1、第十一章 三角形 11.2与三角形有关的 角 第1课时 学习目标 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180.（重点） 我的形状最 小，那我的 内角和最小. 我的形状最 大，那我的 内角和最大. 不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与 三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证
2、三角形的内角 和为180呢? 折叠 还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？ 锐角三角形锐角三角形 测量测量 48480 0 72720 0 60600 0 60600 048480 072720 01801800 0 （学生运用学科工具学生运用学科工具量角器测量演示量角器测量演示） 剪拼剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面 的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼 接方法吗？ 讲授新课讲授新课 探究
3、：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 一起. 三角形的内角和定理的证明 l 验证结论 三角形三个内角的和等于180. 求证：A+B+C=180. 已知：ABC. 证法1：过点A作lBC， B=1. (两直线平行,内错角相等) C=2. (两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=180. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C 作CEBA， A=1 . (两直线平行，内错角相等) B=2. (两直线平行，同位角相等) 又又1+2+ACB=180， A+B+ACB=180. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过D作DEAC,作DFAB.
4、 C=EDB,B=FDC. (两直线平行，同位角相等) A+AED=180, AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180， A+B+C=180. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心 是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三 个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证
5、明步骤？ 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线 叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180,转化为一个平 角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的 常用方法. 作辅助线 例1 如图，在ABC中， BAC=40 , B=75 ,AD 是ABC的角平分线，求ADB的度数. A B C D 解：由BAC=40 , AD是ABC的角平分线，得 BAD= BAC=20 . 1 2 在ABD中， ADB=180-B-BAD =180-75-20=85. 三角形的内角和定理的运用 【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC， A50，B70
6、，求EDC，BDC的度数 解：A50，B70， ACB180AB60. CD是ACB的平分线， BCD ACB30. DEBC， EDCBCD30， 在BDC中，BDC180BBCD=80. 1 2 例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD 80，求D. 解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又CFDAFE， CFD60. 在CDF中，CFD60，FCD80， D180CFDFCD40. 基本图形 由三角形的内角和定理易得A+B=C+D. 由三角形的内角和定理易得1+2=3+4. 总结归纳
7、4 例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍， C 比B 大15，求A，B，C的度数. 解: 设B为x，则A为(3x)， C为(x 15)， 从而有 3x x (x 15) 180. 解得 x 33. 所以 3x 99 ， x 15 48. 答： A， B， C的度数分别为99， 33， 48. 几何问题借助方程 来解. 这是一个重要 的数学思想. 【变式题】在ABC中，A B ACB， CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE 的度数 1 2 1 3 解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利 用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD， 最后根据角平分线的定义求出ACE
8、即可求得DCE 的度数 比例关系可 考虑用方程 思想求角度. 解：A B ACB， 设Ax，B2x，ACB3x. ABACB180， x2x3x180，得x30， A30，ACB90. CD是ABC的高，ADC90， ACD180903060. CE是ACB的平分线， ACE 9045， DCEACDACE604515. 1 2 1 3 1 2 在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形 . 练一练： 在ABC中，A=35， B=43 ，则 C= . 在ABC中， A= B+10, C= A + 10, 则 A= ， B= ， C= . 102 直角 60 50 70 北 .
9、A D 北 . C B . 东 E 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏 东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛 的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是 多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 解： CAB= BAD- CAD=80 -50=30. 由AD/BE,得BAD+ ABE=180 . 所以ABE=180 - BAD=180-80=100, ABC= ABE- EBC=100-40=60. 在ABC中， ACB=180 - ABC- CAB =180-60-30 =90, 答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60
10、,从C岛看A,B两岛的 视角ACB是90. 北 . A D 北 . C B . 东 E 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的 南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A， B两岛的视角ACB的度数. 解：如图， 由题意得BEAD,BAD=40， CAD=15，EBC=80， EBA=BAD=40， BAC=40+15=55, CBA=EBC-EBA=80-40=40， ACB=180-BAC-ABC =180-55-40=85 D E 当堂练习当堂练习 1.求求出下列各图中的x值 40 70 x x x x 2x x25 45 20 x x=70 x=60 x
11、=30 x=50 2.如图，则1+2+3+4=_ . B A C D 4 1 3 2 E 40 280 3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180， B=78，C=60，求EDC的度数 解：A+ADE=180， ABDE， CED=B=78 又C=60， EDC=180-（CED+C） =180-（78+60） =42 4.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD 平分BAC求ADC的度数. 解：B=42，C=78， BAC=180-B-C=60. AD平分BAC， CAD= BAC=30， ADC=180-B-CAD=72. 1 2 5.如图，在ABC中，BP平分ABC，
12、CP平分 ACB，若BAC=60，求BPC的度数 解：ABC中，A=60， ABC+ACB=120 BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60 PBC+PCB+BPC=180， BPC=180-60=120 1 2 拓 展 【变式题】你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗？ 解：BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60 PBC+PCB+BPC=180， BPC=180- （ABC+ACB） =180- （180-A）=90+ A 1 2 1 2 1 2 1 2 课堂小结课堂小结 三 角 形 的 内角和定理 证 明 了解添加辅助线 的方法及其目的 内 容 三角形内角和等于180
