1、保密启用前保密启用前 2020-2021 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高二数学试题（高二数学试题（A） 本试卷共 150 分考试时间 120 分钟 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1401是等差数列5，9，13，的第（ ）项 A98 B99 C100 D101 21a 是直线60 xay和2320axya平行的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3在正四面
2、体PABC中，棱长为 1，且 D 为棱AB的中点，则PC PD的值为（ ） A 1 4 B 1 4 C 1 2 D 1 2 4日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加己知将1t水净 化到纯净度为%x时所需费用 （单位： 元） 为 5284 ( )(80100) 100 c xx x 设将1t水净化到纯净度为 92%， 98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为 12 ,t t，则 2 1 t t （ ） A 1 16 B16 C 1 25 D25 5已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为2，则点2,0到 C 的渐近线的距离为（
3、） A2 B2 C 3 2 2 D2 2 6如图，在菱形ABCD中，2,60ABDAB，E 是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折至的位置 1 ADE，使得面 1 ADE 面BCDE，则点 1 A到平面BCDE的距离为（ ） A1 B2 C 3 2 D3 7若函数e( ) x f x（2.718e，e 为自然对数的底数）在 f x的定义域上单调递增，则称函数 f x具 有 M 性质，下列函数具有 M 性质的为（ ） A 2 ( )1f xx B 3 ( )f xx C( )sinf xx D( )lnf xx 8某养猪场 2021 年年初猪的存栏数 1200，预计以后每年存栏数的增长率为 8%，
4、且在每年年底卖出 100 头设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 123 ,a a a则 2035 年年底存栏头数为（参考数 据： 141516 1.082.9,1.083.2,1.083.4） （ ） A1005 B1080 C1090 D1105 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9已知直线:(2)10l mx
5、m ym ，圆 22 :20C xyx，则下列结论正确的是（ ） A直线 l 与圆 C 恒有两个公共点 B圆心 C 到直线 l 的最大距离是2 C存在一个 m 值，使直线 l 经过圆心 C D当1m 时，圆 C 与圆 22 (1)1xy关于直线 l 对称 10某地 2020 年 12 月 20 日至 2021 年 1 月 23 的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示 若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列 n a， n a的前 n 项和为 n S， 则下列 说法正确的是（ ） A数列 n a是递增数列 B数列 n S不是递增数列 C数列 n a的最大项为 11 a D数
6、列 n S的最大项为 11 S 11设函数( )(1)()f xx xxa，则下列结论正确的是（ ） A当4a 时，函数 f x在 1 1, 2 上的平均变化率为 19 4 B当1a 时，函数 f x的图象与直线1y 有 1 个交点 C当2a 时，函数 f x的图象关于点0,1中心对称 D若函数 f x有两个不同的极值点 12 ,x x，则当2a 时， 12 0f xf x 12已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，其长轴长是短轴长的 5 4 ，若点 P 是椭 圆上不与 12 ,F F，共线的任意点，且 12 PFF的周长为 16，则下列结论
7、正确的是（ ） AC 的方程为 22 1 2516 xy BC 的离心率为 4 5 C双曲线 22 1 54 xy 的渐近线与椭圆 C 在第一象限内的交点为 10 4 ,5 33 D点 Q 是圆 22 25xy上一点，点 A，B 是 C 的左右顶点（Q 不与 A，B 重合） ，设直线PB，QB的斜 率分别为 12 ,k k，若 A，P，Q 三点共线则 12 2516kk 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 若点 0 , 2 Py 是曲线 2 cos 36 yx 上一点，
8、直线l为点P处的切线， 则直线l的方程为_ 14两圆 22 (1)9xy和 22 440 xyxy相交于两点 M，N，则线段MN的长为_ 15正方体 1111 ABCDABC D的棱AB和 11 AD的中点分别为 E，F，则直线EF与平面 11 AAD D所成角的 余弦值为_ 16已知抛物线 2 :4C yx的焦点 F 与双曲线 2 2 1(0) 3 x y 的右焦点相同，则双曲线的方程为 _， 过点 F 分别作两条直线 12 ,l l， 直线 1 l与抛物线 C 交于 A， B 两点， 直线 2 l与抛物线 C 交于 D， E 两点，若 1 l与 2 l的斜率的平方和为 1，则ABDE的最小
9、值为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知圆 C 的圆心在直线yx上，圆心到 x 轴的距离为 2，且截 y 轴所得弦长为2 14 （1）求圆 C 的方程； （2）若圆 C 上至少有三个不同的点到直线: l ykx的距离为2 2，求实数 k 的取值范围 18 （12 分） 已知数列 n a的前 n 项和是 n A， 数列 n b的前 n 项和是 n B， 若 * 11 1,21, nn aaanN ， 再从三个条件： 2 21 n Bnn ； 1 2 n
10、nn BbB ， 1 20b ； 2 222log1 nn ba，中任选 一组作为已知条件，完成下面问题的解答（如果选择多组条件解答，则以选择第一组解答记分） （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）定义： , * , a ab a b b ab ，记* nnn cab，求数列 n c的前 n 项和 n T 19 （12 分）如图，一海岛 O，离岸边最近点 B 的距离是120km，在岸边距点 B300km的点 A 处有一批药 品要尽快送达海岛已知 A 和 B 之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为 100km，快艇时速为50km设点 C 到点 B 的距离为
11、x （参考数据：31.7 ） （1）写出运输时间 t x关于 x 的函数； （2）当点 C 选在何处时运输时间最短？ 20 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，/ /,3,4ADBC ABADACBC， M 为线段AD上一点，2AMMD，N 为PC的中点 （1）证明：/ /MN平面PAB； （2） 若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为 5 3 ， 求直线MN与直线PA所成角的余弦值 21 （12 分） 已知 P 是圆 22 1:( 1)16Fxy上任意一点， 2(1,0) F， 线段 2 PF的垂直平分线与半径 1 PF交 于点 Q，当点 P 在圆 1
12、F上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）记曲线 C 与 x 轴交于 A，B 两点，在直线4x 上任取一点(4,0)mTm ，直线TA，TB分别交曲 线 C 于 M，N 两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 22 （12 分）已知函数 2 ( )2lnf xxaxx（a 为常数） （1）当4a 时，讨论函数 f x的单调性； （2）若 f x存在两个极值点 12 ,x x，且 12 3 2 xx，证明 12 15 4ln2 4 fxfx 高二数学试题（高二数学试题（A）参考答案）参考答案 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题
13、：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1-5：CCDBA 6-8：ADA 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9AD 10BC 11ABD 12ACD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13230 xy 14 12 5 5
14、15 30 6 16 2 2 4 41 3 x y 24（第一空 2 分，第三空 3 分） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 解： （1）设圆心为, t t，半径为 r，根据题意得 222 | | 2 ( 14) t tr ， 2 分 解得2,3 2tr ， 所以圆 C 的方程为 22 (2)(2)18xy或 22 (2)(2)18xy 5 分 （2）由（1）知圆 C 的圆心为2, 2或2,2，半径为3 2， 6 分 由圆 C 上至少有三个不同的点到直线
15、l：ykx的距离为2 2，可知圆心到直线 l：ykx的距离 3 22 22d 即 2 |22| 2 1 k k ，所以 2 140kk， 8 分 解得2323k 所以直线 l 斜率的取值范围为23,23 10 分 18 （12 分） 解： （1）由 1 21 nn aa ，得 1 121 nn aa ，又 1 1a ，则 1 12a ， 数列1 n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 12n n a 即21 n n a 3 分 若选当1n 时， 11 20bB，当2n 时， 1 222 nnn bBBn ， 222 n bn 6 分 若选由 1 2 nnn BbB 得 1 2 nn
16、bb ，所以数列 n b是以 20 为首项，2为公差的等差数列， 222 n bn 6 分 若选 2 222log1222 nn ban 6 分 （2）由（1）知 * 21,13 *, 222 ,4 n nnn n cabnN n n ， 7wv 当13n时， 1 2 12 22 12 n n n Tnn ， 8 分 当4n 时， 2 1371412(222 )2143 n Tnnn ， 11 分 1 * 2 22,13 , 2143,4 n n nn TnN nnn 12 分 19 （12 分） 解： （1）由题意知 22 |120OCx，| 300ACx， 1 分 22 120300 (
17、)(0300) 50100 xx t xx 4 分 （2） 1 22 2 22 1202 111 ( ) 250100100 50 120 xx x t x x 6 分 令 0t x，得40 3x ， 7 分 当040 3x时， 0t x，当40 3300 x时， 0t x 所以40 368x 时 t x取最小值 11 分 所以当点 C 选在距 B 点68km时运输时间最短 12 分 20 （12 分） 解； （1）证明：由已知2AMMD得2AM ，取BP的中点 T，连接,AT TN，由 N 为PC的中点知 / /TNBC， 1 2 2 TNBC又/ /ADBC，故/ /TNAM，且TNAM，
18、 四边形AMNT为平行四边形，/ /MNAT， 3 分 AT 平面PAB，MN 平面PAB， / /MN平面PAB 5 分 （2） 取BC的中点 E， 连接AE， 由A BA C知AEBC， 从而AEAD， 22 5AEABBE 以 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴的则正方向，建立如图所示的空间坐标系Axyz 6 分 设(0,0, )Ph， 则 5 ( 5,2,0),(0,2,0),1, 22 h CMN ，所以 5 (0,2,0),1, 22 h AMAN 设平面AMN的法向量为 1 ( , , )nx y z， 则 20 5 0 22 y h xyz ，可取 1 ( ,0,5)nh，
19、8 分 又平面PAD的法向量为 2 (1,0,0)n 且平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为 5 3 ， 12 2 2 cos, 3 15 h n n h ，解得2h 所以(0,0,2)P， 5 ,1,1 2 N ，所以 5 (0,0,2), 1,1 2 APMN ， 10 分 设直线MN与直线PA所成角为，则 2 13 cos 13| | AP MN APMN 所以直线MN与直线PA所成角的余弦值为 2 13 13 12 分 21 （12 分） 解： （1）由已知 1211 |4QFQFQFQPPF， 所以点 Q 的轨迹为以为 12 ,F F焦点，长轴长为 4 的椭圆， 2 分 故
20、 222 24,2,1,3aacbac 所以曲线 C 的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）由（1）可得( 2,0)A ，(2,0)B，AT：(2) 6 m yx，BT：(2) 2 m yx， 5 分 将(2) 6 m yx与 22 1 43 xy 联立消去 y 整理得： 2222 27441080mxm xm 2 2 4108 2 27 M m x m ，所以 2 2 542 27 M m x m ，因此 2 18 27 M m y m ， 故 2 22 54218 , 2727 mm M mm ，同理 2 22 266 , 33 mm N mm 8 分 当3m时，直线MN方程为 2
21、 6 (1) 9 m yx m ，直线MN恒过定点（1,0) 当3m时， 33 1,1, 22 MN ，直线MN：过点1,0 同理可知，当3m时直线MN恒过点1,0 11 分 综上，直线MN恒过定点1,0 12 分 22 （12 分） 解： （1） 2 ( )2lnf xxaxx，(0,)x， 1 分 2 222 ( )2 xax fxxa xx ，设 2 ( )22,(0,)g xxaxx， 当44a 时，0 ， 2 220 xax成立，则有( )0fx， 所以函数 f x在(0,)的单调递增 2 分 当4a 时，0 ， 由 2 22 0 xa x 得 2 416 4 a x 或 2 416
22、 4 a x ， 由 2 22 0 xa x 得 22 416416 44 aa x ， 4 分 所以函数 f x在 2 416 , 4 a ， 2 416 , 4 a 单调递增，在 22 416416 , 44 aa 单调递减 5 分 （2）由（1）知函数 f x的两个极值点 12 ,x x满足 2 220 xax， 1212 1, 2 a xxxx 6 分 不妨设 12 01xx ， 则 f x在 12 ,x x上是减函数，故 12 f xf x， 7 分 12121 22 12122 2ln2lnf xf xf xf xxaxxxaxx 2222 11 1212121212 22 2ln22ln xx xxa xxxxxxxx xx 222 1 2122 2 2 22 1 2ln2ln x xxxx xx 8 分 令 2 2 tx，则1t ， 又 122 2 13 2 xxx x ，即 2 22 2320 xx，解得 2 12x， 9 分 故 2 2 14x，14t 设 1 ( )2ln (14)h tttt t ，则 2 22 12(1) ( )10 t h t ttt ， h t在1,4上为增函数 11 分 1515 ( )(4)2ln44ln2 44 h th， 所以 12 15 4ln2 4 fxfx 12 分
