1、20202020 学年度嘉定区高一年级第一学期期末考试学年度嘉定区高一年级第一学期期末考试 数数 学学 试试 卷卷 本试卷共 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，只要求直接填写结果，前题，只要求直接填写结果，前 6 6 题每题得题每题得 4 4 分，后分，后 6 6 题每题每 题得题得 5 5 分分 110 的所有正因数组成的集合用列举法表示为 . 2 函数( ) 4 x f x x 的定义域为 3已知1,1A ，0,2B ，则ABB . 4已知方程 2 250 xx的两个实根为
2、 12 xx、，则 12 xx . 5陈述句“1x 或1y ”的否定形式为 . 6. 函数 32 1f xxmxx 2 ( )为奇函数，则m= . 7已知1x ，则不等式 2 2 21 1 x x 等号成立时，x . 8.对于正数a， a a a可以用有理指数幂的形式表示为 9已知在地球上，大气压p和海拔高度h之间的关系可以近似表达为 0 kh pp e，其中k和e是常数， 0 p 是海平面的大气压。当飞行员用大气压的值来判断高度时，需要使用的公式为 . 10函数 11 2 xx ee f x ( )的对称轴为 . 11 2 log a用小数表示为 1.5（包括 1.5 在内） ，则实数a的取
3、值范围为 . 12.二次函数 2+ f xxmxn和x轴恒有交点，实数l使得不等式 222 11lmnmn恒成 立，则实数l的最大值为 . 二 选择题 （本大题满分二 选择题 （本大题满分 2020 分） 本大题共有分） 本大题共有 4 4 题， 每题都给出四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，题， 每题都给出四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的， 每题选对得每题选对得 5 5 分分 13对于实数ab、，下面哪个不等式不恒成立 -（ ） A. 22 2abab B. 11abab C. 2 2 log10a D. 2 ab ab 14已知条件甲“函数 2 ( )f xx x 的值域为3
4、 +，” ，条件乙“函数 2 ( )f xx x 的定义域是 0,12 +，”，那么甲是乙的-（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分条件也非必要条件 15根据 2020 年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为 4.35%； 一至三年（含 三年）利率为 4.75%，三至五年（含五年）利率也为 4.75%，五年以上利率为 4.9%。某人向银行贷款 100 万 元，按年计复利的话，五年后一次性还清，则需要还款-（ ） A. 100+100 5 4.75% 万元 B. 5 1001+4.75%万元 C. 100+100 5 4.9% 万元 D. 5 1
5、001+4.9%万元 16下列命题中，真命题的为-（ ） 甲：函数 f x在定义域上为增函数的充分条件是它在定义域上为严格增函数； 乙：定义域均为R的函数 4xf x 和 2 ln2x g xe为同一函数； 丙：如果函数 h x的图像连续不断， 11 0hh，则函数 h x在1,1上没有零点 A甲 B丙 C甲、乙 D甲、丙 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7 76 6 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 1717( (本题满分本题满分 1 14 4 分分) ) 本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1
6、1 小题小题 7 7 分，第分，第 2 2 小题小题 7 7 分 分 （1）已知集合 2 560Ax xx，ABA，求集合B. （2）已知集合 2 560Cx xx,2,Da ，C D，求实数a的取值范围. 1818 （本题满分 （本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分分 已知函数 1 3 f xx，函数 21 33 23g xa xx ， （1） 将 f x的解析式化为根式，直接写出其定义域、值域、零点，并指出其在定义域上的单调性、奇 偶性（不需要写过程，将答案填在表格中） ； 解析式化
7、为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果 g x在区间1 5 ，上严格单调递减，求实数a的取值范围. 1919 （本题满分 （本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 8 8 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分分 某快递公司对于每个 10 千克以内（包括 10 千克）的普通寄件的标准快递费价格表（部分）如下： 始发站 目的地 首重 1 千克以内（含 1 千 克） ，不足 1 千克按 1 千克计算 续重 超过 1 千克的部分按 0.5 或 0.1 千克为单位 计算 备注 上海 江苏 12 元 每0.5千克的费用1元 对于
8、0.5 千克为单位的续重，不足 0.5 千克按 0.5 千克计算 上海 北京 23 元 每0.1千克的费用1元 对于 0.1 千克为单位的续重，不足 0.1 千克按 0.1 千克计算 上海 新疆 26 元 每0.1千克的费用2元 （1） 对于始发地为上海的一件 5.3 千克的普通寄件，如果目的地分别是江苏、北京、新疆，请问标准快 递的费用分别为几元？据此，请问答影响快递费用的最主要因素有哪几个？ （2） 如果一个上海寄往北京的标准快递的寄件的重量为010 xx千克，快递费为y元，请写出y关 于x的函数表达式. 2020 （本题满分 （本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题
9、，第个小题，第 1 1 小题小题 4 4 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，第分，第 3 3 小题小题 6 6 分分 圆周率的定义为：圆的周长与其直径之比。魏晋数学家刘徽注疏九章算术时，采取了增加圆的 内接正多边形的边数，用正多边形周长逼近圆周的方法来求的近似值， （1） 据此，在单位圆内构造恰当的内接正多边形，证明：3； （2）试借助计算器，列表描点，在直角坐标系中画出大致图像，描述函数 lg x f x x 在区间D上的单调 性，不必证明。根据D的不同情况，任选下列一题作答（都做的话，只选前者评分） ， 3,10D (4 分)； 0,D （6 分） ； （3）根据（1） （2）
10、，证明： 3 3. 2121 （本题满分 （本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 4 4 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，分， 第第 3 3 小题小题 8 8 分分 已知函数( )yf x在其定义域, 内严格单调递增， x lgx x （1）若( )10 xf xa没有零点，求实数a的最大值； （2）试用反证法证明：函数( )yf x至多存在一个零点； （3）若函数( )f x存在零点 0 x，证明： “存在实数a，使得()( )( )f xaf xf a对于任意的实数x恒成立” 是“ 0 0 x ”的充要条件. 202020
11、20 学年度嘉定区高一年级第一学期期末考试学年度嘉定区高一年级第一学期期末考试 数学试卷参考答案和评分标准数学试卷参考答案和评分标准 一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，前题，只要求直接填写结果，前 6 6 题每题得题每题得 4 分，后分，后 6 6 题每题每 题得题得 5 5 分分 11 2 5 10， 204,， 31,0 4 41 2 51x 且1y 61m 721x 8 7 8 a 9 0 1 ln p h kp 101x 11 1.51.6 22a 12 9 8 注：第 11 题:考虑学生没有极限知识，写成 1.
12、51.6 22a不扣分； 答案其他形式： 83 52 22a、 5 2 22 8a、 83 52 22a、 5 2 22 8a. 第 12 题：右式 222 222 121212121222121 22222 1221221122 =1+1+=2+121211 9 =2+1 +21+1 =21+1 8 x xxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx 另解（嘉一中张理星） ，供学有余力同学了解： 2 40mn ，令1,1smtn，则原问题等价于求 2 22 (1) inf2221 4 s stst t . 再令 22 222ststC， 则临界位置为含参数C的椭圆系 22 2 C st
13、st与抛物线 2 (1) 1 4 s t 相切 时的位置.计算两者在 00 (,)s t处切线的斜率，有 000 , 00 21 , 22 tss kk ts 抛 切椭 切 ，故由方程组 000 00 2 0 0 22 000 0 21 (1) 22 (1) 1(2) 4 (3) 2 tss ts s t C sts t ， 由(1)得 2 000 0 320sss t，即 0 0s 或 0 0 3 2 s t ，讨论： 0 10s ：代入(2)得 0 3 4 t ，再代入(3)得 9 8 C ； 0 0 3 2 2 s t ：代入(2)得 2 0 3s ，无解. 综上可知相切情形仅在 9 8
14、 C 时发生；而几何直观分析，C从0开始连续连续增大的过程中，椭圆 22 2 C stst也连续胀大，第一次与抛物线接触时，一定是相切的，由相切位置的唯一性知答案只 能为 max 9 = 8 l. 二 选择题 （本大题满分二 选择题 （本大题满分 20 分） 本大题共有分） 本大题共有 4 题， 每题都给出四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，题， 每题都给出四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的， 每题选对得每题选对得 5 分分 13D 14B 15B 16C 三解答题三解答题（本大题满分（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下
15、列各题必须写出必要的步骤 1717( (本题满分本题满分 1 14 4 分分) ) 本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 7 7 分，第分，第 2 2 小题小题 7 7 分 分 解答：解答： ( (1)1)2 3A ，-1 ABABA-2 所以，所以，B或 2B 或 3B 或2 3B ，-4 ( (2)2) 2 3C ，-2 2CDa-3 所以，所以， , 22,a -2 1818 （本题满分 （本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分分 解答：(1) 解析式化为
16、根式 3 f xx 定义域 +， 值域 +， 单调性 在+，上严格单调递增 奇偶性 在+，上是奇函数 零点 0 x 注：每空答对，得 1 分。 （2） 当0a 时， 1 3 23g xx ，因为 1 3 ( )f xx在+，上严格单调递增， 所以 1 3 23g xx 在+，上严格单调递减，符合题意；-2 当0a 时，设 1 3 3 15tx ， 2 =23g xh tatt，-1 因为 1 3 ( )f xx在+，上严格单调递增， 且由题意可知， 2 23h tatt在区间 3 15 ，上严格单调递减，所以 3 0 1 5 a a 或 0 1 1 a a ，-3 所以 3 25 0 5 a或
17、0a ；-1 总之， 3 25 5 a 为所求.-1 19 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分 解答： （1） 江苏：费用=12+8+1=21 元；-2 北京：费用=23+43=66 元；-2 新疆：费用=26+86=112 元，-2 据此可知，影响费用的因素主要有：始发地和目的地的距离，以及寄件的重量.-2 （2） 23,01 24,1+0.11+0.11 ,0,1,2,89 x y mmxmm ， -6 注：第一段答对，得 2 分；第二段答对，得 4 分 等价形式： 23,01 23,1+
18、0.111+0.1,1,2,90 x y mmxm m ， ； 23,01 231010 ,110 x y xx . 注：需要注明符号 的含义是上取整 ， 否则扣 1 分. 23,01 23- 10 10,110 x y xx . 注：课本有下取整符号，这里不需要特意说明 2020 （本题满分 （本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 4 4 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，第分，第 3 3 小题小题 6 6 分分 解答： (1) 如图，在单位圆O内构造内接正六边形ABCDEF，-2 三角形OAB为正三角形， 所以1AB ， 所
19、以正六边形的周长为 6， 而圆周长为2， 由图像可知26,即3，得证.-2 (2) 数据可以不唯一 x 1 3 1 2 1 1 2 2 e e 3 3 4 4 8 8 1010 lgx x - -1.43131.4313 - -0.60210.6021 0 0 0.15050.1505 0.15980.1598 0.15900.1590 0.15050.1505 0.11290.1129 0.10.1 - -3 3 选选 lg x f x x 在3 ，上严格单调递减-1 选选 lg x f x x 在0e，上严格单调递增，在, e 上严格单调递减-3 建议：这里 e 改为 2.7 扣 1 分，
20、改为 2.71，2，72 等近似值不扣分. （3） 由（2）知： lg x f x x 在3 ，上严格单调递减，-2 又由（1）知：3，所以 lglg3 3 -2 即 3 lglg3，又lgyx在0,上严格单调递增，所以 3 3，得证.-2 2121 （本题满分 （本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题小题 4 4 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，分， 第第 3 3 小题小题 8 8 分分 解答： （1）( )10 xf xa没有零点，则10 xy 和ya没有交点，-2 所以0a ，所以实数a的最大值为 0-2 （2）证明：假设结论
21、不成立，-1 则有两个零点 12 xx、， 12 0f xf x.-2 不妨设 12 xx，由严格单调递增可知 12 f xf x，于是原先的假设不成立，-2 所以函数( )yf x至多存在一个零点，得证。-1 （3）证明： 充分性： 假设结论不成立，则 0 0 x ，-1 因为( )f x严格单调递增，于是 0 (0)0ff x.-1 对于()( )( )f xaf xf a，令0 x ，得(0)0f，矛盾.-1 于是原先的假设不成立，所以 0 0 x ，得证.-1 另证：若()( )( )f xaf xf a恒成立，则 00 ()()( )f xaf xf a，即 0 ()( )f xaf a，-2 因为( )f x严格单调增，所以 0 xaa，即 0 0 x ，得证.-2 必要性：取 0 (,0)ax，则 0 xax xa ，-2 因为( )f x严格单调增， 所以 0 ( ) ( ) f xaf x f xf a ， 于是 0 ()( )f xaf xf xf a， 即 ()( )f xaf xf a， 得证.-2 总之，命题得证。 注：a的取值范围可以是 0,0 x，任取其非空子集取值，都可以得分。
