1、第十二章 全等三角形 12.2三角形全等的判定 第4课时 1探索并理解直角三角形全等的判定方法 “HL”（难点） 2会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个 直角三角形全等（重点） 学习目标 SSSSSS SASSAS ASAASA AASAAS 旧知回顾旧知回顾: :我们学过的判定三角形全等的方法 导入新课导入新课 如图，RtRtABCABC中，C =C =9090，直角边是_、 _，斜边是_._. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角 形是否适用？ A B C A B C 1.两个直角三角形中，斜 边和一个锐角对应相等， 这两个直角三角形
2、全等吗？ 为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相 等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？ 口答： 动脑想一想 如图，已知AC=DF，BC=EF， B=E，ABCDEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不 存 在SSA定理. A B C D E F 问题： 如果这两个三角形都是直角 三 角形，即B=E=90， 且AC=DF，BC=EF，现在 能 判定ABCDEF吗？ A B C D E F 讲授新课讲授新课 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 任意画出一个RtABC,使C=90.再画一个 RtA
3、B C ，使C=90 ,BC=BC,A B =AB,把 画好的RtAB C 剪下来，放到RtABC上，它们 能重合吗？ A B C 作图探究 画图思路 （1）先画）先画M C N=90 A B C M C N 画图思路 （2）在射线）在射线CM上截取上截取BC=BC M C A B C N B M C 画图思路 （3）以点）以点B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，交射线为半径画弧，交射线CN于于A M C A B C N B A 画图思路 （4）连接）连接AB M C A B C N B A 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角
4、边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A B C 在RtABC和Rt ABC 中， RtABC Rt ABC (HL). “SSA”可以判定两个直角三 角形全等，但是“边边”指的 是斜边和一直角边，而“角” 指的是直角. AB=AB, BC=BC, 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不 全等的画“”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等 （ ） HL S
5、AS AAS AAS 判一判 典例精析 例1 如图，ACBC， BDAD， ACBD，求证：BCAD. 证明： ACBC， BDAD， C与与D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 RtABC 和RtBAD 中， RtABCRtBAD (HL). BCAD. . A B D C 应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判 定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段 相等，这是常见的思路. 变式1： 如图， ACB =ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相 应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （
6、3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC DAB= CBA BD=AC DBA= CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD相交于点P,ACBC，BDAD，垂足 分 别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD. P DC B A 变式2 HL AC=BD RtABDRtBAC 如图：ABAD，CDBC，AB=CD,判断AD和BC的位 置 关系. C C A A D D B B 变式3 HL ADB=CBD RtABDRtCDB ADBC 例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE 的高，如果ADAF，ACAE. 求证：BCBE. 证明：AD，AF分别是两个钝
7、角 ABC和ABE的高，且ADAF， ACAE， RtADCRtAFE(HL) CDEF. ADAF，ABAB， RtABDRtABF(HL) BDBF. BDCDBFEF.即BCBE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解 决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方 法所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件 例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 B和F的大小有什么关系？ 解：在RtABC和RtDEF中, BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL). B=DEF
8、(全等三角形对应角相等). DEF+F=90, B+F=90. D A 当堂练习当堂练习 1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4， 则 CH的长为（ ） A1 B2 C3 D4 4.如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB， BD=CE.求证：EBCDCB. A B C E D 证明： BDAC，CEAB， BEC=BDC=90 . 在 RtEBC 和RtDCB 中， CE=BD,
9、 BC=CB . RtEBCRtDCB (HL). 3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高， 则ADB与ADC （填“全等”或 “不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL A F C E D B 5.如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: BFAC,DEAC, BFA=DEC=90 . AE=CF， AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在RtABF和RtCDE中， AB=CD, AF=CE. RtABFRtCDE(HL). BF=DE. 如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BD平分EF. A F C E D B G G
10、 变式训练1 AB=CD, AF=CE. RtABFRtCDE(HL). BF=DE RtGBFRtGDE(AAS). BFG=DEG BGF=DGE FG=EG BD平分EF 如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF.想想：BD平分EF吗? 变式训练2 C AB=CD, AF=CE. RtABFRtCDE(HL). BF=DE RtGBFRtGDE(AAS). BFG=DEG BGF=DGE FG=EG BD平分EF 6.如图，有一直角三角形ABC，C90，AC10cm，BC 5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂 直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上
11、什么位置时 ABC才能和APQ全等？ 【分析】本题要分情况讨论：(1)RtAPQRtCBA，此时APBC5cm， 可据此求出P点的位置(2)RtQAPRtBCA，此时APAC，P、C重 合 解：(1)当P运动到APBC时， CQAP90. 在RtABC与RtQPA中， PQAB，APBC， RtABCRtQPA(HL)， APBC5cm； 能力拓展 (2)当P运动到与C点重合时，APAC. 在RtABC与RtQPA中， PQAB，APAC， RtQAPRtBCA(HL)， APAC10cm， 当AP5cm或10cm时，ABC才能和APQ全等 【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边 和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边 和对应角，因此要分类讨论，以免漏解 课堂小结课堂小结 “斜边、 直角边” 内 容 斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等. 前 提 条 件 在直角三角形中 使 用 方 法 只须找除直角外的两个条件 即可（两个条件中至少有一 个条件是一对对应边相等）
