意 * nN，不等式 1nn bb 都成立，则实数 的取值范围是( ) A. 1 () 3 , B. 1 , 3 C. 1 , 3 D.0 , 二、填空题二、填空题 12.已知向量, ,|3,| 2a b ab,且()aba,则向量 a和 b的夹角是 _,()aab_. 13.某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序，则同类节目 不相邻的排法种数是 . 14.若复数z满足i12iz ,其中i是虚数单位,则z的实部为
5、_. 15.若, x y满足约束条件 0, 20, 360, xy xy xy 则4zxy 的最大值为_. 三、解答题三、解答题 16.在ABC中，角A B C, ,的对边分别为a b c, ,，已知3,2,45acB. （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值. 17.血红蛋白是高等生物体内负责运输氧气的一种蛋白质血红蛋白的值现在多统一采用国际单位 制，以每升血液中有血红蛋白多少克为准血红蛋白的正常值因不同人群而有不同的范围，成年男 性的是120160g / L，成年女性的是110150g / L.成年男性的血红蛋白值低于120g
6、/ L，成年女性 的血红蛋白值低于110g / L即为贫血.某医师测得 20名成年男性和 20 名成年女性的血红蛋白值 (g / L)，并将所得数据整理后作出了如下频率分布直方图 （1）求成年男性、成年女性的贫血率 （2）根据贫血情况列出22列联表，并判断能否有95%的把握认为贫血与性别有关系 （3）从贫血的人中按照分层随机抽样的方法抽取 6人，现从这 6人中选 4 人到上级医院全面评估 其健康状况求其中至少有 3 名成年女性的概率. 附： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0
7、10 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18.已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点F与抛物线 2 C的焦点重合， 1 C的中心与 2 C的顶点 重合.过F且与x轴垂直的直线交 1 C于, A B两点，交 2 C于,C D两点，且 4 3 CDAB. （1）求 1 C的离心率； （2）设M是 1 C与 2 C的公共点.若5MF ，求 1 C与 2 C的标准方程. 19.如图，三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 A ACC 平面,ABCABC和 1 A AC都是正三角形，D是
8、AB的中点. （1）求证： 1 BC平面 1 ADC； （2）求二面角 11 ADCC的余弦值. 20.已知函数 2 ln1 2 a f xxxxb,Ra b. (1) 当-1b 时,讨论函数 f x的零点个数； (2) 若 f x在0,上单调递增,且 2 e a b c 求c的最大值. 21.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 2cos 22sin x y (为参数），以坐标原点 O 为极 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 1 sin 32 . (1)求直线 l的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程； (2)若直线 l与曲线
9、 C 相交于,M N两点，求MON的面积. 22.已知函数 54f xxx. (1)求不等式 12f x 的解集. (2)若关于x的不等式 1 3 210 a f x 恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案参考答案 1.答案：D 解析： 2 (),6 (),3 () 3322 kkkkkk ZZZQ.当 k 为奇数时， 2 的终边在 y 轴的非正半轴上；当 k 为偶数时， 2 的终边在 y 轴的非负半轴上.综上， 2 的终边在 y轴上，故 选 D. 2.答案：B 解析：设 10件产品中存在 n件次品，从中抽取 2件，其次品数为，由 16 (1) 45 P得 11 10 2 10 CC16 C4
10、5 nn ，化简得 2 10160nn，解得2n 或8n .又该产品的次品率不超过 40%， 4n，应取2n ，即这 10件产品的次品率为 2 20% 10 . 3.答案：B 解析：设等差数列 n a的公差为 d.由题意可得 51 31 48, 336, aad Sad 解得 1 0, 2. a d 则 10789101 32448SSaaaad.故选 B. 4.答案：C 解析：本题考查直线方程、点到直线的距离公式.由题知 22 222 2AB ，设PAB的高为 h， 则 1 2 22 2 PAB Sh，解得2h ，即点 P 到直线AB的距离为2.易知直线AB的方程为 20 xy.设点 , P
11、P P xx，则 2 2 2 PP xx ，即22 pP xx或22 PP xx .由得0 P x 或1 P x ；由知方程只有一个正实数根，所以点 P 的个数为 3，故选 C. 5.答案：B 解析：数列 n a中, 11 1,3 nn aaa ,可得 234 2,1,2,aaaL,即奇数项为 1,偶数项为 2,则 20171234201520162017 SaaaaaaaL333 13 1008 13025 L.故选 B. 6.答案：C 解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意得 2 2,8rh h,所以2,2 2rh,所以圆柱的表 面积为 22 222( 2)812rrh.故选 C. 7
12、.答案：C 解析：设 1122 ,P x yQ x y，由 22 2 1, 4 1, xy b xy 得 222 48440bxxb，所以 12 2 2 12 2 8 , 4 44 . 4 xx b b x x b 因为OPOQ，所以 12121212 210OP OQx xy yx xxx ，得 2 4 7 b ，所以椭圆的离心率 2 2 4 4 42 7 47 c e a . 8.答案：C 解析：由题意: 22 1 loglog 5 5 aff , 且: 0.8 22 log 5log 4.12,122, 据此: 0.8 22 log 5log 4.12, 结合函数的单调性有: 0.8 2
13、2 log 5log 4.12fff, 即,abc cba.本题选择 C 选项. 9.答案：C 解析：如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，连接 11 ,FC FD，三棱锥CDEF的外接球即为三 棱柱 11 C D FCDE的外接球，在CDE中，取CD中点 H，连接EH，因为EH为CD的垂直平分 线，所以CDE的外心在EH上，设为点 M，同理可得 11 C D F的外心 N，连接MN，则三棱柱外 接球的球心为MN的中点设为点 O，因为 2222 EMCMCHMH，2,1MHEM CH，可得 5 4 EMCM，所以 2 222 5 1 4 OCMOCM ，解得 41 4 OC ，所
14、以 3 44141 41 3448 V . 10.答案：A 解析：由函数log2 a yax 有意义可知0a 且1a ，故 2yax 为减函数， 又函数 log ()2 a yax 为增函数，所以 logayx 为减函数，故01a. 又当0 x 时，函数loglog aa yxx 单调递减， 且易知函数 logayx 为偶函数，所以函数 logayx 的图象为选项 A 中的图象. 11.答案：A 解析：当1n 时， 2 11 222aS，当2n 时， 1nnn aSS 1 22222 nnn ， 因为当1n 时， 1 1 22a ，所以数列 n a 的通项公式为2n n a ，所以 2 2 1
15、 n n b n . 因为 1nn bb ，所以 1 2 22 2 2 1 nn nn ，即 22 2 21nn ，得 42 21nn . 令 42 1 21 g xx xx ，则 22 42 21 gx xx 2 22 22 12 x xx 22 222 12 xx xx ， 易得2x 时， g x取得最大值，因为 * nN，所以 g n的最大值为 1g 或 2g ， 又 1 12 3 gg ，所以 1 3 ，故选 A 12.答案： 6 ;6 解析：设向量, a b的夹角为 ,因为|3,| 2ab,且()aba,所以 22 ()|cos32 3 cos0 abaaa baa b,解得 3 c
16、os 2 .又0,所以 6 , 所以 2 3 () | | cos32 36 2 aabaab. 13.答案：120 解析:先安排 3 个歌舞类节目，它们的次序有四种可能:1，3，5或 2，4，6或 1，3，6或 1，4，6. 对于前两种情况，其余节目任意排，共有66272 种排法；对于后两种情况，要注意 2 个小品 类节目不相邻，共有64248 种排法.综上所述，共有 120种排法. 14.答案：2 解析：复数 12i (12i)( i)2i i z 的实部是 2. 15.答案：15 解析：画出变量, x y满足约束条件的平面区域,如图中阴影部分所示.平移直线40 xy 至经过直 线0 xy
17、与360 xy的交点3,3A 时,4zxy 取得最大值, max ( 3)4315z . 16.答案：（1）在ABC中，因为3,2,45acB ， 由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 92232cos455b ， 所以5b . 在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ， 得 52 sin45sinC ， 所以 5 sin 5 C . （2）在ADC中，因为 4 cos 5 ADC ， 所以ADC为钝角， 而180ADCCCAD，所以C为锐角， 故 2 2 5 cos1sin 5 CC，则 sin1 tan cos2 C C C . 因为 4 cos 5 ADC ，所以
18、2 3 sin1cos 5 ADCMDC， sin3 tan cos4 ADC ADC ADC . 从而 tantan 180san()DACADCCADCC 31 tantan2 42 11tantan11 1 4 3 2 ADCC ADCC . 解析： 17.答案：（1）成年男性的贫血率为(0.0250.0250.125)20.35. 成年女性的贫血率为(0.050.100.150.40) 10.7 . （2）成年男性的贫血人数为200.357，成年女性的贫血人数为200.714. 根据贫血情况可得22列联表如下： 贫血 不贫血 合计 成年男性 7 13 20 成年女性 14 6 20 合
19、计 21 19 40 2 40 (7 6 14 13)280 4.9123.841 20 20 21 1957 k 所以有95%的把握认为贫血与性别有关系. （3）按分层随机抽样的方法抽取的这 6人中有成年男性 7 62 21 （人），成年女性 14 64 21 （人） 从这 6 人中选 4人，至少有 3名成年女性包括 1 名成年男性、 3 名成年女性和 4名成年女性两种情况，则至少有 3名成年 女性的概率 134 244 4 6 C CC3 C5 p . 解析： 18.答案：（1）由已知可设 2 C的方程为 2 4ycx，其中 22 cab. 不妨设, A C在第一象限，由题设得, A B的
20、纵坐标分别为 22 , bb aa ；,C D的纵坐标分别为2 , 2cc， 故 2 | 2 |,| 4 b BCDc a A. 由 4 | 3 CDAB得 2 8 4 3 b c a ，即 2 322 cc aa .解得2 c a （舍去）， 1 2 c a . 所以 1 C的离心率为 1 2 . （2）由（1）知2 ,3ac bc，故 22 1 22 :1 43 xy C cc . 设 00 ,M xy，则 22 00 22 1 43 xy cc ， 2 00 4ycx， 故 2 00 2 4 1 34 xx cc . 由于 2 C的准线为xc ，所以 0 |MFxc，而| 5MF |，故
21、 0 5xc，代入得 2 2 (5)4(5) 1 34 cc cc ，即 2 230cc，解得1c （舍去），3c . 所以 1 C的标准方程为 22 1 3627 xy ， 2 C的标准方程为 2 12yx. 解析： 19.答案：（1）如图，连接 1 AC，交 1 AC于点 E，连接DE， 由于四边形 11 A ACC是平行四边形，所以 E 是 1 AC的中点. 因为 D是AB的中点，所以 1 DEBC. 因为DE 平面 11 ,ADC BC 平面 1 ADC， 所以 1 BC平面 1 ADC. （2）如图，取AC的中点 O，连接 1 ,AO BO， 根据ABC和 1 A AC都是正三角形，
22、得 1 ,AOAC BOAC. 又平面 11 A ACC 平面ABC，平面 11 A ACC 平面ABCAC，所以 1 AO 平面ABC，于是 1 AOBO. 以 O 为坐标原点，分别以 1 ,OB OC OA的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设2AC ，则 11 31 (0,0, 3), (0,1,0),0 ,(0,2, 3) 22 ACDC . 所以 11 33313 5 ,0 ,3 , 3 222222 CDADDC . 设平面 1 ADC的法向量为( , , )x y zm，则 1 0 0 CD A D m m ，即 33 0 22 31 30 22 xy
23、xyz ，令3x ，则3,1yz，所以(3, 3,1)m. 设平面 1 DCC的法向量为( , , )a b cn， 则 1 0 0 CD DC n n ，即 33 0 22 35 30 22 ab abc ，令3a ，则3,1bc， 所以(3, 3, 1)n. 设二面角 11 ADCC的大小为，由图易知为锐角， 则 |11 cos | |13 m n mn ， 因此二面角 11 ADCC的余弦值为 11 13 . 解析： 20.答案：(1)当-1b 时, 2 ln 2 a f xxxx,定义域为 0, 由 0f x 可得 ln 2 ax x , 令 ln x g x x , 则 2 1ln
24、x gx x , 由 0gx ,得0ex,由 0gx ,得ex , 所以 g x在0,e上单调递增,在e,上单调递减, 则 g x的 最 大 值 为 1 e e g, 且当ex 时, 1 0 e g x ,当0ex时, 1 e g x , 由此作出函数 g x的大致图象,如图所示. 由图可知,当 2 0 e a时,直线 2 a y 和函数 g x的图象有两个交点,即函数 f x有两个零点； 当 1 2e a 或 0 2 a ,即 2 e a 或0a 时,直线 2 a y 和函数 g x的图象有一个交点,即函数 f x有一个 零点； 当 1 2e a 即 2 e a 时 ,直线 2 a y 与函
25、数 g x的 象 没 有 交 点 ,即 函数 f x无零点. (2) f x在0,上单调递增,即 ln0fxaxbx在0,上恒成立. 设 lnh xaxbx,则 1 hxa x . 若0a ,则 0h x , h x在0,上 单 调递减,显 然 ln0fxbx 在0,上不恒成立, 若0a ,则 0h x , h x在0,上单调递减, 当max,1 b x a 时, 0, ln0axbx ,故 0h x , f x单调递减,不符合题意. 若 0a ,当 1 0 x a 时, 0h x , h x单调递减, 当 1 x a 时 , 0h x , h x单调递增, 所以 min 1 1lnh xhb
26、a a , 由 min0h x ,得221lnabaa , 设 21 ln ,0m xxx x ,则 1 2mx x , 当 1 0 2 x时 , 0m x , m x单调递减, 当 1 2 x 时, 0m x , m x单调递增, 所以 1 ln2 2 m xm ,所以2ln2ab, 又 2a b ce ,所以2c ,即c的最大值为2. 解析： 21.答案： (1)由 1 sin 32 ，得3 cossin1，得310 xy ， 故直线 l的直角坐标方程为310 xy . 由 2cos 22sin x y ，消去，得 2 2 24xy， 故曲线 C 的普通方程为 2 2 24xy. (2)因
27、为圆心0,2C到直线 l的距离 3021 3 231 d ， 所以 9 2 47 4 MN . 又原点 O 到直线 l的距离 11 231 d ， 所以MON的面积为 117 7 224 . 解析： 22.答案：(1)原不等式等价于 5, 5412 x xx 或 45, 5412 x xx 或 4, 5(4)12, x xx 解得 13 2 x 或x或 11 2 x . 不等式的解集为 1311 | 22 x xx 或. (2)不等式 1 3 ( )210 a f x 恒成立等价于 1 3 min ( )21 a f x , 即 1 3 min 5421 a xx . 54549xxxxQ,当且仅当 540 xx, 即45x 时,等号成立. 1 3 921 a ,则133a,解得 2 3 a , 实数a的取值范围是 2 , 3 .
