1、第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第1课时 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性 质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重 点） 学习目标 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 导入新课导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折 的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道 理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两
2、全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器 的功能吗？ A B O 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明 作图方法与仪器的关系. 提示：提示： (1)(1)已知什么？求作什么？已知什么？求作什么？ (2)(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器把平分角的仪器放在角的两边，仪器 的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相 等，怎样在作图中体现这个过程呢等，怎样在作图中体现这个过程呢? ? (3)(3)在平分角的仪器中，在平分角的仪器中，BC=DCBC=DC，怎样在作，怎样在作 图中体现这个过程呢？图中体现这个过程呢
3、？ (4)(4)你能说明为什么你能说明为什么OCOC是是AOBAOB的平分线吗？的平分线吗？ 尺规作角平分线 A B M N C O 已知:AOB. 求作：AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基 本的尺规作图,大家 一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大 于 MN的长为半径画弧，两 弧在AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所 求. 1 2 已知：平角AOB. 求作：平角AOB的角平分线. 结论：结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点 作这条直线的垂线的方法. A B O C
4、1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三 次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写 出结：_ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 验证猜想 已知：如图， AOC= BOC,点P在OC上， PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： PDOA,PEOB， PDO= PEO=90 . 在P
5、DO和和PEO中， PDO= PEO， AOC= BOC， OP= OP， PDO PEO(AAS). PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可 以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表 示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程. 方法归纳 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： OP 是AOB的平分线， PD = PE
6、推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个. 知识要点 PDOA,PEOB， B A D O P E C 判一判：（1） 如下左图，AD平分BAC（已知）， = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD B A D C (2) 如上右图， DCAC，DBAB （已知）. = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD B A D C 例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且 BD=CD,DEAB, DFAC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC
7、， DE=DF, DEB=DFC=90 . 在RtBDE 和 RtCDF中， DE=DF， BD=CD， RtBDE RtCDF(HL). EB=FC. 典例精析 例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上， PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm， 则PE=_cm. B A C P M D E 4 温馨提示：温馨提示：存在两条垂线段存在两条垂线段直接应用直接应用 典例精析 A A B B C C P P 变式：如 图，在RtABC中，AC=BC,C90， AP平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_. D D 4 温馨提示：温馨提示：存在
8、一条垂线段存在一条垂线段构造应用构造应用 A B C P 变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分 BAC交BC于点P，若PC4，AB=14. （2）求APB的面积. D 14 PDB CPDPBDB PCPBDB BCDBADDB AB （3）求PDB的周长. AB PD=28. 1 2 PDB S 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 1.应用角平分线性质： 存在存在角平分线角平分线 涉及涉及距离问题距离问题 2.联系角平分线性质： 面积面积 周长周长 条件条件 知识与方法知识与方法 利用角平分线的性利用角平分线的性 质所得到的等量关质所得到的等量关 系进行转
9、化求解系进行转化求解 当堂练习当堂练习 2.ABC中, C=90,AD平分CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离 是 . A B C D 3 E 1. 如图，DEAB，DFBG，垂足 分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所 示，则能说明AOC=BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 4.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E， SABC7，DE2，AB4，则AC
10、的长是( ) A6 B5 C4 D3 D B C E A D 解析：过点D作DFAC于F， AD是ABC的角平分线， DEAB， DFDE2， 解得AC3. F 11 4 227, 22 ABC SAC 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高， 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法 E E D D C C B B A A 6 8 10 5.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周 长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的 点到角两边的距离相等. （2）在
11、RtCDB和RtEDB中， DC=DE，DB=DB， RtCDBRtEDB(HL)， BEBC=8. AEAB-BE=2. AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 6.如图，已知ADBC，P是BAD与 ABC的平分线的交点， PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N. ADBC， MNBC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. AP平分BAD, PMAD , PEAB， PM= PE. 同理， PN= PE. PM= PN= PE=3. MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 7.如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC， DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF. 证明：CD是ACG的平分 线，DEAC，DFCG， DEDF. 在RtCDE和RtCDF中， RtCDERtCDF(HL)， CECF. , , CDCD DEDF 课堂小结课堂小结 角平分 线 尺 规 作 图 属于基本作图，必须熟练掌握 性 质 定 理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅 助 线 添加 过角平分线上一点向两 边作垂线段
