1、高二数学试题 第1页（共4页） 参照秘密级管理启用前 普通高中高二期末质量检测 数数 学学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是
2、符合题目要求的 1直线310 xy+ =的倾斜角为 A30 B150 C120 D60 2椭圆 22 21xy+=的焦点坐标是 A()1,0 B( )0, 1 C 2 (,0) 2 D 2 (0,) 2 3空间两点(),1,5,4A() 1,3,5B 间的距离等于 A2 B3 C4 D9 4圆 1 C： 22 8120 xyx+=和圆 2 C： 22 60 xyy+=的位置关系是 A相离 B相交 C内切 D外切 52020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京 举行，审议通过了中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二三 五年远景目标的建议 某班级
3、从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全 会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为 A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 6如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，点F是侧面 11 CDDC的中心，若 1 AFxADyABzAA=+，求x yz+= A1 B 3 2 C2 D 5 2 高二数学试题 第2页（共4页） 7光线通过点(2,3)A，在直线: l10 xy+ =上反射，反射光线经过点(1,1)B，则反射 光线所在直线方程为 A4510 xy+ = B4510 xy+ = C3410 xy+ = D3410 xy+ = 8设 12 ,F F是双曲线 :C 2
4、2 22 )1(00 xy ab ab =,的左右焦点，P是双曲线C右支上一 点若 12 | 6PFPFa+=，且 1 2 2 3 PF F Sb =，则双曲线C的渐近线方程是 A20 xy= B20 xy= C320 xy= D230 xy= 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9若() 1, , 2a= ， ()2, 1,1b
5、=，a与b的夹角为120，则的值为 A17 B 17 C1 D1 10已知空间向量, ,i j k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是 A向量ijk+ +的模是3 B ,ij ij k+可以构成空间的一个基底 C向量ijk+ +和k夹角的余弦值为 3 3 D向量ij+与kj共线 11已知,A B是随机事件，则下列结论正确的是 A若,A B是互斥事件，则()( ) ( )P ABP A P B= B若事件,A B相互独立，则()( )( )P ABP AP B+=+ C若,A B是对立事件，则,A B是互斥事件 D事件,A B至少有一个发生的概率不小于,A B恰好有一个发生的概率 12已
6、知 21, F F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的左右焦点， 21, A A分别为其实 轴的左右端点，且 2 12 b FF a =，点 P为双曲线右支一点，I为 12 PFF的内心，则下列 结论正确的有 A离心率2 1e=+ B点I的横坐标为定值a C若 121 2( ) IPFIPFIFF SSS =+R成立，则2 1= D若PH垂直x轴于点H，则 2 12 | |PHHAHA= 高二数学试题 第3页（共4页） 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知直线 1 l：(1)330mxy+=和直线 2
7、 l：250 xmy+ =垂直，则实数m= _； 14现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都 是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是_； 15已知空间直线l的方向向量是(1,2 ,1)( ,)mab aa b=+R，平面的法向量 (2,3,3)n =若l，则a b+=_； 16已知抛物线 2 1 8 yx=的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于,A B两点，抛物线的 准线与y轴交于点M，当 AM AF 最大时，弦AB长度是_ 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
8、骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 已知在空间直角坐标系Oxyz中， 点, ,A B C M的坐标分别是()2,0,2，()2,1,0， ()0,4, 1，()2,3, 1，过点, ,A B C的平面记为. （1）证明：点, ,A B C M不共面； （2）求点M到平面的距离 18 （12 分）已知ABC中，点( 1,5)A ，边BC所在直线 1 l的方程为7180 xy=， 边AB上的中线所在直线 2 l的方程为yx= （1）求点B和点C的坐标； （2）若ABC的外接圆为M，求直线 2 l被M截得的弦长 19 （12 分）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑
9、球、黄球、绿球，从中任 意取一球，得到黑球或黄球的概率是 5 9 ，得到黄球或绿球的概率是 2 3 ，试求： （1）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 高二数学试题 第4页（共4页） 20 （12 分）在平面直角坐标系中，动点( , )(0)P x yy 到定点(0,1)M的距离比到x轴 的距离大 1 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l交曲线 C 于,A B两点，若| 8AB =，求直线l的方程 21 （12 分） 如图所示， 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为2，,E F分别为,BC
10、 CD的中点. （1）求平面 1 C EF与平面 11 AB D夹角的余弦值； （2）设CMCA=，若平面 1 /C EF平面 11 MB D，求 的值. 22 （12 分）已知椭圆C： 22 22 =1(0) xy ab ab +，四点 1(1,1) P， 2(0,1) P， 3 3 ( 1,) 2 P ， 4 3 (1,) 2 P中恰有三点在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）蝴蝶定理：如图 1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦 ,CD EF若,CF ED分别与直线AB交于点,P Q，则MPMQ= 图 1 图 2 该结论可推广到椭圆如图 2 所示， 假定在椭圆C中
11、， 弦AB的中点M的坐标为 1 (0, ) 2 ， 且两条弦,CD EF所在直线斜率存在，证明：MPMQ= 高二数学试题 第1页（共7页） 普通高中高二期末质量检测 数学数学参考答案参考答案 一、单项选择题：一、单项选择题：1B；2C；3B；4D；5A；6C；7A；8A 二、多项选择题：二、多项选择题：9AC；10BC；11CD；12ABC 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 2 ；140.972；152；168 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写
12、出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）解： （1）由已知可得： ()0,1, 2AB =，()2,4, 3AC = ，()0,3, 3AM =1 分 假设, ,A B C三点共线，则存在R，使得ABAC=， 即()()0,1, 22,4, 3=，所以 02 14 23 = = = ， 此方程组无解，所以,AB AC不共线， 所以, ,A B C不共线， 所以过点, ,A B C的平面是唯一的 3 分 若点, ,A B C M共面，则存在, x yR，使得AMxAByAC=+， 即()()()0,3, 30,1, 22,4, 3xy=+ 即 02 34 323 y xy xy = =
13、+ = ，此方程组无解， 即不存在实数, x y，使得AMxAByAC=+， 所以点, ,A B C M不共面， 5 分 （2）设平面的法向量为(), ,ma b c=， 则 0 0 m AB m AC = = ， 7 分 高二数学试题 第2页（共7页） 所以 20 2430 bc abc = += ，令2c =，则4b =，5a =， 所以()5,4,2m=， 8 分 所以点M到平面的距离 2 5 5 M AM m d m =.10 分 18 （12 分）解： （1）联立方程组 7180 xy yx = = ，解得 3 3 x y = = ，即点(3,3)C， 2 分 设点( , )B s
14、t，则三角形边AB的中点坐标为 15 (,) 22 st+ ， 可得方程组 15 22 7180 st st + = = ，解得 2 4 s t = = ，即点(2, 4)B，5 分 （2）设ABC的外接圆方程为 222 ()()(0)xaybrr+=， 将三角形三个顶点的坐标代入，得： 222 222 222 ( 1)(5) (2)( 4) (3)(3) abr abr abr += + = += ，解得 1 0 5 a b r = = = ， 所以三角形外接圆的方程为 22 (1)25xy+= 9 分 由圆的标准方程 22 (1)25xy+=，得圆心坐标为( 1,0)，5r =； 圆心(
15、1,0)到直线 2 l：0 xy=的距离为： | 1 0|2 22 d =；11 分 所以弦长等于 1 2 257 2 2 = 12 分 19 （12 分）解： （1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件, ,A B C， 由于, ,A B C为互斥事件， 高二数学试题 第3页（共7页） 根据已知，得 5 ()( )( ) 9 2 ()( )( ) 3 ()( )( )( )1 P ABP AP B P BCP BP C P ABCP AP BP C +=+= +=+= +=+= ， 3 分 解得 1 ( ) 3 2 ( ) 9 4 ( ) 9 P A P B P C = = = 所
16、以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 1 3 ， 2 9 ， 4 9 6 分 （2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3,2,4 7 分 从 9 个球中取出 2 个球的样本空间中共有 36 个样本点， 其中两个是黑球的样本点是 3 个， 两个黄球的是 1 个，两个绿球的是 6 个 11 分 于是，两个球同色的概率为 3 1 65 3618 + + =， 则两个球颜色不相同的概率是 513 1 1818 = 12 分 20 （12 分）解： （1）动点( , )P x y到x轴的距离为y， 到点M的距离为|PM = 22 (1)xy+， 由动点( , )P x y到定点(0,1)M的
17、距离比到x轴的距离大 1， 得 22 (1)1xyy+=+， 2 分 两边平方得： 2 4xy=，所以轨迹 C 的方程： 2 4xy=4 分 （2）显然直线l的斜率存， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：1ykx=+ 5 分 由 2 4 1 xy ykx = =+ ，消x整理得： 22 (24)10yky+ =， 7 分 高二数学试题 第4页（共7页） 2 12 24yyk+=+， 8 分 2 12 |2428AByypk=+=+=，解得 2 1k =，即1k = ，10 分 直线 l 的方程为1yx=+或1yx= + 12 分 21 （12 分）解： （1）以D为坐标原点， 分别以棱 1
18、 ,DA DC DD所在的直线为, ,x y z轴， 建立空间直角坐标系如图所示， 由已知可得：()()()()() 11 2,0,0 ,2,2,0 ,0,2,0 ,2,0,2 ,2,2,2ABCAB， ()() 11 0,2,2 ,0,0,2CD，所以点()1,2,0E，()0,1,0F， 所以() 1 1,0, 2C E =，() 1 0, 1, 2C F = ，2 分 设平面 1 C EF的法向量为(), ,mx y z=， 则 1 1 0 0 m C E m C F = = ， 即 20 20 xz yz = = ，令1z =，则2x =，2y = ， 所以()2, 2,1m=， 4
19、分 又() 1 2,0,2AD = ，() 1 0,2,2AB =， 设平面 11 AB D的法向量为(), ,na b c=， 所以 1 1 0 0 n AD n AB = = ，即 220 220 ac bc += += ，令1c =，则1a =，1b =， 所以()1, 1,1n =， 6 分 高二数学试题 第5页（共7页） 设平面 1 C EF和 11 AB D的夹角为， 所以 222222 2+2 15 3 cos 9 2( 2)11( 1)1 m n m n + = + + + . 平面 1 C EF和 11 AB D的夹角的余弦值是 5 3 9 . 8 分 （2）因为CMCA=，
20、设点M的坐标为(), ,x y z， 所以()(),2,2, 2,0 x yz=， 所以点M的坐标为()2 ,22 ,0， 9 分 所以() 1 2 ,22,2MD= ，() 1 22 ,2 ,2MB=， 由（1）可知平面 1 C EF的法向量为()2, 2,1m=， 因为 1 /C EF平面 11 MB D， 所以 1 0m MB=，且 1 0m MD=，11 分 () ()2, 2,122 ,2 ,244420=+= () ()2, 2,12 ,22,244420 = += 所以 3 4 =. 12 分 解法二：如图所示： 连接 11, AC AC， 1111 ACB DO=，ACEFN=
21、 所以平面 11 ACC A与平面 1 EFC和平面 11 MB D的交线分别是 1, NC MO， 高二数学试题 第6页（共7页） 因为平面 1 /C EF平面 11 MB D， 所以 1/ NCMO，又 1 /MN CO， 所以 1 MNC O是平行四边形，10 分 1 OCMN=，所以 1 1 2 MNCOCA=， 1 4 CNCA=， 所以 113 244 CMACACCA=+=， 所以 3 4 =. 12 分 22 （12 分）解： （1）由于 3 P， 4 P两点关于y轴对称， 故由题设知C经过 3 P， 4 P两点 又由 2222 1113 4abab +知，C不过点 1 P，所
22、以点 2 P在C上 1 分 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab = += ，解得 2 2 4 1 a b = = 3 分 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y+= 4 分 （2）证明：因点M的坐标 1 (0, ) 2 在y轴上，且M为AB的中点， 所以直线AB平行于x轴， 5 分 设 11223344 ( ,),(,),(,),(,)C x yD xyE x yF xy， 设直线CD的方程为 1 1 2 yk x=+，代入椭圆C： 2 2 1 4 x y+=， 得： 22 11 13 ()0 44 kxk x+=， 根据韦达定理得： 1 12 2 1 4 41 k xx k +
23、= + ， 12 2 1 3 41 x x k = + ； 6 分 高二数学试题 第7页（共7页） 同理，设直线EF的方程为 2 1 2 yk x=+，代入椭圆C： 2 2 1 4 x y+=， 得： 2 34 2 2 4 41 k xx k += + ， 34 2 2 3 41 x x k = + ； 7 分 由于CPF三点共线，得： 1 11 1 424 4 1 2 1 2 P P y xxk x xxk x y = ， 1214 1 124 () P kkx x x k xk x = 8 分 同理，由于EQD三点共线，得： 1223 1223 () Q kkx x x k xk x =
24、， 9 分 12231214 1 1241223 1214122312231 124 1 1241223 121 12421341 1232234 1 1241223 121 123 ()() ()()()() ()() ()() ()() ()( PQ kkx xkkx x xx k xk xk xk x kkx x k xk xkkx x k xk x k xk xk xk x kkk x x xk x x xk x x xk x x x k xk xk xk x kkk x x x +=+ + = + = = 423412 1 1241223 1221 12 2222 1221 1 1241223 1212 12 2222 1212 1 1241223 )() ()() 3434 ()() 41 4141 41 ()() 1212 ()() (41)(41)(41)(41) ()() 0 xk x x xx k xk xk xk x kkkk kk kkkk k xk xk xk x k kk k kk kkkk k xk xk xk x + + = + = = 即 PQ xx= ， 11 分 所以| | PQ xx=，即MPMQ= 12 分
