1、第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第2课时 1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其 解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 导入新课导入新课 复习回顾 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： OC平分AOB，且PDOA， PEOB. PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相 等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平 分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点
2、在角的平分线上. 讲授新课讲授新课 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么 结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. OC平分平分AOB， 且且PDOA， PEOB PD= PE 几何语言：几何语言： 猜想猜想: 思考：这个结 论正确吗？ 角平分线的判定 已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP
3、， 点P在AOB 角的平分线上. 在RtPDO和RtPEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E PDOA,PEOB. PDO=PEO=90， RtPDORtPEO（ HL）. AOP=BOP 证明猜想 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： PDOA,PEOB，PD=PE. 点点P 在AOB的平分线上. 知识总结 典例精析 例1：
4、如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路 距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建 在何处（比例尺为120000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的 距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这 条角平分线上根据要求取点. 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度 尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
5、你能证明这 个结论吗？ 已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 证明：过点P作PD，PE，PF分 别垂直于AB，BC，CA，垂足 分别为D，E，F. BM是ABC的角平分线， 点P在BM上， PD=PE.同理PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点P在A的平分线上吗？ 这说明三角形的三条角平分线有什 么关系？ 点P在A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且 这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M M A B C
6、 P O D 变式1：如图，在直角ABC中，C90，AP平 分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OMAC,若OM4, (1)求点O到ABC三边的距离和. 温馨提示：温馨提示：不存在垂线段不存在垂线段构造应用构造应用 12 解：连接OC 111 222 1 () 2 1 43264 2 ABCAOCBOCAOB SSSS AB OEBC ONAB OM OM ABBCOM M A B C P O D 变式1：如图，在直角ABC中，C900，AP平分BAC， BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4. (2)若ABC的周长为32，求ABC的面积. 1.应用
7、角平分线性质： 存在存在角平分线角平分线 涉及涉及距离问题距离问题 chs 2 1 2.联系角平分线性质： 距离距离 面积面积 周长周长 条件条件 知识与方法知识与方法 例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到 ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数 为( ) A110 B120 C130 D140 A 解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有CBOABO ABC， BCOACO ACB， ABCACB18040140， OBCOCB70， BOC18070110. 1 2 1 2 由已知，O 到三
8、角形三边的距离相等，得O是 内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的 度数 方法总结 归纳总结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分AOB PDOA于D PEOB于E PD=PE OP平分AOB PD=PE PDOA于D PEOB于E 角的平分线的判定 当堂练习当堂练习 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、 OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离 相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 2. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E， PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的
9、距离 与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理 由 解：AD平分BAC理由如下： D到PE的距离与到PF的距离相等， 点D在EPF的平分线上 12 又PEAB，13 同理，24 34，AD平分BAC A B C E F D ( 3 4 1 2 P 3.已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB， 点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN. 证明：OD平分线POQ， AOD=BOD. 在AOD与BOD中， OA=OB，AOD=BOD，OD=OD， AODBOD. ADO=BDO. CMAD，CNBD， CM=CN. 4.如图，已知CBD和BCE的平分线相交
10、于点F， 求证：点F在DAE的平分线上 证明： 过点F作FGAE于G，FHAD于H， FMBC于M. 点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC. FGFM. 又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC， FMFH， FGFH. 点F在DAE的平分线上. G H M A B C F E D 拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. l1 l3 l2 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 课堂小结课堂小结 角平 分线 的判 定定 理 内 容 角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上 作 用 判断一个点是否在角的平分线上 结 论 三角形的角平分线相交于内部一点
