1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）函数 1 2 ( )f xx 的定义域为集合 2 （3 分）设函数4 x ya，(0,1)aa，若其零点为 2，则a 3 （3 分）求函数 1 ( )(0)f xxx x 的值域 4 （3 分）全集 |1| 3Uxx，xZ，1A，2，3，则A 5 （3 分）已知函数 22 ( )(1) a f xaax 为幂函数，且为奇函数，则实数a的值 6 （3 分）函数( ) |3|7|f xxx
2、的最小值等于 7 （3 分）函数log (3)4(0 a yxa，且1)a 图象恒过定点P，点P的坐标为 8 （3 分）已知( )f x是定义在R内的偶函数，且它在0，)内单调递增，那么使( 2)ff （a）成立的实数a的取值范围是 9 （3 分）若函数( )yf x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 1 ( )( )1 2 x f x ，则函数 ( )yf x在R上的解析式为( )f x 10 （3 分） 若( )f x是定义在R上的奇函数， 当0 x 时， 2 ( )log (2)f xx， 则( 0 )ff（6） 11 （3 分）已知函数 1 ( )2(0 x f xaa 且1)a 的
3、图象不经过第四象限，则a的取值范围 为 12 （3 分） 定义区间 1 x， 212 ()xxx的长度为 21 xx， 已知函数 1 2 |log|yx的定义域为a， b，值域为0，2，则区间a，b长度的最大值与最小值的差为 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分） “1m，2”是“1lnm ”成立的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 14 （3 分）关于函数 3 2 yx，下列说法正确的是( ) A是奇函数且在区间0，)上是严格增函数 第 2 页（共 13 页） B是偶函数且在区间0，)上是严格增函数
4、 C是非奇非偶函数且在区间0，)上是严格增函数 D是非奇非偶函数且在区间0，)上是严格减函数 15 （3 分）函数 2 1 ( ) log f x x 的大致图象是( ) A B C D 16 （3 分）定义在t，)上的函数( )f x、( )g x是严格增函数，( )( )f tg tM，若对任 意Mk，存在 12 xx，使得 12 ()()f xg x k成立，则称( )g x是( )f x在t，)上的“追 逐函数”已知 2 ( )f xx，下列四个函数：( )g xx；( )1g xlnx；( )21 x g x ； 1 ( )2g x x 其中是( )f x在1，)上的“追逐函数”的是
5、( ) A B C D 三、解答题： （三、解答题： （5 大题，共大题，共 52 分）分） 17 （8 分）已知函数 1 ( ) 1 x f xln x 的定义域为集合A，集合( ,1)Ba a，且BA （1）求实数a的取值范围； （2）求证：函数( )f x是奇函数但不是偶函数 18 （8 分）科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（时间：分钟）的 变化规律满足关系式： 1 22(04,0) xx ymxm 剟 （1）若2m ，求经过多少分钟，该物质的温度为 5 摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求m的取值范围 19 （10 分）设函数 2 ( )log
6、()() m fxxm mR （1）解不等式 2 1 ( )1f x ； 第 3 页（共 13 页） （2）关于x的方程 10 1 ( )() 2 x fx在区间 2，6上有实数解，求实数的取值范围 20 （12 分）已知集合M是满足下列性质的函数( )f x的全体：在定义域内存在 0 x，使得 00 (1)()f xf xf（1）成立 （1）函数 1 ( )f x x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 2 ( ) 1 a f xlgM x ，求a的取值范围； （3）设函数2xy 图象与函数yx 的图象有交点且交点横坐标为a，证明：函数 2 ( )2xf xxM，并求出对应的 0 x（
7、结果用a表示出来） 21 （14 分）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境 综合污染指数( )f x与时刻x（时)的关系为 2 3 ( ) | 2 14 x f xaa x ，0 x，24)，其中a 是与气象有关的参数，且 1 0, 2 a，若用每天( )f x的最大值为当天的综合污染指数，并记 作M（a） （1）令 2 1 x t x ，0 x，24)，求t的取值范围； （2）求M（a）的表达式， （3）规定当M（a）2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的 综合污染指数不超标 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年上海市杨浦
8、区高一（上）期末数学试卷学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）函数 1 2 ( )f xx 的定义域为集合 (0,) 【解答】解： 1 2 1 ( )f xx x ， 由题意得：0 x ， 故函数的定义域是(0,)， 故答案为：(0,) 2 （3 分）设函数4 x ya，(0,1)aa，若其零点为 2，则a 2 【解答】解：函数4 x ya，(0,1)aa，若其零点为 2， 2 40a，解得2a 或2（舍去） 2a 故答案为：2 3 （3 分）求函数 1 ( )(0)f
9、 xxx x 的值域 2，) 【解答】解：当0 x 时， 11 ( )22f xxx xx ， 当且仅当 1 x x ，即1x 时取到等号， 因此该函数的值域为2，) 故答案为：2，) 4 （3 分）全集 |1| 3Uxx，xZ，1A，2，3，则A 1，0 【解答】解：全集 |1| 3Uxx， | 313xZxx ， | 24xZxx ， 1xZ ，0，1，2，3， 1A，2，3， 1A ，0 故答案为： 1，0 5 （3 分）已知函数 22 ( )(1) a f xaax 为幂函数，且为奇函数，则实数a的值 1 第 5 页（共 13 页） 【解答】解：函数 22 ( )(1) a f xaa
10、x 为幂函数， 所以 2 11aa ，所以 2 0aa，解得0a 或1a ， 又( )f x为奇函数，所以1a ， 故答案为：1 6 （3 分）函数( ) |3|7|f xxx的最小值等于 4 【解答】解： 210,3 ( ) |3|7|4,37 210,7 xx f xxxx xx ， 画出函数( )f x的图象，如图示： ， 结合图象，函数的最小值是 4， 故答案为：4 7（3 分） 函数log (3)4(0 a yxa， 且1)a 图象恒过定点P， 点P的坐标为 ( 2, 4) 【解答】解：函数log (3)4(0 a yxa，且1)a 中， 令31x ，2x ， ( 2)log 144
11、 a f ， 所以该函数的图象恒过定点( 2, 4)P 故答案为：( 2, 4) 8 （3 分）已知( )f x是定义在R内的偶函数，且它在0，)内单调递增，那么使( 2)ff （a）成立的实数a的取值范围是 2a或2a 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增 不等式( 2)ff （a）等价为f（2）(|)fa， 第 6 页（共 13 页） 即2|a， 2a或2a， 故答案为：2a或2a 9 （3 分）若函数( )yf x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 1 ( )( )1 2 x f x ，则函数 ( )yf x在R上的解析式为( )f x 1 ( )
12、1,0 2 0,0 21,0 x x x x x 【解答】解：因为( )yf x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 1 ( )( )1 2 x f x ， 设0 x ，则0 x ， 故 1 ( )()( )112 2 xx f xfx ， 由奇函数性质得，(0)0f， 故 1 ( )1,0 2 ( )0,0 21,0 x x x f xx x 故答案为： 1 ( )1,0 2 0,0 21,0 x x x x x 10 （3 分） 若( )f x是定义在R上的奇函数， 当0 x 时， 2 ( )log (2)f xx， 则( 0 )ff（6） 3 【解答】解：因为( )f x是定义在R上的奇
13、函数， 所以()( )fxf x ，且(0)0f， 当0 x 时， 2 ( )log (2)f xx， 则(0)ff（6） 2 (0)( 6)0log 83ff 故答案为：3 11 （3 分）已知函数 1 ( )2(0 x f xaa 且1)a 的图象不经过第四象限，则a的取值范围 为 2，) 第 7 页（共 13 页） 【解答】解：函数 1 ( )2(0 x f xaa 且1)a 中， 令10 x ，得1x ，所以( 1)121f ， 即( )f x的图象过定点( 1, 1) ； 由( )f x的图象不经过第四象限， 则(0)2 0fa ， 解得2a， 所以a的取值范围是2，) 故答案为：2
14、，) 12 （3 分） 定义区间 1 x， 212 ()xxx的长度为 21 xx， 已知函数 1 2 |log|yx的定义域为a， b，值域为0，2，则区间a，b长度的最大值与最小值的差为 3 【解答】解： 1 2 |log|yx的值域为0，2 1 2 0|2log x剟 1 2 0 log2x剟或 1 2 2 log0 x 剟 1 1 4 x剟或14x剟即 1 4 4 x剟 定义域为a，b时函数的值域0，2， 由图象可知，定义域大区间的最大值为 115 4 44 ，区间的最小值 13 1 44 ，其差为 3 故答案为：3 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分
15、） 13 （3 分） “1m，2”是“1lnm ”成立的( ) 第 8 页（共 13 页） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：10lnmme ， 1，2(0, ) e， “1m，2”是“1lnm ”成立的充分非必要条件， 故选：A 14 （3 分）关于函数 3 2 yx，下列说法正确的是( ) A是奇函数且在区间0，)上是严格增函数 B是偶函数且在区间0，)上是严格增函数 C是非奇非偶函数且在区间0，)上是严格增函数 D是非奇非偶函数且在区间0，)上是严格减函数 【解答】解：函数 3 3 2 yxx，定义域为0，)，不关于原点对称， 故函数 3
16、 2 yx为非奇非偶函数， 由幂函数的性质可得 3 2 yx在0，)是严格增函数 故选：C 15 （3 分）函数 2 1 ( ) log f x x 的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：根据题意，函数 2 1 ( ) log f x x ，有 2 log0 x ，则0 x 且1x ， 即函数的定义域为 |0 x x 且1x ， 在区间(0,1)上， 2 log0yx且为增函数，则数 2 1 ( ) log f x x 为减函数且( )0f x ， 第 9 页（共 13 页） 在区间(1,)上， 2 log0yx且为增函数，则数 2 1 ( ) log f x x 为减函数且( )0
17、f x ， 故选：A 16 （3 分）定义在t，)上的函数( )f x、( )g x是严格增函数，( )( )f tg tM，若对任 意Mk，存在 12 xx，使得 12 ()()f xg x k成立，则称( )g x是( )f x在t，)上的“追 逐函数”已知 2 ( )f xx，下列四个函数：( )g xx；( )1g xlnx；( )21 x g x ； 1 ( )2g x x 其中是( )f x在1，)上的“追逐函数”的是( ) A B C D 【解答】解：因为 2 ( )f xx，( )g xx， 所以f（1）g（1）1M ， 对1 k，有 2 12 xx k， 即 12 ,xxkk
18、， 因为kk显然成立， 所以存在 12 xx，使得 12 ()()f xg x k成立， 故选项是( )f x在1，)上的“追逐函数” ； 易得1M ，1 k，有 2 22 1xlnx k， 即 1 12 ,xxe k k， 则有 122x ee k kk， 由1x 时， 22x xe 的导数为 22 120 x e ，则 22x xe ， 则存在 12 xx，使得 12 ()()f xg x k成立， 故选项是( )f x在1，)上的“追逐函数” ； 易得1M ，1 k，有 2 2 1 21 x x k， 即 122 ,log (1)xxkk， 当100k时， 2( 1)logkk， 即不存
19、在 12 xx，使得 12 ()()f xg x k成立， 第 10 页（共 13 页） 故选项不是( )f x在1，)上的“追逐函数” ； 易得1M ，1 k，有 2 1 2 1 2x x k， 即 12 1 , 2 xx k k ， 当4k时，不存在 12 xx，使得 12 ()()f xg x k成立， 故选项不是( )f x在1，)上的“追逐函数” ； 故( )f x在1，)上的“追逐函数”有 故选：D 三、解答题： （三、解答题： （5 大题，共大题，共 52 分）分） 17 （8 分）已知函数 1 ( ) 1 x f xln x 的定义域为集合A，集合( ,1)Ba a，且BA （
20、1）求实数a的取值范围； （2）求证：函数( )f x是奇函数但不是偶函数 【解答】解： （1）令10 1 x x ，解得11x ，所以( 1,1)A ， 因为BA，所以 1 1 1 a a ， 解得10a 剟， 即实数a的取值范围是 1，0； （2）证明：函数( )f x的定义域( 1,1)A ，定义域关于原点对称， 1 111 ()()( ) 111 xxx fxlnlnlnf x xxx ， 而 1 ( )3 2 fln， 11 () 23 fln，所以 11 ()( ) 22 ff， 所以函数( )f x是奇函数但不是偶函数 18 （8 分）科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度
21、）随时间x（时间：分钟）的 变化规律满足关系式： 1 22(04,0) xx ymxm 剟 （1）若2m ，求经过多少分钟，该物质的温度为 5 摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求m的取值范围 【解答】解： （1）由题意，当2m ，则 1 2 225 xx ， 解得1x 或1x ； 由0 x，1x， 故经过 1 时间，温度为 5 摄氏度 第 11 页（共 13 页） （2）由题意得 1 222 xx m 对一切0 x恒成立， 则 由20 x ，得 2 2x m， 令2 x t 则01t ， 22 11 ( )222() 22 f tttt ， 当 1 2 t 时，取得最大值为
22、 1 2 1 2 m ，故的取值范围为 1 2，) 19 （10 分）设函数 2 ( )log ()() m fxxm mR （1）解不等式 2 1 ( )1f x ； （2）关于x的方程 10 1 ( )() 2 x fx在区间 2，6上有实数解，求实数的取值范围 【解答】解： （1）由题意知，不等式即 2 1 log (2)1 x ，由函数单调性，则 1 20 1 22 x x ， 化简得 1 ,0 2 0 xx x 或 ，故有 1 2 x ， 原等式的解集为 1 (,) 2 （2）关于x的方程 10 1 ( )() 2 x fx，即 2 1 log (10)() 2 x x， 即 2 1
23、 log (10)() 2 x x，由于函数在 2，6上递增， 2x 时，1 min ；6x 时， 31 8 所以，实数的取值范围是 31 1, 8 20 （12 分）已知集合M是满足下列性质的函数( )f x的全体：在定义域内存在 0 x，使得 00 (1)()f xf xf（1）成立 （1）函数 1 ( )f x x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 2 ( ) 1 a f xlgM x ，求a的取值范围； （3）设函数2xy 图象与函数yx 的图象有交点且交点横坐标为a，证明：函数 第 12 页（共 13 页） 2 ( )2xf xxM，并求出对应的 0 x（结果用a表示出来）
24、【解答】解： （1）若 1 ( )f xM x ，则在定义城内存在 0 x， 使得 2 00 00 11 110 1 xx xx 方程 2 00 10 xx 无解， 1 ( )f xM x （2）因为 222 ( ) 1(1)112 aaaa f xlgMlglglg xxx ， 所以 2 (2)22(1)0axaxa有解， 当2a 时， 1 2 x ； 当2a 时，由0，得 2 64 035,2)(2,35aaa， 35,35a （3）证明： 00 122 0000 (1)()(1)2(1)23 xx f xf xfxx 0 1 00 22(1)22(1) xx xx ， 又函数2xy 图象
25、与函数yx 的图象交点的横坐标为a， 即20 a a，因此取 0 1xa， 即得 1 1 00 (1)()(1)22(1 1)0 a f xf xfa 存在 0 xR使得 00 (1)()f xf xf（1） ， 即 2 ( )2xf xxM，其中 0 1xa 21 （14 分）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境 综合污染指数( )f x与时刻x（时)的关系为 2 3 ( ) | 2 14 x f xaa x ，0 x，24)，其中a 是与气象有关的参数，且 1 0, 2 a，若用每天( )f x的最大值为当天的综合污染指数，并记 作M（a） （1）令 2 1
26、 x t x ，0 x，24)，求t的取值范围； （2）求M（a）的表达式， 第 13 页（共 13 页） （3）规定当M（a）2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的 综合污染指数不超标 【解答】解： （1） 2 1 x t x ， 当0 x 时，0t ， 当024x时， 2 1 1 1 x t x x x ， 11 22xx xx ，当且仅当 1 x x 即1x 时，等号成立， 11 0 1 2 x x ，即 1 0 2 t ， 综上所述， 1 0, 2 t （2）当 1 0, 2 a时，由（1） ， 2 1 x t x ，则 1 0, 2 t， 所以 3 3,0 3
27、4 ( )( ) | 2 314 , 42 tat a f xg ttaa taat 剟 ， 于是，( )g t在0t，a时是严格减函数，在 1 , 2 ta是严格增函数， 所以 11 ( ), (0)( ) 22 ( ) 1 (0), (0)( ) 2 ggg M a ggg ， 因为 3 (0)3 4 ga， 15 ( ) 24 ga， 解 11 (0)( )20 22 gga，得 1 4 a， 所以，当 1 0 4 a剟时， 15 ( )( ) 24 M aga；当 11 42 a 时， 3 ( )(0)3 4 M aga， 即 51 ,0 44 ( ) 3 11 3, 4 42 aa M a aa 剟 （3）由M（a）2，得 1 0 4 5 2 4 a a 剟 或 11 1 42 0 34 32 4 a a a 剟 或 15 412 a ， 综上 5 0 12 a剟 所以，当 5 0, 12 a时，综合污染指数不超标
