1、2020-2021 学年辽宁省辽阳市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题）. 1已知集合 Ax|0 x2，Bx|x2+3x40，则 AB（ ） A（0，1） B（4，2） C4，2 D（4，0） 2已知命题 p：“xR，x20”，则p 是（ ） AxR，x20 BxR，x20 CxR，x20 DxR，x20 3已知 a40.6，blog38，cln2，则（ ） Acab Bacb Cbca Dcba 4“xQ”是“xZ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数 f（x）xln|x|的图象大致为（ ） A B C D 6某商场开通三种平
2、台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图 1 所示该商场为了解消 费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了 6%的顾客进行满意度调 查，得到的数据如图 2 所示下列说法正确的是（ ） A总体中对平台一满意的消费人数约为 36 B样本中对平台二满意的消费人数为 300 C样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为 54 D若样本中对平台三满意的消费人数为 120，则 m50% 7如表为随机数表的一部分： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 已知甲班有 60 位同学，编号为 00
3、59 号，规定：利用上面的随机数表，从第 1 行第 4 列的数开始，从左向右依次读取 2 个数，则抽到的第 8 位同学的编号是（ ） A11 B15 C25 D37 8已知 mina，b，c表示实数 a，b，c 中的最小值，设函数 f（x）minx+1，3x1，g （x），若 f（x）的最大值为 4，则 g（x）的解析式可以为（ ） Ag（x）1x Bg（x）x2+4x+1 Cg（x）4x8 Dg（x）2x4 二、选择题（共 4 小题）. 9若向量 （，1）与 （3，1）共线，则（ ） A3 B| | C3 D| |2 10已知函数 f（x）在其定义域内单调递增，且 f（1）1，若 f（x）的
4、反函数为 f 1（x）， 则（ ） Af 1（1）1 Bf 1（x）在定义域内单调递增 Cf 1（1）1 Df 1（x）在定义域内单调递减 11若幂函数 f（x）（m2+m11）xm+7在（，0）上单调递增，则（ ） Am3 Bf（1）1 Cm4 Df（1）1 12设非零实数 a，b 满足，则（ ） Aab B C D 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13已知 a1，则 a+的最小值为 ，此时 a 14已知 A（5，7），B（3，1），且 C 与 A 关于点 B 对称，则 C 的坐标为 15已知一组样本数据 1，2，m，8 的极差为
5、8，若 m0，则其方差为 16已知函数 f（x），若方程 3mf2（x）（2m+3）f（x）+20 有 6 个 不同的实数解，则 m 的取值范围是 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分）在2M，3M，函数的图象经过点，a0，2a2 5a30 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答 问题：已知集合 MxN|x3+2a，Nx|12x+16，且_，求 MN 18（12 分）（1）设 ， 是两个不共线的向量， 2 ， + ， 5 ， 证明：A，B，D 三点共线 （2）已知 E，F 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，且 EFB
6、C，AEAB如果 ， ，试用向量 ， 表示， 19（12 分）已知函数 f（x）log2（x24） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求不等式 f（x）3 的解集 20（12 分）甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往 20 次的测试，将样本数据分成50， 60），60，70），70，80），80，90），90，100五组，并整理得到如图频率分布直 方图： 已知甲测试成绩的中位数为 75 （1）求 x，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数 据可用该组区间中点值代替）； （2）从甲、乙两人测试成绩不足 60 分的试卷中随机抽取 3 份，求恰有 2 份来自乙的概
7、 率 21（12 分）已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 只还需另投入 16 美元设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完， 每万只的销售收入为 R（x）万美元，且 R（x） （1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（万只）的函数解析式； （2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出 最大利润 22（12 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x2ex （1）求 f（x）的解析式； （2）证明：f（x）在 R 上单调递增； （3）若对任意的 xR，不等
8、式 f（ax23x1）+f（5ax）+ax2（3+a）x+40 恒成立， 求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1已知集合 Ax|0 x2，Bx|x2+3x40，则 AB（ ） A（0，1） B（4，2） C4，2 D（4，0） 解：Ax|0 x2，Bx|4x1， AB（4，2） 故选：B 2已知命题 p：“xR，x20”，则p 是（ ） AxR，x20 BxR，x20 CxR，x20 DxR，x20 解：命题：xR，x20 的否定是： xR，x20 故选：D 3已知 a40.6，blog38，cln2
9、，则（ ） Acab Bacb Cbca Dcba 解：40.640.52，a2， 1log33log38log392，1b2， ln2lne1，c1， cba， 故选：D 4“xQ”是“xZ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为有理数包括整数和分数，所以“xQ”是“xZ”的必要不充分条件 故选：B 5函数 f（x）xln|x|的图象大致为（ ） A B C D 解：因为 f（x）xln|x|xln|x|f（x），所以 f（x）是奇函数，排除 C，D 当 0 x1 时，ln|x|0，f（x）0，排除 B 故选：A 6某商场开通三种平台销售商
10、品，五一期间这三种平台的数据如图 1 所示该商场为了解消 费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了 6%的顾客进行满意度调 查，得到的数据如图 2 所示下列说法正确的是（ ） A总体中对平台一满意的消费人数约为 36 B样本中对平台二满意的消费人数为 300 C样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为 54 D若样本中对平台三满意的消费人数为 120，则 m50% 解：样本中对平台一满意的人数为 20006%30%36故 A 错误； 总体中对平台二满意的人数约为 150020%300故 B 错误； 样本中对平台一和平台二满意的总人数为 20006%30%+15006%20%36+
11、18 54故 C 正确； 对平台三的满意率为80%所以 m80%故 D 错误； 故选：C 7如表为随机数表的一部分： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 已知甲班有 60 位同学，编号为 0059 号，规定：利用上面的随机数表，从第 1 行第 4 列的数开始，从左向右依次读取 2 个数，则抽到的第 8 位同学的编号是（ ） A11 B15 C25 D37 解：选取方法是从随机数表从第 1 行第 4 列的数开始， 从左向右依次读取 2 个数中小于 60 的编号依次为 15，17，53，18
12、，22，37，42，11， 则抽到的第 8 位同学的编号是 11 故选：A 8已知 mina，b，c表示实数 a，b，c 中的最小值，设函数 f（x）minx+1，3x1，g （x），若 f（x）的最大值为 4，则 g（x）的解析式可以为（ ） Ag（x）1x Bg（x）x2+4x+1 Cg（x）4x8 Dg（x）2x4 解：如图，在同一坐标系下分别画出函数 y3x，yx+1，yg（x）（大致）的图象， 经检验可得 B 正确， 故选：B 二、选择题：本大题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
13、得 0 分 9若向量 （，1）与 （3，1）共线，则（ ） A3 B| | C3 D| |2 解：向量 （，1）与 （3，1）共线， （1）30，解得 3 （3，1）与 （3，1）， | | 2 故选：AD 10已知函数 f（x）在其定义域内单调递增，且 f（1）1，若 f（x）的反函数为 f 1（x）， 则（ ） Af 1（1）1 Bf 1（x）在定义域内单调递增 Cf 1（1）1 Df 1（x）在定义域内单调递减 解：因为 f（1）1， 则由反函数的定义可知：f 1（1）1， 且函数 f 1（x）在定义域内单调递增， 所以 A，B 正确，C，D 错误， 故选：AB 11若幂函数 f（x）（
14、m2+m11）xm+7在（，0）上单调递增，则（ ） Am3 Bf（1）1 Cm4 Df（1）1 解：幂函数 f（x）（m2+m11）xm+7在（，0）上单调递增， m2+m111，求得 m4，或 m3 当 m4 时，f（x）x3，满足在（，0）上单调递增； 当 m3 时，f（x）x10，不满足在（，0）上单调递增， 故 m4，f（x）x3，f（1）1， 故选：CD 12设非零实数 a，b 满足，则（ ） Aab B C D 解：由，可知 a0 或 a1，1b0， 所以 A，D 错误 因为或， 所以，即， 所以 B 正确 由 a0 或 a1，1b0， 可知 a20，0b21，且 ， 所以，所以
15、 C 正确 故选：BC 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13已知 a1，则 a+的最小值为 1+2 ，此时 a 1+ 解：因为 a1， 所以 a+（a1）+ +1， 当且仅当 a1，即 a1+时取等号， 此时 a+的最小值 2 故答案为：2，1+ 14已知 A（5，7），B（3，1），且 C 与 A 关于点 B 对称，则 C 的坐标为 （1，5） 解：设 C（x，y）， A（5，7），B（3，1），且 C 与 A 关于点 B 对称， ，即（2，6）（x3，y+1）， ，解得 x1，y5 C 的坐标为（1，5） 故答案为：（1，5） 1
16、5已知一组样本数据 1，2，m，8 的极差为 8，若 m0，则其方差为 12.5 解：一组样本数据 1，2，m，8 的极差为 8，且 m0， m18，解得 m9， 5， 该样本数据的方差为（15）2+（25）2+（85）2+（95）212.5， 故答案为：12.5 16已知函数 f（x），若方程 3mf2（x）（2m+3）f（x）+20 有 6 个 不同的实数解，则 m 的取值范围是 解：因为函数 f（x），作出函数 f（x）的图象如图所示， 令 tf（x），则方程 3mf2（x）（2m+3）f（x）+20 有 6 个不同的实数解， 等价于关于 t 的方程 3mt2（2m+3）t+20 在（0
17、，1上有两个不等的实数根， 令 g（t）3mt2（2m+3）t+2（mt1）（3t2）， 则有，解得， 所以 m 的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分）在2M，3M，函数的图象经过点，a0，2a2 5a30 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答 问题：已知集合 MxN|x3+2a，Nx|12x+16，且_，求 MN 解：选择，因为 2M，3M，所以 23+2a3 又 xN，所以 M0，1，2 因为，所以 MN1，2， 选择，将的坐标代入，解得， 故 MxN|x20，1，2， 因为，所以 MN1
18、，2 选择，2a25a3（2a+1）（a3）0，解得 或 a3（舍去）， 故 MxN|x20，1，2 因为，所以 MN1，2 18（12 分）（1）设 ， 是两个不共线的向量， 2 ， + ， 5 ， 证明：A，B，D 三点共线 （2）已知 E，F 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，且 EFBC，AEAB如果 ， ，试用向量 ， 表示， 【解答】证明：（1）：因为 2 ， + ， 5 ， 所以2， 因为与有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线 解：（2）因为 EFBC，AEAB， 所以， ， 所以， 所以 19（12 分）已知函数 f（x）log2（x24） （1）求函数 f（x）的单
19、调区间； （2）求不等式 f（x）3 的解集 解：（1）函数 f（x）的定义域为（，2）（2，+）， 设 tx24，则 g（t）log2t，函数 g（t）是单调递增函数， 函数 tx24 的单调递增区间为（0，+），单调减区间为（，0）， 所以根据复合函数的单调性，及 f（x）的定义域可得 f（x）的单调递增区间为（2，+）， 单调递减区间为（，2） （2）由 f（x）3，得，即 x24238， 所以， 解得或 故不等式的解集为x|或 20（12 分）甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往 20 次的测试，将样本数据分成50， 60），60，70），70，80），80，90），90，100五组，并
20、整理得到如图频率分布直 方图： 已知甲测试成绩的中位数为 75 （1）求 x，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数 据可用该组区间中点值代替）； （2）从甲、乙两人测试成绩不足 60 分的试卷中随机抽取 3 份，求恰有 2 份来自乙的概 率 解：（1）甲测试成绩的中位数为 75， 0.0110+y10+0.04（7570）0.5，解得 y0.02 0.0110+y10+0.0410+x10+0.005101，解得 x0.025 同学甲的平均分为 550.0110+650.0210+750.0410+850.02510+950.005 1074.5 同学乙的平均分
21、为 550.01510+650.02510+750.0310+850.0210+950.01 1073.5 （2）甲测试成绩不足 6（0 分）的试卷数为 200.01102，设为 A，B；乙测试成绩 不足 0 分的试卷数为 200.015103，设为 a，b，c； 从中抽 3 份的情况有（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A， a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），共 10 种情况 满足条件的有（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c）， （B，b，c），共 6 种情况， 故恰
22、有 2 份来自乙的概率为 21（12 分）已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 只还需另投入 16 美元设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完， 每万只的销售收入为 R（x）万美元，且 R（x） （1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（万只）的函数解析式； （2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出 最大利润 解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得 当 0 x40 时，WxR（x）（16x+40）6x2+384x40；当 x40 时，WxR（x） （16x+40） W； （2
23、）当 0 x40 时，W6x2+384x406（x32）2+6104，x32 时，Wmax W（32）6104； 当 x40 时，W2+7360， 当且仅当，即 x50 时，WmaxW（50）5760 61045760 x32 时，W 的最大值为 6104 万美元 22（12 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x2ex （1）求 f（x）的解析式； （2）证明：f（x）在 R 上单调递增； （3）若对任意的 xR，不等式 f（ax23x1）+f（5ax）+ax2（3+a）x+40 恒成立， 求实数 a 的取值范围 解：（1）f（x）是定义在 R 上的奇函数，且
24、当 x0 时，f（x）x2ex 当 x0 时，x0，可得 f（x）（x）2e xf（x）， 则 f（x）x2e x（x0）， 综上可得 f（x）； （2）证明：当 x0 时，f（x）0，设 0 x1x2， 则（）2 e ， 由 0 x1x2，可得 0 1，0e1， 则 0（）2 e1，即有 f（x1）f（x2）， 所以 f（x）在（0，+）递增， 又 f（x）为定义在一、选择题上的奇函数，可得 f（x）在 R 上递增； （3）若对任意的 xR，不等式 f（ax23x1）+f（5ax）+ax2（3+a）x+40 恒成立， 可得 f（ax23x1）+ax23x1f（5ax）+ax5f（ax5）+ax5 对任意的 xR 恒成立， 设 h（x）f（x）+x， 即有 h（ax23x1）h（ax5）对任意的 xR 恒成立， 易得 h（x）在 R 上递增， 则原不等式等价为 ax23x1ax5， 即为 ax2（3+a）x+40 对任意的 xR 恒成立， 当 a0 时，不等式显然不成立； 当 a0 时，0，即（3+a）216a0，解得 1a9， 故实数 a 的取值范围是（1，9）
