1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）化简二次根式 1 3 的正确结果为( ) A3 B 1 3 C3 D 3 3 2 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) A 22 1xy B 2 11 21xx C 2 4535xx D 2 340 xx 3 （3 分）下列说法正确的是( ) A做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一样的 B天气预报说明天下雨的概率是50%，也就是说明
2、天下雨和不下雨的机会是均等的 C抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出 5 次正面，则第 6 次一定掷出背面 D某种彩票中奖的概率是1%，因此买 100 张该彩票一定会中奖 4 （3 分）若 1 4 b ab ，则 a b 的值为( ) A5 B 1 5 C3 D 1 3 5 （3 分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC，ADC，则竹 竿AD与AB的长度之比为( ) A tan tan B tan tan C sin sin D cos cos 6 （3 分）一元二次方程 2 450 xx经过配方后，可变形为( ) A 2 (2)1x B 2 (2)1x C 2 (2)9x D 2
3、 (2)9x 7 （3 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ABC相 似的是( ) 第 2 页（共 21 页） A B C D 8 （3 分）如图，若一次函数yaxb的图象经过二、三、四象限，则二次函数 2 yaxbx 的图象可能是( ) A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算67 10 （3 分）使 2 (1)1xx 成立的x的取值范围是 11 （3 分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC、BC的中点，如果5EF ，那么 菱形ABCD的周长 12 （3 分）如图，当太阳在A处时，小明测得
4、某树的影长为 2 米，当太阳在B处时又测得 该树的影长为 8 米若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 米 第 3 页（共 21 页） 13 （3 分） 在平面直角坐标系中， 已知( 3,3)A ，( 6,0)B ， 以原点O为位似中心， 将线段AB 放大为原来的 2 倍，得到线段AB ，则AB 的中点坐标是 14 （3 分）如图，抛物线 2 yxbxc与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶 点在折线MPN上移动，它们的坐标分别为( 1,4)M 、(3,4)P、(3,1)N若在抛物线移 动过程中，点A横坐标的最小值为3，则1bc 的最小值是 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分）
5、 15 （6 分）计算： 2 1 4 sin606(32) 2 16 （6 分）若抛物线 22 2(1)yxxkk与x轴只有一个交点，求k的值及顶点坐标 17 （8 分）按要求作图（必须用直尺连线）: （1） 在图中以点C为位似中心， 在网格中画出DEC， 使D E C与ABC位似， 且DEC 与ABC的位似比为2:1， （2）在图中找到一个格点C，使ACB是锐角，且tan1ACB，并画出ACB 18 （8 分）某班月考后，为了奖励成绩进步的学生，班主任老师准备了三种奖品：A笔记 本、B中性笔、C棒棒糖，小文和小明从中随机选取一种奖品，且他们选取每种奖品的可 能性相同 第 4 页（共 21 页
6、） （1）小文选棒棒糖的概率是 （2） 请用列表或画树状图的方法求出小文和小明选择不同奖品的概率 （可用字母A、B、 C代替奖品） 19 （8 分）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十一” 节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为 12 元/件 小佳：该商品定价为 20 元时，每天可售出 240 件 小欣：在定价为 20 元的基础上，涨价 1 元，每天少售出 20 件；降价 1 元，则每天多售出 40 件 根据他们的对话，若销售的商品每天能获利 1920 元时，应该怎样定价更合理？ 20 （9 分）某一特殊路段规定：
7、汽车行驶速度不超过 36 千米/时一辆汽车在该路段上由 东向西行驶，如图所示，在距离路边 10 米O处有一“车速检测仪” ，测得该车从北偏东60 的A点行驶到北偏东30的B点，所用时间为 1 秒 （1）试求该车从A点到B点的平均速度 （2）试说明该车是否超速( 31.7、21.4) 21 （10 分）如图，90AOB，OAOB，C为OB的中点，D为AO上点，连结AC、 BD交于点P，过点C作/ /CEOA交BD于点E （1）问题发现 当D为AO的中点时，通过图中的相似三角形，可以发现 AP PC （填数值） ； （2）拓展探究 当 1 4 AD AO 时，求： DP PE 的值， 直接写出ta
8、nBPC的值 第 5 页（共 21 页） 22 （11 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，8AC ，6BC ，CDAB于点D，点 P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同 时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时 间为t秒 （1）求线段CD的长； （2）设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当t为何值时，CPQ与CAD相似？请直接写出t的值 23 （12 分）如图，已知二次函数 2 3yaxbx的图象交x轴于点(1,0)A，(3,0)B，交y轴 于点C （1）求这个二
9、次函数的表达式； （2）将直线BC向下移动n个单位(0)n ，若直线与抛物线有交点，求n的取值范围； （3）直线xm分别交直线BC和抛物线于点M，N，当BMN是等腰三角形时，直接写 出m的值 第 6 页（共 21 页） 第 7 页（共 21 页） 2020-2021 学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）化简二次根式 1 3 的正确结果为( ) A3 B 1 3 C3 D 3 3 【解答】解： 1133 33333
10、故选：D 2 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) A 22 1xy B 2 11 21xx C 2 4535xx D 2 340 xx 【解答】A、是二元二次方程，故A错误； B、是分式方程，故B错误； C、是一元二次方程，故C正确； D、是无理方程，故D错误； 故选：C 3 （3 分）下列说法正确的是( ) A做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一样的 B天气预报说明天下雨的概率是50%，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出 5 次正面，则第 6 次一定掷出背面 D某种彩票中奖的概率是1%，因此买 100 张该彩票
11、一定会中奖 【解答】解：A做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是 不一样的，故A选项错误，不符合题意； B 天气预报说明天下雨的概率是50%， 也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的， 故B 选项正确，符合题意； C抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出 5 次正面，则第 6 次不一定掷出背面，故C选 项错误，不符合题意； D某种彩票中奖的概率是1%，因此买 100 张该彩票不一定会中奖，故D选项错误，不符 第 8 页（共 21 页） 合题意 故选：B 4 （3 分）若 1 4 b ab ，则 a b 的值为( ) A5 B 1 5 C3 D 1 3 【解答】解：由 1 4
12、 b ab ，得 4bab ，解得5ab， 5 5 ab bb ， 故选：A 5 （3 分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC，ADC，则竹 竿AD与AB的长度之比为( ) A tan tan B tan tan C sin sin D cos cos 【解答】解：在Rt ABC中，sin AC ABC AB ，即sin AC AB ， sin AC AB ， 在Rt ADC中，sin AC ADC AD ，即sin AC AD ， sin AC AD ， sinsin sin sin AC AD AC AB ， 故选：C 6 （3 分）一元二次方程 2 450 xx经过配方后
13、，可变形为( ) A 2 (2)1x B 2 (2)1x C 2 (2)9x D 2 (2)9x 第 9 页（共 21 页） 【解答】解：方程 2 450 xx， 移项得： 2 45xx， 配方得： 2 449xx，即 2 (2)9x 故选：C 7 （3 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ABC相 似的是( ) A B C D 【解答】解：设各个小正方形的边长为 1，则已知的三角形的各边分别为2，2，10， A、因为三边分别为：2，5，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形 不相似； B、因为三边分别为：1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例
14、，故两三角形相 似； C、因为三边分别为：1，2 2，5三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形 不相似； D、因为三边分另为：2，5，13，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角 形不相似， 故选：B 8 （3 分）如图，若一次函数yaxb的图象经过二、三、四象限，则二次函数 2 yaxbx 的图象可能是( ) 第 10 页（共 21 页） A B C D 【解答】解：一次函数yaxb的图象经过二、三、四象限， 0a，0b ， 二次函数 2 yaxbx的图象可能是：开口方向向下，对称轴在y轴左侧， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分）
15、9 （3 分）计算67 42 【解答】解：6742 故答案为：42 10 （3 分）使 2 (1)1xx 成立的x的取值范围是 1x 【解答】解： 2 (1)|1|xx， |1| 1xx ， 1 0 x ，即1x 故答案为1x 11 （3 分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC、BC的中点，如果5EF ，那么 菱形ABCD的周长 40 【解答】解：E、F分别是AC、BC的中点， EF是ABC的中位线， 第 11 页（共 21 页） 22510ABEF， 菱形ABCD的周长4 1040 故答案为：40 12 （3 分）如图，当太阳在A处时，小明测得某树的影长为 2 米，当太阳在B处时又测得
16、 该树的影长为 8 米若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 4 米 【解答】解：如图，两次日照的光线互相垂直， 90EF ，90EECD ， ECDF ， 又90CDEFDC ， CDEFDC， CDDE DFCD ， 由题意得，2DE ，8DF ， 2 8 CD CD ， 解得4CD ， 即这颗树的高度为 4 米 故答案为：4 13 （3 分） 在平面直角坐标系中， 已知( 3,3)A ，( 6,0)B ， 以原点O为位似中心， 将线段AB 放大为原来的 2 倍，得到线段AB ，则AB 的中点坐标是 ( 9,3)或(9, 3) 【解答】解：点A的坐标为( 3,3)，点B的坐标为( 6,
17、0)， AB的中点坐标为 9 ( 2 ， 3) 2 ， 以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的 2 倍，得到线段AB ， 第 12 页（共 21 页） AB 的中点坐标是 9 (2 2 ， 3 2) 2 或 9 (2 2 ， 3 2) 2 ，即( 9,3)或(9, 3)， 故答案为：( 9,3)或(9, 3) 14 （3 分）如图，抛物线 2 yxbxc与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶 点在折线MPN上移动，它们的坐标分别为( 1,4)M 、(3,4)P、(3,1)N若在抛物线移 动过程中，点A横坐标的最小值为3，则1bc 的最小值是 15 【解答】解：由题意得：当顶点在M处，点
18、A横坐标为3， 则抛物线的表达式为： 2 (1)4ya x， 将点A坐标( 3,0)代入上式得： 2 0( 3 1)4a ， 解得：1a ， 当1x 时，1ybc ， 顶点在N处时，1ybc 取得最小值， 顶点在N处，抛物线的表达式为： 2 (3)1yx， 当1x 时， 2 1( 1 3)115ybc ， 故答案为：15 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （6 分）计算： 2 1 4 sin606(32) 2 【解答】解：原式 3 46296 22 2 2 32 396 22 116 2 16 （6 分）若抛物线 22 2(1)yxxkk与x轴只有一个交点，求k的值及顶点坐标
19、 【解答】解：抛物线 22 2(1)yxxkk与x轴只有一个交点， 第 13 页（共 21 页） 当0y 时，方程 22 2(1)0 xxkk有两个相等的实数根， 222 4 2(1)40bac kk， 解得： 1 2 k 当 1 2 k时，该二次函数为： 22 11 () 42 yxxx 顶点坐标是 1 ( 2 ，0) 17 （8 分）按要求作图（必须用直尺连线）: （1） 在图中以点C为位似中心， 在网格中画出DEC， 使D E C与ABC位似， 且DEC 与ABC的位似比为2:1， （2）在图中找到一个格点C，使ACB是锐角，且tan1ACB，并画出ACB 【解答】解： （1）如图所示，
20、DEC即为所求； （2）如图所示，ACB即为所求 18 （8 分）某班月考后，为了奖励成绩进步的学生，班主任老师准备了三种奖品：A笔记 本、B中性笔、C棒棒糖，小文和小明从中随机选取一种奖品，且他们选取每种奖品的可 能性相同 （1）小文选棒棒糖的概率是 1 3 （2） 请用列表或画树状图的方法求出小文和小明选择不同奖品的概率 （可用字母A、B、 第 14 页（共 21 页） C代替奖品） 【解答】解： （1）共有三种奖品：A笔记本、B中性笔、C棒棒糖， 小文选棒棒糖的概率是 1 3 ； 故答案为： 1 3 ； （2）根据题意列表如下： A B C A ( , )A A ( , )A B ( ,
21、)A C B ( , )B A ( , )B B ( ,)B C C ( , )C A ( , )C B ( , )C C 由表格可知，共有 9 种等可能性结果，其中小文和小明选择不同奖品的有 6 种， 则小文和小明选择不同奖品的概率为 62 93 19 （8 分）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十一” 节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为 12 元/件 小佳：该商品定价为 20 元时，每天可售出 240 件 小欣：在定价为 20 元的基础上，涨价 1 元，每天少售出 20 件；降价 1 元，则每天多售出 40
22、 件 根据他们的对话，若销售的商品每天能获利 1920 元时，应该怎样定价更合理？ 【解答】解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为(12)x元， 根据题意，得 24020(20) (12)1920 xx 整理，得 2 444800 xx 解得， 1 20 x ， 2 24x 当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为(12)y 元， 根据题意，得24040(20) (12)1920yy 整理，得 2 383600yy 第 15 页（共 21 页） 解得， 1 20y ， 2 18y ， 综上所述，比较两种方案后，定价为 18 元更合理 20 （9 分）某一特殊路
23、段规定：汽车行驶速度不超过 36 千米/时一辆汽车在该路段上由 东向西行驶，如图所示，在距离路边 10 米O处有一“车速检测仪” ，测得该车从北偏东60 的A点行驶到北偏东30的B点，所用时间为 1 秒 （1）试求该车从A点到B点的平均速度 （2）试说明该车是否超速( 31.7、21.4) 【解答】解： （1）据题意，得60AOC，30BOC 在Rt AOC中，60AOC 30OAC 603030AOBAOCBOC AOBOAC ABOB 在Rt BOC中 cosOBOCBOC 3 10 2 20 3 3 （米) 20 3 3 AB（米) 20 320 3 1 33 V （米/秒） （2）36
24、千米/时10米/秒 又 20 3 11.3 3 ， 第 16 页（共 21 页） 20 3 10 3 ， 小汽车超速了 21 （10 分）如图，90AOB，OAOB，C为OB的中点，D为AO上点，连结AC、 BD交于点P，过点C作/ /CEOA交BD于点E （1）问题发现 当D为AO的中点时，通过图中的相似三角形，可以发现 AP PC 2 （填数值） ； （2）拓展探究 当 1 4 AD AO 时，求： DP PE 的值， 直接写出tanBPC的值 【解答】解： （1）/ /CEAO， BECBOD， CEBC ODCO ， C为OB的中点，D为AO的中点， 1 2 BCBO，ADDO， 11
25、 22 ECDOAD， / /CEAO， ECPDAP， 2 ADAP ECPC ， 故答案为：2； （2）/ /CEAO， BECBOD， 第 17 页（共 21 页） CEBC ODCO ， C为OB的中点， 1 2 BCBO， 1 2 ECDO， 1 4 AD AO ， 1 3 ADDO， / /CEAO， ECPDAP， 1 2 3 1 3 2 DO DPAD PEEC DO ； 1 4 AD AO ， 设ADt，则4BOAOt，3ODt， AOBO，即90AOB， 2222 1695BDBODOttt， 5 2 BEDEt， 2 3 DP PE ， PDt，4PBt， PDAD， A
26、APDBPC ， 则 1 tantan 2 OC BPCA OA 22 （11 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，8AC ，6BC ，CDAB于点D，点 P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同 时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时 间为t秒 （1）求线段CD的长； 第 18 页（共 21 页） （2）设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当t为何值时，CPQ与CAD相似？请直接写出t的值 【解答】解： （1）90ACB，8AC ，6BC ， 10AB CDAB，
27、 11 22 ABC SBC ACAB CD 4.8 BC AC CD AB 线段CD的长为 4.8； （2）过点P作PHAC，垂足为H，如图 1 所示 由题可知DPt，CQt， 则4.8CPt， 90ACBCDB ， 90HCPDCBB ， PHAC， 90CHP， CHPACB CHPBCA PHPC ACAB ， 4.8 810 PHt ， 964 255 PHt， 2 11964248 ()(04.8) 22255525 CPQ SSCQ PHttttt 剟； 第 19 页（共 21 页） （3）由运动知，DPt，CQt则4.8CPt ACDPCQ，且90ADC， 当90CPQADC时
28、，如图 2， CPQCDA， CQCP ACCD ， 4.8 84.8 tt ， 3t ； 当90CQPADC时，如图 3 CPQCAD， CPCQ ACCD ， 4.8 84.8 tt ， 9 5 t ， 当t为 3 或 9 5 时，CPQ与CAD相似 第 20 页（共 21 页） 23 （12 分）如图，已知二次函数 2 3yaxbx的图象交x轴于点(1,0)A，(3,0)B，交y轴 于点C （1）求这个二次函数的表达式； （2）将直线BC向下移动n个单位(0)n ，若直线与抛物线有交点，求n的取值范围； （3）直线xm分别交直线BC和抛物线于点M，N，当BMN是等腰三角形时，直接写 出m
29、的值 【解答】解： （1）将(1,0)A，(3,0)B代入函数解析式，得 30 9330 ab ab ， 解得 1 4 a b ， 这个二次函数的表达式是 2 43yxx； （2）由抛物线的表达式知，点(0,3)C， 设直线BC的表达式为ymxt，则 3 03 t mt ，解得 1 3 m t ， 故直线BC的表达式为3yx ， 第 21 页（共 21 页） 直线BC平移后的表达式为3yxn ， 联立并整理得： 2 30 xxn， 则940n，解得 9 4 n， 故 9 0 4 n ； （3）设：( ,3)M mm， 2 ( ,43)N m mm，点(3,0)B， 则 22 |433| |3 |MNmmmmm ， 22 (3)(3)2 |3|BMmmm， 当MNBM时， 2 32(3)mmm， 解得2m 或 3（舍去3)， 2 32(3)mmm ， 解得2m 或 3（舍去3)， 当BNMN时，45NBMBMN ， 2 430mm， 解得1m 或3m （舍)， 当BMBN时，45BMNBNM ， 则 2 (43)3mmm， 解得2m 或3m （舍)， 当BMN是等腰三角形时，m的值为2，2，1，2
