1、第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2乘法公式 第2课时 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点） 2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点） 学习目标 导入新课导入新课 情境引入 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实 验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. a a b b 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 讲授新课讲授新课 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(
2、p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 合作探究 完全平方公式 知识要点 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式
3、叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间” 问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗? 设大正方形ABCD的面积为S. S= =S1+S2+S3+S4= . (a+b)2 a2+b2+2ab S1 S2 S3 S4 几何解释: a a b b = + + + a2 ab ab b2 （a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： a2 ab b(ab) = a22ab+ +b2 . = (ab)2 ab ab a a ab b(ab) b b (ab)2 几何解释: （a-b)2= . a2-2ab+b2 差的完全平方公式： (a+b)2= a2
4、+2ab+b2. (a- -b)2=a2- -2ab+b2. 问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列 问题： 1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有 什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a, b有什么关系？它的符号与什么有关？ 想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2x
5、y +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a +b)2= a2 + 2 ab + b2 (4m)2 +2(4m) n +n2 +8mn +n2； (a - b)2 = a2 - - 2 ab + b2 y2 =y2 -y + 1 . 4 解： = + 2 1 2 -2y 1 2 (2) 2 1 2 y 2 1 2 y 利用完全平方公式计算： (1)(5a)2； (2)(3m4n)2； (3)(3ab)2. 针对训练 (3)(3ab)29
6、a26abb2. 解：(1)(5a)22510aa2； (2)(3m4n)29m224mn16n2； (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 = (100 1)2 =10000 - -200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式 利用乘法公式计算： (1)98210199； (2)201622016403020152. 针对训练 (20162015)21. 解：(1)原式(1002)2(100
7、1)(1001) 1002400410021395； (2)原式2016222016201520152 例3 已知xy6，xy8.求: (1) x2y2的值； (2)(x+y)2的值. 361620； 解：(1)xy6，xy8， (xy)2x2y22xy， x2y2(xy)22xy (2)x2y220，xy8， (x+y)2x2y22xy 20164. 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2y2(xy)22xy(x+y)22xy,(xy)2(x+y)2 4xy. 1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_ 52 变式：已知 则 _ ,10 1 x x 2 2 1 x x 9
8、8 拓展训练 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=_ 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_ 3或-3 3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为_ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为_ 1 1 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b c. a + b + c = a + ( b + c) ; a b c = a ( b + c ) . 去括号 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： 添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变
9、符号（简记为“负变正不变”）. 知识要点 添括号法则 例5 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=x+(2y3)x-(2y-3) 解: (1) 典例精析 (2)原式 = (a+b)+c2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
10、 计算：(1)(abc)2； (2)(12xy)(12xy) 针对训练 14x24xyy2. 解：(1)原式(ab)c2 (ab)2c22(ab)c a22abb2c22ac2bc； (2)原式1(2xy)1(2xy) 12(2xy)2 当堂练习当堂练习 2.下列计算结果为2aba2b2的是( ) A(ab)2 B(ab)2 C(ab)2 D(ab)2 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ ） Aa2-4a+4 Ba2-2a+4 Ca2-4 Da2-4a-4 A D 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_； (2) (4x-3y)2=_ ； (3) (2m-1)2 =_
11、； (4)(-2m-1)2 =_. 36a2+60ab+25b2 16x2-24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2-4m+1 4.由完全平方公式可知：3223552(35)2 64，运用这一方法计算：4.32128.6420.679 0.6792_ 25 5.计算 (1)(3ab2)(3ab2)； (2)(xymn)(xymn) (2)原式(xy)(mn)(xy)(mn) 解：(1)原式3a(b2)3a(b2) (3a)2(b2)2 9a2b24b4. (xy)2(mn)2 x22xyy2m22mnn2. 6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 7.已知x+y=8
12、,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：x+y=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64; x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16; 由-得 4xy=48 xy=12. 课堂小结课堂小结 完全平方 公式 法则法则 注意 (ab)2= a2 2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结果 两方面） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
