2020-2021学年青海省西宁市大通县高三（上）期末数学试卷（理科）.docx下载_163文库

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2、5 2 2 i B 5 2 2 i C 3 2 2 i D 3 2 2 i 3 （5 分）已知x，y满足约束条件 2 0 22 0 1 xy xy x ，则35zxy的最小值为( ) A6 B8 C10 D12 4 （5 分）经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为 0.618 时是最美的，如果某人的这个比值与 0.618 相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准若某女性的身高 170 厘米，下肢部分之长为 103 厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高度最适合的为( ) A5.4 厘米 B5.8 厘米 C4.9 厘米 D4.5 厘米 5 （5 分）直

3、线2yx被圆 22 4210 xyxy 所截得的弦长为( ) A4 B3 2 C2 3 D14 6 （5 分）已知锐角ABC三边长分别为x，5，1x ，则实数x的取值范围为( ) A(1,2) B(2,3) C 2 ( ,2) 5 D(2,5) 7 （5 分）某高校对全体大一新生开展了一次有关 “人工智能引领科技新发展” 的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分 100 分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的 5 名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是( ) 甲、乙的中位数之和为 155；甲的平均成绩较低，方差较小；甲的平均成绩较低，方差较大；第

4、2 页（共 18 页）乙的平均成绩较高，方差较小；乙的平均成绩较高，方差较大 A B C D 8 （5 分） 44 sincos( 1212 ) A 1 2 B 5 8 C 3 4 D 7 8 9 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，直线1yx与椭圆 2 2 1 2 x y相交于A、B两点，则OAB的面积为( ) A 2 2 3 B1 C 2 3 D 2 3 10 （ 5 分）函数( )cos()(0f xAxA，0)的部分图象如图所示，则 ( )s i n ()g xAx的单调递增区间为( ) A 12 2,2() 33 Zkkk B 21 2,2() 33

5、Zkkk C 21 2,2() 33 Zkkk D 12 2,2() 33 Zkkk 11 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A8 B9 C10 D11 第 3 页（共 18 页） 12 （5 分）已知01t ， 3 logat， 4 logbt， 5 logct，则( ) A453bca B534cab C543cba D435bac 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分）已知向量a，b满足| 1a ，(1, 3)b ，若() 2a a

6、b ，则a与b的夹角为 14 （5 分） 5 ()x ax的展开式中 3 x的系数为1250，则是实数a的值为 15 （5 分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，2AB ，5AP ，则三棱锥PABC的外接球的体积为 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H若 1 |PHPF的最小值为4a，则双曲线C的离心率为三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721

7、题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共共 60 分分 17 （12 分）已知前n项和为 n S的等差数列 n a的通项公式为403 n an （1）求 n S的最大值；（2）令 1 1 (40)(40) n nn b aa ，记数列 n b的前n项和为 n T，求满足 12 109 n T 的正整数n的值 18 （12 分）如图，多面体ABCE中，平面AEC 平面ABC，ACBC，AECD四边形 BCDE为平行四边形（）证明：AEEC；第 4 页

8、（共 18 页）（）若2AEECCB，求二面角DACE的余弦值 19 （12 分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字 1 到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字 7 到 12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字 1 到 6 的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 4 到 6 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字 1，2，3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字 2，3 的卡

9、片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品已知同学甲参加了该游戏（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望 20 （12 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，斜率为 2 的直线l与抛物线C相交于A、B 两点（1）若直线l与抛物线C的准线相交于点P，且| 2 2PF ，求直线l的方程；（2）若直线l不过原点，且90AFB，求ABF的周长 21 （12 分）已知函数 32 ( )()f xexax aR （1）讨论函数( )f x的单调性；（2）当0 x 时，若( )0 x f xe，求实数

10、a的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 24( 1 xt t yt 为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为第 5 页（共 18 页） 2 22 12 4sin3cos （1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值选修选修 4-5

11、：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( ) |1|f xxmxm （1）当1m 时，求不等式 1 ( ) 2 f x 的解集；（2）若( ) 1f x ，求实数m的取值范围第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年青海省西宁市大通县高三（上）期末数学试卷（理学年青海省西宁市大通县高三（上）期末数学试卷（理科）科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求有一项是符合题目要求 1 （5

13、的最小值为( ) A6 B8 C10 D12 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图，第 7 页（共 18 页）联立 1 20 x xy ，解得(1,3)A，化目标函数35zxy为 3 55 z yx，由图可知，当直线 3 55 z yx过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为12 故选：D 4 （5 分）经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为 0.618 时是最美的，如果某人的这个比值与 0.618 相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准若某女性的身高 170 厘米，下肢部分之长为 103 厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高

14、度最适合的为( ) A5.4 厘米 B5.8 厘米 C4.9 厘米 D4.5 厘米【解答】解：设该女性选择高跟鞋的高度为x，由题意有 103 0.618 170 x x ，解得5.4x 厘米故选：A 5 （5 分）直线2yx被圆 22 4210 xyxy 所截得的弦长为( ) A4 B3 2 C2 3 D14 【解答】解：由题设可得圆的标准方程为 22 (2)(1)4xy，圆心(2, 1)到直线2yx的距离 |212|12 222 d ，半径2r ，所要求弦长为 2 2 2 4()14 2 ，故选：D 6 （5 分）已知锐角ABC三边长分别为x，5，1x ，则实数x的取值范围为(

15、) A(1,2) B(2,3) C 2 ( ,2) 5 D(2,5) 【解答】解：因为锐角ABC三边长分别为x，5，1x ，由题意有 22 22 (1)5 0 2 (1) 5(1) 0 2 5 xx x x xx x ，解得12x 第 8 页（共 18 页）故选：A 7 （5 分）某高校对全体大一新生开展了一次有关 “人工智能引领科技新发展” 的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分 100 分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的 5 名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是( ) 甲、乙的中位数之和为 155；甲的平均成绩较低，方差较小；甲的平均

16、成绩较低，方差较大；乙的平均成绩较高，方差较小；乙的平均成绩较高，方差较大 A B C D 【解答】解：由茎叶图可得甲、乙两组数据的中位数分别为 76，79，甲、乙的中位数之和为 155，故正确； 6372768396 78 5 x 甲， 6972798897 81 5 x 乙， 222222 1(63 78)(7278)(7678)(8378)9678)122.8 5 S 甲， 22222 2 1 69817281798188819781106.8 5 S 乙故错误，正确，正确，错误所以正确的说法是故选：B 8 （5 分） 44 sincos( 1212 ) A 1 2 B

17、 5 8 C 3 4 D 7 8 【解答】解： 44222222 117 sincos(sincos)2sincos1sin1 1212121212122688 ，故选：D 第 9 页（共 18 页） 9 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，直线1yx与椭圆 2 2 1 2 x y相交于A、B两点，则OAB的面积为( ) A 2 2 3 B1 C 2 3 D 2 3 【解答】解：联立方程 2 2 1 1 2 yx x y ，解得 4 0 3 11 3 x x y y 或，不妨设(0,1)A，则 41 (,) 33 B ，则 16164 2 | 993 AB ，点O到直线1yx的距离

18、为 1 2 ，则OAB的面积为 14 212 2332 S ，故选：C 10 （ 5 分）函数( )cos()(0f xAxA，0)的部分图象如图所示，则 ( )s i n ()g xAx的单调递增区间为( ) A 12 2,2() 33 Zkkk B 21 2,2() 33 Zkkk C 21 2,2() 33 Zkkk D 12 2,2() 33 Zkkk 【解答】解：由图可知， 2 1,2AT ，由五点法作图，可得 2 32 ，可得 6 ， ( )sin() 6 g xx 由22() 262 xZ k剟kk，得 21 22() 33 xZk剟kk，所以，

19、( )g x的递增区间为 21 2,2() 33 Zkkk，故选：B 第 10 页（共 18 页） 11 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A8 B9 C10 D11 【解答】解：该几何体的直观图为三棱柱切去一个三棱锥而得，如图所示，其体积为 111 4232 1 312111 232 故选：D 12 （5 分）已知01t ， 3 logat， 4 logbt， 5 logct，则( ) A453bca B534cab C543cba D435bac 【解答】解：由已知可得 1 3 t a log ， 1 4 t b

20、 log ， 1 5 t c log ，所以 34 34434334 34 343434 tttt tttttt loglogloglog ab loglogloglogloglog ，因为01t ， 34 43，所以log 4 t 3 log 3 t 4 0，log 30 t ，log 40 t ，所以340ab，即34ab，同理可得450bc，即45bc，综上，345abc，故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量a，b满足| 1a ，(1, 3)b ，若()2a ab，则a与b的夹

21、角为 120 【解答】解：因为 2 ()12a abaa ba b ，所以1a b ，第 11 页（共 18 页）则cosa， 11 1 22| | a b b ab ，即有a与b的夹角为120，故答案为120 14 （5 分） 5 ()x ax的展开式中 3 x的系数为1250，则是实数a的值为 5 【解答】解： 5 ()x ax展开式中 3 x的系数为 2323 5 ( 1)101250Caa ， 5a ，故答案为：5 15 （5 分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，2AB ，5AP ，则三棱锥PABC的外接球的体积为 9 2 【解答】解：在三棱锥PABC中

22、，PA平面ABC，ACBC，以AC，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，三棱锥PABC的外接球的半径 13 45 22 R ，三棱锥PABC的外接球的体积为： 33 4439 ( ) 3322 SR 故答案为： 9 2 第 12 页（共 18 页） 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H若 1 |PHPF的最小值为4a，则双曲线C的离心率为 5 【解答】解：由双曲线定义知， 12 | 2PFP

23、Fa，则 12 | | 2PFPFa， 12 | | 2PHPFPHPFa，所以，过 2 F作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H，交右支于点P，此时 2 | 2PHPFa最小且最小值为4a，易求焦点到渐近线的距离为b 即 2 |PHPFb，所以24baa，即2ba， 22 5ca，可求离心率5e 故答案为：5 第 13 页（共 18 页）三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答

24、（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共共 60 分分 17 （12 分）已知前n项和为 n S的等差数列 n a的通项公式为403 n an （1）求 n S的最大值；（2）令 1 1 (40)(40) n nn b aa ，记数列 n b的前n项和为 n T，求满足 12 109 n T 的正整数n的值【解答】解：（1）令0 n a ，可得 40 3 n，可得当113n剟时，0 n a ；当14n时，0 n a ，故当13n 时， n S的最大值为 13 13 12 13 (403)( 3)247 2 S （2）由403 n an ，有 111 11 ()

25、 ( 3 ) 3(1)9 (1)91 n b nnn nnn ，有 11111111 (1)()()(1) 9223191 n T nnn ，有 1112 (1) 91109n ，解得108n 故满足 12 109 n T 的正整数n的值为 108 18 （12 分）如图，多面体ABCE中，平面AEC 平面ABC，ACBC，AECD四边形 BCDE为平行四边形（）证明：AEEC；（）若2AEECCB，求二面角DACE的余弦值【解答】解：（）证明：因为平面AEC 平面ABC，交线为AC，又ACBC，所以BC 平面AEC，BCAE，又AECD，CDBCC，则AE 平面BCDE，EC

26、平面BCDE，第 14 页（共 18 页）所以AEEC；（）取AC的中点O，AB的中点F，连接OE，OF，则OE 平面ABC，OF 平面AEC，以点O为坐标原点，分别以OA，OF，OE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，已知2AEECCB，则2AC ，1OE (0O，0，0)，(1A，0，0)，( 1C ，0，0)， (0,2,1)D，则( 2,0,0)AC ，( 1,2,1)AD ，设平面DAE的一个法向量( , , )mx y z，由 0, 0 m AC m AD 得 20, 20 x xyz 令2y ，则0 x ，2z ，即(0, 2,2)m ，平

27、面ECA的一个法向量为(0,1,0)n ，由 23 cos, |324 m n m n m n ，所以二面角DACE的余弦值为 3 3 19 （12 分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字 1 到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字 7 到 12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字 1 到 6 的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 4 到 6 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字 1，2，3 的三张相同第 15

28、页（共 18 页）的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字 2，3 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品已知同学甲参加了该游戏（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则 63211 ( ) 1263212 P A （2）随机变量X的取值可以为 1，2，3，4 61 (1) 122 P X ， 631 (2) 1264 P X ， 6311 (3) 126312 P X

29、， 6321 (4) 12636 P X X的分布列为随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P 1 2 1 4 1 12 1 6 所以数学期望 111123 ()1234 2412612 E X 20 （12 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，斜率为 2 的直线l与抛物线C相交于A、B 两点（1）若直线l与抛物线C的准线相交于点P，且| 2 2PF ，求直线l的方程；（2）若直线l不过原点，且90AFB，求ABF的周长【解答】解：（1）由抛物线方程可得(1,0)F，准线方程为1x ，设直线l的方程为2yxm，则点P的坐标为( 1,2)m，联立方程 2 4

30、2 yx yxm ，消去y整理可得 22 4(44)0 xmxm，则 22 (44)1616320mmm，可得 1 2 m ，第 16 页（共 18 页）由点F的坐标为(1,0)，有 2 |4(2)2 2PFm，解得0m 或4m （舍去），故直线l的方程为2yx；（2）设直线l的方程为2(0)yxb b， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立方程 2 4 2 yx yxb ，消去y整理可得 22 4(44)0 xbxb，则 12 1xxb ， 2 12 4 b x x ，所以 2 1212212 (2)(2)42 () x y yxbxbx xb xxb

31、 22 2 (1)2bbbbb，且 22 (44)160bb，解得 1 2 b ，又由 11 (1,)FAxy， 22 (1,)FBxy，可得 2 1212121212 (1)(1)()1(1)120 4 b FA FBxxy yx xxxy ybb ，解得12b 或0b （舍去），所以12b ，则 12 13xx， 12 36x x ，所以由弦长公式可得 22 |12134 365 5AB ， 12 | (1)(1)13215AFBFxx，故三角形ABF的周长为155 5 21 （12 分）已知函数 32 ( )()f xexax aR （1）讨论函数( )f x的单调性；

32、（2）当0 x 时，若( )0 x f xe，求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数( )f x的定义域为R， 2 2 ( )323() 3 a fxexaxex x e ，当0a 时， 2 ( )30fxex，此时函数( )f x在R上单调递增，增区间为(,) ；当0a 时，令( )0fx，可得 2 0 3 a x e ，此时函数( )f x的减区间为 2 (0,) 3 a e ，增区间为(,0)， 2 (,) 3 a e ；第 17 页（共 18 页）当0a 时，令( )0fx，可得 2 0 3 a x e ，此时函数( )f x的减区间为 2 (,0) 3 a e ，增

33、区间为 2 (,) 3 a e ，(0,)；（2）不等式( )0 x f xe可化为 23x axeex，可得 3 2 x eex a x ，即 2 x e aex x ，令 2 ( )(0) x e g xex x x ，则 3 (2) ( ) x xe g xe x ，令 3 (2) ( )(0) x xe h xe x x ，则 2 44 (1)3(2)(2)2 ( )0 xxx x xexexe h x xx ，函数( )h x在(0,)单调递增，又由h（1）0，可得01x时，( )0h x ； 1x 时，( )0h x ，可得函数( )g x的减区间为(0,1)，增区间

34、为(1,)， ( )ming xg（1）2e，2ae ，故当0 x 时，若( )0 x f xe，则实数a的取值范围为(，2 e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 24( 1 xt t yt 为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 22 12 4sin3cos （1）求直线l和曲线C的直角

35、坐标方程；（2）若点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值【解答】解：（1）在直线l的参数方程中消去参数t有2(1)4xy，整理可得直线l的的直角坐标方程为260 xy，曲线C的极坐标方程可化为 2222 4sin3cos12，将cosx，siny代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程为 22 3412xy 第 18 页（共 18 页）（2）曲线C的直角坐标方程可化为 22 1 43 xy ，设点P的坐标为(2cos , 3sin)，点P到直线l的距离为 |4cos()6| |2cos2 3sin6|10 3 2 5 555 d ，故点P到直线l的距离

36、的最大值为2 5 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( ) |1|f xxmxm （1）当1m 时，求不等式 1 ( ) 2 f x 的解集；（2）若( ) 1f x ，求实数m的取值范围【解答】解：（1）当1m 时，( ) |2|1f xxx，当1x 时，不等式 1 ( ) 2 f x ，可化为 1 (2)(1) 2 xx，得 1 1 2 ，不合题意，舍去；当12x剟时，不等式 1 ( ) 2 f x ，可化为 1 (2)(1) 2 xx，得 5 4 x ，有 5 2 4 x ；当2x 时，不等式 1 ( ) 2 f x ，可化为 1 (2)(1) 2 xx，得 1 1 2 ，有2x 由上知不等式 1 ( ) 2 f x 的解集为 5 ( ,) 4 （2）由 222 ( )|(1)()| |1|1f xxmxmmmmm，若( ) 1f x ，有 2 1 1mm ，解得01m剟，故若( ) 1f x ，则实数m的取值范围0，1

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