1、62.1 导数与函数的单调性 最新课程标准 1.理解导数与函数的单调性的关系(易混点) 2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点) 3会用导数求函数的单调区间(重点、难点) 教材要点教材要点 知识点一 用函数的导数判定函数单调性的法则 (1)如果在(a,b)内,_,则 f(x)在此区间是增函数, (a,b)为 f(x)的单调增区间; (2)如果在(a,b)内,_,则 f(x)在此区间是减函数, (a,b)为 f(x)的单调减区间 f(x)0 f(x)0 Bf(3)0 Cf(3)0 Df(3)的正负不确定 解析:由图像可知,函数 f(x)在(1,5)上单调递减,则在(1,5) 上有 f(x)0,
2、故 f(3)0,解得 x1, 故 f(x)的单调递增区间是(1,) 答案:(1,) 题型一 函数单调性与导数的正负的关系 例 1 (1)函数 yf(x)的图像如图所示,给出以下说法: 函数 yf(x)的定义域是1,5; 函数 yf(x)的值域是(,02,4; 函数 yf(x)在定义域内是增函数; 函数 yf(x)在定义域内的导数 f(x)0. 其中正确的序号是( ) A B C D A (2)设函数 f(x)在定义域内可导,yf(x)的图像如图所示,则 导函数 yf(x)的图像可能为( ) D (3)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图所示, 则函数 f(x) 的图像只可能是所给选项
3、中的( ) C 解析:(1)由图像可知,函数的定义域为1,5,值域为( ,02,4,故正确,选 A. (2)由函数的图像可知:当 x0 时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正, 对照选项,应选 D. (3)导数的正负确定了函数的单调性, 从函数 f(x)的图像可知,令 f(x)0, 得 x0 或 xa(a0), 函数在(,0)上单调递减,在(0,a)上单调递增,在(a, )上单调递减,故选 C. 答案:(1)A (2)D (3)C 状元随笔 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关 系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图像在 哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函
4、数, 则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零, 并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 方法归纳 1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简 单的多,只需判断导数在该区间内的正负即可 2通过图像研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化 的点,分析函数值的变化趋势; (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与 x 轴的交点, 分 析导数的正负 跟踪训练 1 (1)函数 yf(x)的图像如图所示,则其导函数 y f(x)的图像可能是( ) A (2)函数 yf(x)在定义域 R 上可导,其导函数的图像如图所 示,则函数 yf(x)的单
5、调递增区间为_ (2,1),(1,3),(4,) 解析: (1)由函数 yf(x)的图像可知其单调性从左向右依次 为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减,所以其导函数 y f(x)的图像从左向右依次在 x 轴上方、下方、上方、下方通 过观察可知,只有选项 A 符合题意 (2)函数 yf(x)的单调递增区间为其导函数的图像在 x 轴上 方的部分对应的区间, 观察图像知, 函数 yf(x)的单调递增区间 为(2,1),(1,3),(4,) 答案:(1)A (2)(2,1),(1,3),(4,) 题型二 利用导数求函数的单调区间 例 2 (1)求函数 f(x)2x39x212x1 的单调减区间 (
6、2)求函数 f(x)xa x(a0)的单调区间 解析:(1)f(x)6x218x12,令 f(x)0,即 6x218x 120,解得 1x2.f(x)的单调减区间为(1,2) (2)f(x)xa x的定义域是(,0)(0,),f(x)1 a x2. 当 a0 时,令 f(x)1 a x20,解得 x a或 x a; 令 f(x)1 a x20,解得 ax0 或 0 x a;当 a0 恒成立, 所以当 a0 时,f(x)的单调递增区间为(, a)和( a, );单调递减区间为( a,0)和(0, a) 当 a0 和 a0 求得单调增区间,由 f (x)0(或 f(x)0 时,f(x)在相应的区间
7、上是增函数;当 f(x)0,可得 x1. 即函数 f(x)exex,xR 的单调增区间为 (1,),故选 D. (2)函数的定义域为(0,),又 f(x)1 x1, 由 f(x)1 x10,得 0 x1,所以 3x23. 所以 a3,即 a 的取值范围是(,3 (2)令 y0,得 x2a 3. 若 a0,则 x2a 3恒成立,即 y0 恒成立, 此时,函数 yx3axb 在 R 上是增函数,与题意不符 若 a0,令 y0,得 x a 3或 x0,函数在(1,)上单调递增, 不符合题意 当 a0 时,函数 y 在(1,)上不单调,即 y3x2a 0 在区间(1,)上有根由 3x2a0 可得 x a 3或 x a 3(舍去) 依题意,有 a 31,a3, 所以 a 的取值范围是(3,)