1、第十五章 分式 15.3分式方程 第1课时 1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点） 学习目标 导入新课导入新课 问题引入 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿 江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最 大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流 速为x千米/时，根据题意可列方程 . 9060 30+30 xx 这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次 方程有什么区别？ 讲授新课讲授新课 9060 30+30 xx 定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含 未知数的方程叫做分式方程. 知识要点 分式方程的概念 13
2、(2) 2xx 2 (1) 23 xx 3 (3) 2 xx (1) (4)1 x x x 10 5 1 26 x x）（ 2 1 5 x x）（ 21 31 x x x 43 7 xy 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有 未知数(注意：不是未知数) 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一 个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ “去分母” 9060 30+30 xx 分式方程
3、的解法 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解. 90（30-x)=60(30+x)， 9060 30+30 xx 解得 x=6. x=6是原分式 方程的解吗？ 5 2 解分式方程的基本思路：是将分式方程化 为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边 同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 归纳 下面我们再讨论一个分式方程： 2 110 525xx 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式 方程的解吗？ 检
4、验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的 值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式 方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 2 110 525xx 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是 原分式方程的解呢？ 9060 30+30 xx 2 110 525xx 真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方 程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-
5、x)0 9060 30+30 xx 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整 式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是 原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 2 110 525xx 解分式方程时，去分母后所得整式方程的 解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的 解必须检验 怎样检验？ 这个整式方程的解是 不是原分式的解呢？ 分式方程解的检验-必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不 是原分式方程的解. 1.在方程的两边都乘以最简公
6、分母，约去分母， 化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解，否则须舍去。 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 典例精析 例1 解方程 23 . 3xx 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) 0. 所以，原分式方程的解为x=9. 例2 解方程 3 1. 1(1)(2) x xxx 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x
7、=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是 原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a 最简公分母是 否为零？ 否 是 例3 关于x的方程 的解是正数，则a的取值 范围是_ 解析：去分母得2xax1，解得xa1， 关于x的方程 的解是正数，x0且x1， a10且a11，解得a1且a2， a的取值范围是a1且a2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)， 然后根据解的正负性，列关于未知字母的不 等式求解，特别注意分母不能为0. a1且a2 若
8、关于x的分式方程 无解， 求m的值 例4 解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分 式方程有增根 解：方程两边都乘以(x2)(x2)得2(x2)mx 3(x2)，即(m1)x10. 当m10时，此方程无解，此时m1； 方程有增根，则x2或x2， 当x2时，代入(m1)x10得(m1)210， m4； 当x2时，代入(m1)x10得(m1)(2) 10，解得m6， m的值是1，4或6. 方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所 表达的意义是不一样的 分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数， 分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而 且还包括分式方程化为
9、整式方程后，使整式方程 无解的数 当堂练习当堂练习 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边 可以同乘以（ ） 25 0 363yy A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是( ) A. B. C. D. D 3. 解分式方程 时，去分母后得到的 整式方程是（ ） A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 85 8 7142 xx xx A 4若关于x的分式方程 无解，则m 的值为 ( ) A1，5 B1 C1.5或2 D0.5或1.5 D 2 (1)(1)2 (1).xxxx x 1 2. x 1 1)0. 4 x x （ 5. 解方程： 1 2. 1 xx xx 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 1 2 x 所以原方程的解为 1 2. x 课堂小结课堂小结 分 式 方 程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有 添括号(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验
