1、第第 2 课时课时 等差数列的性质等差数列的性质 最新课程标准 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点) 2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点) 教材要点教材要点 知识点一 等差数列的图像 等差数列的通项公式 ana1(n1)d，当 d0 时，an是一固 定常数；当 d0 时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在 以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点 知识点二 等差中项 如果 x，A，y 是等差数列，那么称 A 为 x 与 y 的_， 且 Axy 2 . 状元随笔 任意两数都有等差中项吗？ 提示 是 知识点三 等差数列的性质 (1)an是等差数列，若正整数
2、 s，t，p，q 满足 stpq， 则 asat_. 特别地，当 pq2s(p，q，sN)时，2asapaq. 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的_，即 a1ana2an1akank1. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍 为_数列 (3)若an是公差为 d 的等差数列，则 can(c 为任一常数)是公差为_的等差数列； can(c 为任一常数)是公差为_的等差数列； anank(k为常数， kN)是公差为_的等差数列 (4)若an，bn分别是公差为 d1，d2的等差数列，则数列pan qbn(p，q 是常数)是公差为_的等差数列 (5)an的
3、公差为 d，则 d0an为_数列； dk0)是否成立？ 提示 在 2 的结论中令 st，pn1，qn1，可知 2an an1an1成立；st，pnk，qnk，可知 2anankan k也成立 例 3 (1)等差数列an，若 a1a17为一确定常数，则下列各 式也为确定常数的是( ) Aa2a15 Ba2 a15 Ca2a9a16 Da2 a9 a16 (2)设数列an， bn都是等差数列 若 a1b17， a3b321， 则 a5b5_. 方法归纳 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识 的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、 快捷地解决许多等差数列问题 2应用
4、等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关 系，但要注意性质运用的条件，如若 stpq，则 asatap aq(s，t，p，qN)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立 跟踪训练 3 在公差为 d 的等差数列an中 (1)已知 a2a3a23a2448，求 a13； (2)已知 a2a3a4a534，a2 a552，求 d. 状元随笔 解答本题可以直接转化为基本量的运算， 求出 a1 和 d 后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决 题型四 灵活设元解等差数列 例 4 已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的 积为 40，求这四个数 方法归纳 1当已知条件中出现与首项、公
5、差有关的内容时，可直接设 首项为 a1，公差为 d，利用已知条件建立方程组求出 a1和 d，即可 确定数列 2当已知数列有 2n 项时，可设为 a(2n1)d，a3d， ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为 2d. 3 当已知数列有 2n1 项时， 可设为 and， a(n1)d， ， ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为 d. 跟踪训练 4 三个数成等差数列，其和为 9，前两项之积为后 一项的 6 倍，求这三个数 教材反思 1本节课的重点是等差数列性质的应用 2要重点掌握等差数列的如下性质： (1)在等差数列an中，当 st 时，da sat st 为公差公式，利 用这
6、个公式很容易求出公差，还可变形为 asat(st)d. (2)等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺 序排列，构成的新数列仍然是等差数列 (3)等差数列an中， 若 stpq， 则 asatapaq(s， t， p， qN)，特别地，若 2spq，则 2asapaq. 3等差数列an中，首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素； 有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可 化成有关 a1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及 整体计算，以减少计算量 温馨提示：请完成课时分层作业温馨提示：请完成课时分层作业 四四 第第 2 课时课时 等差数列的性质等差数列的
7、性质 新知初探新知初探 自主学习自主学习 知识点一 d 知识点二 等差中项 知识点三 (1)apaq 和 (2)等差 (3)d cd 2d (4)pd1qd2 (5)递 增 递减 基础自测基础自测 1解析：在等差数列中，由性质可得 a2a10a4a816. 答案：B 2解析：a3a5a2a653338. 答案：C 3解析：因为 a3a4a5a6a75a5450. 所以 a590， a2a82a5290180. 答案：180 4解析：设an，bn的公差分别为 d1，d2，则(an1bn1) (anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2， 所以anbn为等差数 列又 a1b1a2b2100，所
8、以anbn为常数列，所以 a37 b37100. 答案：C 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：1，a，b，c,7 成等差数列， b 是1 与 7 的等差中项，b17 2 3. 又 a 是1 与 3 的等差中项，a13 2 1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项，c37 2 5. 该数列为1,1,3,5,7. 跟踪训练 1 解析：因为 ab 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 32 222 3， 所以 a，b 的等差中项为 3. 答案：A 例 2 解析：(1)a39，a93，又 a9a36d， 396d，即 d1. (2)设等差数列 1 an1 的公
9、差为 d，则 1 a71 1 a314d， 1 15 141 1 7 61 4d，解得 d2. 1 a51 1 a312d10，解得 a5 11 10. 答案：(1)C (2)B 跟踪训练 2 解析：(1)设an的公差为 d，则 a8a44d，d 1.ana8(n8)d4(n8)(1)12n. (2)数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 均为等差数列， yx3a2a1， yx4b2b1， 3a 2a1 4b2b11， 即a 2a1 b2b1 4 3，故 a1a2 b1b2 4 3. 答案：(1)an12n (2)4 3 例 3 解析：(1)因为 a1a17为一确定常数，又 a
10、1a17a2 a162a9，所以 a2a16a9为一确定常数，故选 C. (2)法一：设数列an，bn的公差分别为 d1，d2，因为 a3b3 (a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21， 所以 d1d27， 所以 a5b5(a3b3)2(d1d2)212735. 法二：数列an，bn都是等差数列， 数列anbn也构成等差数列， 2(a3b3)(a1b1)(a5b5)， 2217a5b5，a5b535. 答案：(1)C (2)35 跟踪训练 3 解析：法一：(1)化成 a1和 d 的方程如下： (a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48， 即 4(a
11、112d)48. 4a1348.a1312. (2)化成 a1和 d 的方程如下： a1da12da13da14d34， a1d a14d52， 解得 a11， d3 或 a116， d3， d3 或3. 法二：(1)根据已知条件 a2a3a23a2448，及 a2a24a3 a232a13. 得 4a1348，a1312. (2)由 a2a3a4a534，及 a3a4a2a5得 2(a2a5)34， 即 a2a517. 解 a2 a552， a2a517， 得 a24， a513 或 a213， a54. da 5a2 52 134 3 3 或 da 5a2 52 413 3 3. 例 4
12、解析：法一：设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题 意，得 bacbdc， abcd26， bc40， 解得 a2， b5， c8， d11 或 a11， b8， c5， d2， 这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 法二：设此等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意，得 a1a1da12da13d26， a1da12d40， 化简，得 4a16d26， a2 13a1d2d 240， 解得 a12， d3 或 a111， d3， 这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 法三：设这四个数分别为 a3d，ad，ad，a3d，根据 题意，得 a3dadada3d26， adad40， 化简，得 4a26， a2d240， 解得 a13 2 ， d 3 2. 这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 跟踪训练 4 解析：设这三个数依次为 ad，a，ad， 则 adaad9， ada6ad， 解得 a3， d1 . 这三个数为 4,3,2.
