1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分. 1 （5 分）在等比数列an中，a1a716，则 a4的值为（ ） A4 B8 C4 D8 2 （5 分）设平面 的一个法向量为1 = (1，2， 2)，平面 的一个法向量为 2 = (2， 4，)，若 ，则 k（ ） A2 B4 C2 D4 3 （5 分）已知直线 x+ay10 和直线 ax+4y+20 互相平行，则 a 的取值是（ ） A2 B2 C2 D0 4
2、（5 分）直线 2xy+20 与圆（x1）2+（y2）24 的位置关系为（ ） A相交且直线过圆心 B相切 C相离 D相交且直线不过圆心 5 （5 分）设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为（ ） A15 B16 C49 D64 6 （5 分）下列命题中正确的个数为（ ） 直线 3x+2y10 的一个方向向量为(1， 3 2)； 双曲线 2 4 2= 1的渐近线方程为 y2x； 椭圆 2 4 + 2= 1的长轴长为 2； 圆 x2+y2+2x4y0 的半径为5 A1 B2 C3 D4 7 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，P 是 C1D
3、1的中 点，则1 与1 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 第 2 页（共 15 页） 8 （5 分）已知三个实数 2，m，8 构成一个等比数列，则圆锥曲线 2 + 2 2 = 1的离心率为 （ ） A 2 2 B3 C 2 2 或3 D 2 2 或 6 2 9 （5 分）2015 年 07 月 31 日 17 时 57 分，国际奥委会第 128 次全会在吉隆坡举行，投票选 出 2022 年冬奥会举办城市为北京 某人为了观看2022 年北京冬季奥运会， 从2016 年起， 每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元的定期储蓄，若年利率为 p 且保持不变，并约定每年到 期，存款的
4、本息均自动转为新的一年的定期，到 2022 年的 1 月 1 日将所有存款及利息全 部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ） Aa（1+P）6 Ba（1+P）7 C ,(1 + )6 (1 + )- D ,(1 + )7 (1 + )- 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分试题中包含两个空的，答对分试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 10 （5 分）已知椭圆 2 16 + 2 4 =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 6，则点 P 到另一个 焦点的距离为 11 （5 分）如图
5、，在三棱锥 OABC 中， = ， = ， = ，点 M 在 OA 上，且 OM 2MA， N为NC中点， * ， ， +构成空间的一个基底， 将 用基底表示， = 12（5 分） 已知圆 x2+y24 与圆 x2+y26x+2y+60 关于直线 l 对称， 则直线 l 方程 13 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若6 3 = 5 11，则 11 5 = 14 （5 分）圆 x2+y24x4y20 与圆 x2+y2+2x+8y80 的公共弦所在的直线方程 为 ，公共弦长 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P（x
6、1，y1） ，Q（x2，y2） 抛物线 y24x 焦点到准线的距离为 2； 第 3 页（共 15 页） 若 x1+x26，则|PQ|8； 12= 42； 过点 P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点 A，则直线 AQ抛物线的对称轴； 绕点（2，1）旋转且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 以上结论中正确的序号为 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分）已知等差数列an的前 n 项的和记为 Sn，a34，a68 （）求数列an的通项公式； （）求 S
7、n的最小值及其相应的 n 值 17 （15 分）已知圆 C 的圆心在 x+y0 上，点 A（2，0）在圆 C 上，且圆 C 与直线 xy 40 相切 （）求圆 C 的标准方程； （）过点 A 和点（3，2）的直线 l 交圆 C 于 A、E 两点，求弦|AE|的长 18 （15 分）已知an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a55（a4a3） ，b54（b4 b3） （）求an和bn的通项公式； （）na2nb2n+1，求数列n的前 n 项和 Sn 19 （15 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1DI中，E 为 BB1的中点 （）证明：1平面 AD1E； （）求直线 BC1到平面 A
8、D1E 的距离； （）求平面 AD1E 与平面 ABCD 夹角的余弦值 20 （16 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点 A（2，0） ，离心率为 3 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知定点 E（1，0） ，若直线 ykx2（k0）与椭圆 C 相交于 M、N 两点，试判 第 4 页（共 15 页） 断是否存在实数 k，使以 MN 为直径的圆过定点 E？若存在求出这个 k 值，若不存在说明 理由 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题
9、：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分. 1 （5 分）在等比数列an中，a1a716，则 a4的值为（ ） A4 B8 C4 D8 【解答】解：由等比数列的性质可得：a417=4 故选：C 2 （5 分）设平面 的一个法向量为1 = (1，2， 2)，平面 的一个法向量为 2 = (2， 4，)，若 ，则 k（ ） A2 B4 C2 D4 【解答】解：平面 的一个法向量为1 = (1，2， 2)，平面 的一个法向量为 2 = (2， 4，)， ，由题意可得2 1 = 4 2 = 2， k4 故选：D 3 （5 分）已知直线 x+ay10 和
10、直线 ax+4y+20 互相平行，则 a 的取值是（ ） A2 B2 C2 D0 【解答】解：直线 x+ay10 和直线 ax+4y+20 互相平行， 14aa0，解得 a2 或 a2， 经验证当 a2 时两直线重合，应舍去 故选：A 4 （5 分）直线 2xy+20 与圆（x1）2+（y2）24 的位置关系为（ ） A相交且直线过圆心 B相切 C相离 D相交且直线不过圆心 【解答】解：圆（x1）2+（y2）24 的圆心坐标（1，2） ，半径为：2 圆心到直线的距离为：|22+2| 4+1 = 25 5 2 圆与直线相交圆的圆心不在直线 2xy+20 上， 第 6 页（共 15 页） 所以相交
11、且直线不过圆心 故选：D 5 （5 分）设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为（ ） A15 B16 C49 D64 【解答】解：a8S8S7644915， 故选：A 6 （5 分）下列命题中正确的个数为（ ） 直线 3x+2y10 的一个方向向量为(1， 3 2)； 双曲线 2 4 2= 1的渐近线方程为 y2x； 椭圆 2 4 + 2= 1的长轴长为 2； 圆 x2+y2+2x4y0 的半径为5 A1 B2 C3 D4 【解答】解：直线 3x+2y10 的斜率为 k= 3 2，故直线 3x+2y10 的一个方向向量 为(1， 3 2)，故选项正确； 双曲线 2 4 2= 1的渐
12、近线方程为 = = 1 2 ，故选项错误； 因为椭圆 2 4 + 2= 1，所以 a2，则长轴长为 2a4，故选项错误； 圆 x2+y2+2x4y0 可变形为（x+1） 2+（y2）25，故圆的半径为5，故选项正确 故选：B 7 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，P 是 C1D1的中 点，则1 与1 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 【解答】解：以 D 为坐标原点，以 DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角 坐标系，如图所示， 第 7 页（共 15 页） A1（1，0，1） ，P（0，1，1） ，B1
13、（1，2，1） ，C（0，2，0） ， 1 = (1，0， 1)，1 = (1，1，0)， 设1 与1 所成角为 ， = |1 ，1 | = |1 1 | |1 |1 | = 1 22 = 1 2， 60 故选：C 8 （5 分）已知三个实数 2，m，8 构成一个等比数列，则圆锥曲线 2 + 2 2 = 1的离心率为 （ ） A 2 2 B3 C 2 2 或3 D 2 2 或 6 2 【解答】解：三个数 2，m，8 构成一个等比数列，m228，解得 m4 当 m4 时，圆锥曲线 2 4 + 2 2 = 1表示的是椭圆，其离心率 e= =1 2 2 = 1 2 4 = 2 2 ； 当 m4 时，
14、圆锥曲线 2 2 2 4 = 1表示的是双曲线，其离心率 e= =1 + 2 2 = 1 + 4 2 = 3 故选：C 9 （5 分）2015 年 07 月 31 日 17 时 57 分，国际奥委会第 128 次全会在吉隆坡举行，投票选 出 2022 年冬奥会举办城市为北京 某人为了观看2022 年北京冬季奥运会， 从2016 年起， 每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元的定期储蓄，若年利率为 p 且保持不变，并约定每年到 第 8 页（共 15 页） 期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到 2022 年的 1 月 1 日将所有存款及利息全 部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ） Aa（
15、1+P）6 Ba（1+P）7 C ,(1 + )6 (1 + )- D ,(1 + )7 (1 + )- 【解答】解：由题意可知，可取出钱的总数为： a（1+p） 7+a（1+p）6+a（1+p）5+a（1+p）4+a（1+p）3+a（1+p）2+a（1+p） = (1+),1(1+)7- 1(1+) = ,(1 + ) 7 (1 + )-， 故选：D 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分试题中包含两个空的，答对分试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 10 （5 分）已知椭圆 2
16、16 + 2 4 =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 6，则点 P 到另一个 焦点的距离为 2 【解答】解：由已知椭圆的方程可得 a216，所以 a4， 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2， 则由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|2a8， 不妨设|PF1|6，则|PF2|2， 即点 P 到另一个焦点的距离为 2， 故答案为：2 11 （5 分）如图，在三棱锥 OABC 中， = ， = ， = ，点 M 在 OA 上，且 OM 2MA，N 为 NC 中点，* ， ， +构成空间的一个基底，将 用基底表示， = 2 3 + 1 2 + 1 2 【解答】解：如图，连接 ON， 在三棱锥
17、OABC 中， = ， = ， = ，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 为 第 9 页（共 15 页） NC 中点， 所以 = = 1 2 （ + ） 2 3 = 2 3 + 1 2 + 1 2 = 2 3 + 1 2 + 1 2 故答案为： 2 3 + 1 2 + 1 2 12 （5 分）已知圆 x2+y24 与圆 x2+y26x+2y+60 关于直线 l 对称，则直线 l 方程 3x y50 【解答】解：由于两个圆的圆心分别为 O（0，0） 、C（3，1） ， 由题意可得直线 l 即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线， 求得 CO 的中点为（3 2， 1 2） ，CO 的斜率为 1
18、 3，故直线 l 的斜率为 3， 利用点斜式求得直线 l 的方程为：y+ 1 2 =3（x 3 2） ，即 3xy50， 故答案为：3xy50 13 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若6 3 = 5 11，则 11 5 = 1 【解答】解：由等差数列的性质：a1+a112a6，a1+a52a3， 故11 5 = 11(1+11) 2 5(1+5) 2 = 116 53 =1， 故答案为：1 14 （5 分）圆 x2+y24x4y20 与圆 x2+y2+2x+8y80 的公共弦所在的直线方程为 x+2y10 ，公共弦长 25 【解答】解：根据题意，两个圆的方程为 x2+y24x4
19、y20 与 x2+y2+2x+8y80， 联立可得 2 + 2 4 4 2 = 0 2+ 2+ 2 + 8 8 = 0，则有 6x+12y60，即 x+2y10， 圆 x2+y24x4y20，即（x2） 2+（y2）210，其圆心为（2，2） ，半径 r= 10， 圆心（2，2）到直线 x+2y10 的距离 d= |2+41| 5 = 5， 则公共弦长 l2 10 5 =25， 第 10 页（共 15 页） 故答案为：x+2y10，25 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 抛物线 y24x
20、焦点到准线的距离为 2； 若 x1+x26，则|PQ|8； 12= 42； 过点 P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点 A，则直线 AQ抛物线的对称轴； 绕点（2，1）旋转且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 以上结论中正确的序号为 【解答】解：由抛物线的方程可得：p2，且焦点 F（1，0） ，准线方程为：x1， 对于：由抛物线的焦点坐标以及准线方程可得焦点到准线的距离为 2，故正确， 对于：由抛物线的定义可得：|PQ|xx+x2+px1+x2+28，故正确， 对于：设直线 PQ 的方程为：xmy+1，代入抛物线方程可得： y24my40，所以 y 12= 4 42，故错
21、误， 对于：由点 P 的坐标可设直线 OP 的方程为：y= 1 1 ， 令 x1，则 y= 1 1，所以 A（1， 1 1） ， 又因为由知：y1y24，y1+y24m， 所以点 Q 的坐标为（x 2， 4 1） ，而点 P 满足方程 y 1 2 = 41，即 x 1= 1 4 1 2， 所以 A（1， 4 1） ，所以 AQx 轴，即直线 AQ抛物线的对称轴，故正确， 对于：当 y1 时，显然与抛物线只有一个公共点， 设过 M 的直线的方程为：xmym2，代入抛物线的方程可得： y24my+4m+80，令16m24（4m+8）0， 解得 m2 或1， 故绕点（2，1）旋转且与抛物线 C 有且
22、仅有一个公共点的直线有 3 条 ，故错误， 故答案为： 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分）已知等差数列an的前 n 项的和记为 Sn，a34，a68 （）求数列an的通项公式； 第 11 页（共 15 页） （）求 Sn的最小值及其相应的 n 值 【解答】解： （）等差数列an的前 n 项的和记为 Sn，a34，a68 由已知得：1 + 2 = 4 1+ 5 = 8 ，解得：1 = 12 = 4 ， 数列an的通项公式为 （）解法一：= 1+ (1) 2 12n
23、+2n（n1）2n214n = 2( 7 2) 2 49 2 ， 当 n 取最接近 3.5 的整数，即 n3 或 4 时，Sn有最小值， Sn最小值为 184224 解法二：d40，an为递增数列， 当 n4 时，an4n160， 当 n4 时，an4n160， 当 n4 时，an4n160， n3 或 4 时，Sn有最小值，Sn最小值为 184224 17 （15 分）已知圆 C 的圆心在 x+y0 上，点 A（2，0）在圆 C 上，且圆 C 与直线 xy 40 相切 （）求圆 C 的标准方程； （）过点 A 和点（3，2）的直线 l 交圆 C 于 A、E 两点，求弦|AE|的长 【解答】解
24、： （）设圆的标准方程为： （xa）2+（yb）2r2（1 分） 由题意得： + = 0 (2 )2+ 2= 2 |4| 2 = ，（4 分） 解得： = 1 = 1 = 2 ，（7 分） 圆的标准方程为： （x1）2+（y+1）22（8 分） （）直线 l 过点 A 和点（3，2） ， 直线的斜率为 kl2， （9 分） 第 12 页（共 15 页） 直线l为：y2（x2）2xy4 0， （10 分） 设圆心到直线的距离为 d = |2+14| 5 = 1 5 = 5 5 ， . （12 分） (1 2|) 2 + 2= 2， |= 2(2 2)（14 分） = 22 1 5 = 65 5
25、，（15 分） 弦|AE|的长为65 5 18 （15 分）已知an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a55（a4a3） ，b54（b4 b3） （）求an和bn的通项公式； （）na2nb2n+1，求数列n的前 n 项和 Sn 【解答】解： （）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q， 由 a11，a55（a4a3） ， 则 1+4d5d， 可得 d1， an1+n1n 由 a1b11，b54（b4b3） ， b11，b54（b4b3） ， q44（q3q2） ， 解得 q2， = 21； （ II）由 a2n2n，2+!= 22= 4， 有= 22+1= 2 4， 故=
26、 2 4 + 4 42+ 6 43+ + 2( 1) 41+ 2 4， 4= 2 42+ 4 43+ 6 44+ + 2( 1) 4+ 2 4+1， 上述两式相减，得3= 2 4 + 2 42+ 2 43+ + 2( 1) 4 2 4+1， = 2 4(14) 14 2 4+1， 第 13 页（共 15 页） = 8 3 (2 2 3) 4 +1， 得= 8 9 + 62 9 4+1 19 （15 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1DI中，E 为 BB1的中点 （）证明：1平面 AD1E； （）求直线 BC1到平面 AD1E 的距离； （）求平面 AD1E 与平面 ABCD 夹角的余弦值
27、 【解答】证明： （）D1C1AB，D1C1AB， 四边形 D1ABC1为平行四边形， D1AC1B， D1A面 AD1E，C1B面 AD1E， 1平面 AD1E 解： （）如图建立空间直角坐标系 Axyz，设正方体的棱长为 2， 则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，D1（2，0，2） ，C1（2，2，2） ，E（0，2，1） ， 1平面 AD1E， 直线 BC1 到平面 AD1E 的距离即为点 B 到平面 AD1E 的距离， = (0，2，0)，1 =（2，0，2） ， = (0，2，1)， 设平面 AD1E 的一个法向量为 = (，)， 则 1 = 2 + 2 = 0 = 2 +
28、= 0 ，取 z1，得 = (1， 1 2， 1)， = | | | = |(0，2，0)(1，1 2，1)| 1+1+1 4 = 1 3 2 = 2 3， 直线 BC1到平面 AD1E 的距离为2 3； 第 14 页（共 15 页） 解： （）平面 ABCD 的一个法向量为 = (0，0，2)， 由（）知平面 AD1E 的一个法向量为 = (1， 1 2， 1) 设平面 AD1E 与平面 ABCD 夹角为 ， 则 = | 1 | = | 1 | | 1 | | = | (0.0.2)(1，1 2，1) 21+1+1 4 | = 2 3， 故平面 AD1E 与平面 ABCD 夹角的余弦值2 3
29、 20 （16 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点 A（2，0） ，离心率为 3 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知定点 E（1，0） ，若直线 ykx2（k0）与椭圆 C 相交于 M、N 两点，试判 断是否存在实数 k，使以 MN 为直径的圆过定点 E？若存在求出这个 k 值，若不存在说明 理由 【解答】解： （）依题得 2= 2+ 2 = 3 2 = 2 ， 解得：a24，b21， 所以椭圆 C 的方程为 2 4 + 2= 1 （）假设存在实数 k，使以 MN 为直径的圆过定点 E， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立方程 = 2 2 4 + 2
30、= 1，消去 y 得： （1+4k 2）x216kx+120， 第 15 页（共 15 页） （16k）2412（1+4k2）0， 1+ 2= 16 1+42 ，1 2= 12 1+42（*） ， 若以 MN 为直径的圆过定点 E， 则 EMEN， 则： = (1 1，1) (2 1，2) = (1 1)(2 1) + 12= （x11）（x21） +（kx12） （kx22）（1+k2）x1x2（2k+1） （x1+x2）+50， 将（*）代入此式得：(1 + 2) 16 1+42 (2 + 1) 12 1+42 + 5 = 0， 解得： = 17 16，满足0 日期：2021/1/27 19:09:29； 用户：所以然 ；邮箱：1870 7363228；学 号：36942985
