1、5.4 数列的应用 最新课程标准 1.掌握等差数列与等比数列通项公式及前 n 项和公式 (重 点) 2能运用等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式 解决一些简单的实际问题. 教材要点教材要点 知识点 基础自测基础自测 1 中国古代数学著作 算法统综 中有这样一个问题： “三 百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到 其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一 个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路 程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”则该人第五天走 的路程为( ) A6 里 B12 里 C24 里 D48 里 解析： 记每天走
2、的路程里数为an， 由题意知an是公比为1 2 的等比数列，由 S6378，得 S6 a1 1 1 26 11 2 378，解得 a1192， a5192 1 2412(里)故选 B. 答案：B 2一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到 原来高度的一半再落下， 则第 10 次着地时所经过的路程和是(结 果保留到个位)( ) A300 米 B299 米 C199 米 D166 米 解析：小球 10 次着地共经过的路程为 10010050 100 1 2 829939 64300(米) 答案：A 3现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使 剩余的钢管尽可能少，那么剩余
3、钢管的根数为_ 解析： 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差 数列，最上面一层钢管数为 1，逐层增加 1 个 钢管总数为：123nnn1 2 . 当 n19 时，S19190.当 n20 时，S20210200. n19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根 答案：10 4 已知数列an中， a11， 且 an1an3nn， 求数列an 的通项公式 解析：由 an1an3nn， 得 anan13n 1(n1)， an1an23n 2(n2)， a3a2322，a2a131. 当 n2 时，以上 n1 个等式两边分别相加，得 (anan1)(an1an2)(a2a1) 3n 13n23(
4、n1)(n2)1， 即 ana1313 n1 13 nn1 2 . 又a11， an1 23 nnn1 2 1 2. 显然 a11 也适合上式， an的通项公式为 an1 23 nnn1 2 1 2. 题型一 等比数列的应用 例 1 借贷 10 000 元，月利率为 1%，每月以复利计息，王 老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月 应支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)? 解析：法一：设每个月还贷 a 元，第 1 个月后欠款为 a0元， 以后第 n 个月还贷 a 元后，还剩下欠款 an元(1n6)，则 a0 10 000，a11.01a0a， a21.
5、01a1a1.012a0(11.01)a， a61.01a5a1.016a0(11.011.015)a. 由题意， 可知 a60， 即 1.016a0(11.011.015)a0， a1.01 6102 1.0161 .因为 1.0161.061， 所以 a1.06110 2 1.0611 1 739(元) 故每月应支付 1 739 元 法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存 储 6 个月， 则它的本利和为 S1104(10.01)6104(1.01)6(元) 另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款还清 时，其本利和为 S2a(10.01)5a(10.0
6、1)4a a10.0161 1.011 a(1.0161)102(元) 由 S1S2，得 a1.01 6102 1.0161 1 739(元) 故每月应支付 1 739 元 方法归纳 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项 数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算 时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为 SP(1r)n， 其中 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和 跟踪训练 1 一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度， 在以后的每一分钟里， 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高 度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗
7、？ 解析：用 an表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意， 得 an14 5an， 因此，数列an是首项 a125，公比 q4 5的等比数列 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为： Sna1a2an a11qn 1q 25 1 4 5 n 14 5 125 1 4 5 n 480，在 24 小时内能构筑成第二道防线 方法归纳 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数 或者首项、末项和项数 跟踪训练 2 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相 向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m， 乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
8、 (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比 前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动几分钟 后第二次相遇？ 解析： (1)设 n 分钟后第 1 次相遇， 依题意， 有 2nnn1 2 5n70， 整理得 n213n1400.解得 n7，n20(舍去) . 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟 (2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有 2nnn1 2 5n 370， 整理得 n213n4200.解得 n15，n28(舍去) 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟 题型三 数列求和 例 3 (1)已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn 满足
9、bnlog3an，则数列 1 bnbn1的前 n 项和 Sn_. (2)设数列an满足 a12，an1an322n 1. 求数列an的通项公式； 令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解析：(1)设等比数列an的公比为 q，则a4 a1q 327， 解得 q3.所以 ana1qn 133n13n， 故 bnlog3ann， 所以 1 bnbn1 1 nn1 1 n 1 n1. 则 Sn11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1. (2)由已知，当 n1 时， an1(an1an)(anan1)(a2a1)a1 3(22n 122n32)222(n1)1. 而
10、 a12，符合上式， 所以数列an的通项公式为 an22n 1. 由 bnnann 22n 1 知 Sn12223325n22n 1， 从而 22 Sn123225327n22n 1， 得(122)Sn2232522n 1n22n1， 即 Sn1 9(3n1)2 2n12 答案：(1) n n1 (2)见解析 方法归纳 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前 n 项和 问题或已知公式的数列求和， 不能转化的再根据数列通项公式的 特点选择恰当的方法求解 一般常见的求和方法有： (1)公式法(直接利用等差或等比数列的前 n 项和公式)； (2)分组求和法； (3)错位相减法； (4)倒序相加
11、法； (5)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中 间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；形如 an 1 nnk(k 为非零常数)型化为 an 1 nnk 1 k 1 n 1 nk ； (6)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解， 则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求 解 提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项 跟踪训练3 已知正项数列an中， a11， 点( an， an1)(nN )在函数 yx21 的图像上，数列bn的前 n 项和 Sn2bn. (1)求数列an和bn的通项公式； (2)设
12、cn 1 an1log2bn1，求cn的前 n 项和 Tn. 解析： (1)点( an， an1)(nN)在函数 yx21 的图像上， an1an1，数列an是公差为 1 的等差数列 a11，an1(n1)n， Sn2bn，Sn12bn1， 两式相减得：bn1bn1bn，即b n1 bn 1 2， 由 S12b1，即 b12b1，得 b11. 数列bn是首项为 1，公比为1 2的等比数列， bn 1 2 n1. (2)log2bn1log2 1 2 nn， cn 1 nn1 1 n 1 n1， Tnc1c2cn 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1.
